分數階Willis環腦遲發性動脈瘤時滯系統混沌分析?

高飛 胡道楠 童恒慶 王傳美

(武漢理工大學理學院,武漢 430070)

(2018年2月2日收到;2018年4月16日收到修改稿)

1 引 言

Willis環腦動脈血管瘤是一種高致死率疾病[1],治療過程中有可能會因基于植入血流導向裝置[2?4]和支架聯合彈簧圈[5]等治療方式引起不明原因的遲發性動脈瘤破裂[6].動脈瘤的延遲性破裂危害巨大,一旦出現將嚴重危及病人生命.

生理上動脈瘤破裂與否與血流速度密切相關,故以血流速度為主要研究對象,以血流動力學相關原理建立的腦動脈血管瘤動力學模型系統[7?10]在臨床及理論研究中發揮了重要作用.動脈瘤破裂表現為血流速度的巨大改變,亦即出現“尖峰”,雖然不是所有尖峰都會引起動脈瘤破裂,但是沒有尖峰意味著血流流速穩定,病情穩定,系統表現為穩定狀態;反之,存在尖峰的系統則表示為混沌狀態.

最初的Willis環腦動脈血管瘤系統(Willis aneurysm system,WAS)由Austin[11]利用實驗模擬得到,現有研究多以整數階阻尼項腦動脈瘤系統[12]為基本模板,對其進行混沌理論分析[13?15]和模型改進[16,17].在模型改進方面,近年來主要有基于藥物的整數階WAS模型[16]和基于血液軟物質性[18]、黏彈性[19]特性的分數階WAS[17]等.但是,對于不明原因引起的遲發性動脈瘤破裂,也就是系統中尖峰延遲出現的情況(即“時滯”),上述模型并不能給出合理的描述和解釋.

近年來,分數階微積分作為一種有用的數學工具被廣泛應用于生物及醫學方面[20,21];而時滯一直存在于現實中并影響著系統的動態,故分數階時滯系統引起了學者們的廣泛研究和關注[22,23].時滯加入后,會破壞原來系統的穩定性并影響著系統動力學行為,使系統變得更加復雜,而臨床上腦動脈瘤里血管內情況亦是錯綜復雜.現有WAS的相關機理及理論滯后于臨床現實,因此,研究帶有時滯的相關模型,將在一定程度上為腦動脈血管瘤的臨床診斷給出理論指導.

鑒于此,本文構造了分數階Willis環腦遲發性動脈瘤時滯系統(fractional Willis aneurysm system with time-delay,FWASTD)并對其進行了數值仿真和理論分析:通過與非時滯分數階Willis環腦動脈血管瘤系統(fractional Willis aneurysm system,FWAS)做對比,驗證了其時滯有效性;用傳統動力學方法驗證系統混沌,探究了時滯給系統帶來的豐富動力學行為;利用分數階時滯穩定性原理實現了FWASTD的混沌控制和自同步混沌控制.本文為腦動脈瘤系統研究和臨床診斷提供了相應的理論基礎和相關參考.

2 理論知識

定義1[24]設α是一個正實數,令n?1 6 α

定理1[25]對于帶初值的時滯系統

定理2[26]對于分數階時滯非線性系統,Dαx(t)=f(x(t),x(t?τ)),當分數階微分階次0< α<1,f(x(t),x(t?τ))滿足Lipschiz條件時,若存在正定矩陣P和半正定矩陣Q,對于任意的狀態變量分數階時滯非線性系統仍然滿足

則分數階時滯非線性系統是Lyapunov穩定的.

3 FWASTD及其性質

3.1 建立FWASTD

從文獻[17]可知,FWAS如下:

其中,x和y分別為血流變化率和變化率的加速度;F和μ作為重要的生理參量,分別代表脈沖壓和血流阻力;ω,α,β,γ是涉及到心率和血管的生理參量指數,在病理上與動脈瘤狀況息息相關[14];q1和q2作為分數階次可以精細刻畫腦動脈瘤系統.

由于臨床中血流速度呈現上下波動、不斷改變的狀態,說明血流加速度存在于血流運動變化中并起著推動血流速度改變的重要作用.一旦血流有顯著變化,最開始的病變一定是從血流加速度開始,故引言中提到的尖峰延遲的根源應在血流加速度上,而表現在血流速度上.取時滯因子為τ,將其加入到血流加速度中,構造時滯系統FWASTD如下:

3.2 FWASTD的有效性

本節用FWAS(系統(1))與FWASTD(系統(2))做對比來說明FWASTD的時滯有效性.根據參考文獻[17],取FWAS在混沌狀態下的系數,即:α=0.9,β=3,γ=2,F=0.1,μ=0.1,ω=1,q1=1,q2=0.95,對于時滯τ,嘗試性地取為1,設FWAS與FWASTD的血流速度分別為x1和x2,利用Matlab 2015b進行仿真,用修正的Adams-Bashforth-Moulton方法[27,28]分別求解FWAS與FWASTD的血流速度,得到兩者血流速度的時間序列圖如圖1所示.

圖1 血流速度x1和x2的時間序列圖Fig.1.Time course of blood speed x1and x2.

從圖1可以看出,x1和x2在區間[700,2000]內幾乎重合,但從第2000個時間點左右開始,相比于x1,x2的尖峰值出現延后,延后的時間點大約為800個時間點,從該時間點后,x1和x2僅有部分重合.從引言部分可知,尖峰延后意味著動脈瘤有延遲性破裂的可能.由此可見,FWASTD可以描述不明原因引起的遲發性動脈瘤破裂,也證明了FWASTD的時滯有效性.

3.3 FWASTD的取值和仿真

3.3.1 FWASTD的分數階次取值

FWASTD的分數階次是整數階次的推廣.分數階算子本身具有記憶性而優于整數階算子,符合刻畫系統生理病情的需要.為了觀察分數階次取值對于系統狀態的影響,以期得到最佳刻畫混沌狀態的取值,現分別取兩組組合,第一組組合中固定q1取值分別為0.8,0.975和1,得到關于q2的分岔圖和最大Lyapunov指數圖;第二組組合中固定q2取值分別為0.75,0.95和1.15,得到關于q1的分岔圖和最大Lyapunov指數圖.具體結果如圖2所示,其中,圖2(a)、圖2(c)、圖2(e)對應第一組組合,圖2(b)、圖2(d)、圖2(f)對應第二組組合,其他參數參照3.2節進行取值.

從圖2整體來看,在q1和q2的所有組合里,時滯系統FWASTD均通過倍周期分岔道路通往混沌,分岔圖形基本一致,只是取值范圍不同,故可從圖2得出描述混沌的最佳取值區間,從而解決分數階次取值問題.圖2(c)和圖2(d)取值區間類似,其最大值均逼近1,在分岔圖中剛好互為固定參數,本文選其組合(q1=0.975,q2=0.95)為下文所用.

3.3.2 FWASTD的時滯取值

為了研究時滯對于系統(2)的影響,給出關于時滯的分岔圖,目的是研究時滯可能的取值范圍等問題,為后續研究做鋪墊.取α=0.9,β=3,γ=2,F=0.1,μ=0.1,ω=1,q1=0.975,q2=0.95,變動時滯參數τ,可以得到hτ(h=0.05為步長)的分岔圖,如圖3所示.

從圖3(a)可知,隨著時滯的增加,FWASTD系統(2)從混沌到穩定.為了更細致地研究時滯的區間段,圖3(a)里混沌部分被放大得到圖3(b),從圖3(b)可以看出,混沌主要集中在hτ=0.05和hτ=0.1這兩個點上,其他地方并未出現散點,這說明FWASTD仿真的時滯點是離散點,由此可以確定混沌狀態下的時滯τ的具體數值分別為τ=1和τ=2,即這兩個值是產生系統混沌的關鍵.之后進行的關于FWASTD仿真的取值點將從這兩個點中選取.

3.3.3 FWASTD的仿真

FWASTD作為整數階WAS的推廣,亦能刻畫遲發性腦動脈瘤系統的混沌狀態,下面針對FWASTD(系統(2))進行仿真驗證.取τ=2,α=0.9,β=3,γ=2,F=0.1,μ=0.1,ω=1,q1=0.975,q2=0.95作為參數,可以把FWASTD(系統 (2))寫為

圖4為系統(3)在時滯狀態的時間序列圖、相圖和Poincaré截面.

圖2 系統在給定初值下,q1=(a)0.8,(c)0.975,(e)1時q2的分岔圖和最大Lyapunov指數圖以及q2=(b)0.75,(d)0.95,(f)1.15時q1的分岔圖和最大Lyapunov指數圖Fig.2.With a given initial value,bifurcation and largest Lyapunov exponent(LLE)diagram of system versus q2 when q1=(a)0.8,(c)0.975,(e)1;bifurcation and largest Lyapunov exponent diagram of system versus q1when q2=(b)0.75,(d)0.95,(f)1.15.

圖3 時滯影響下系統的分岔圖 (a)hτ∈[0,3];(b)hτ∈[0.03,0.12]Fig.3.Bifurcation diagram of the system with time-delay:(a)hτ∈[0,3];(b)hτ∈[0.03,0.12].

從圖4(a)和圖4(b)可以看出,血流速度紊亂,頻頻出現尖峰,說明系統呈現出混沌狀態;從圖4(c)可以看出,其軌跡無規律;再結合圖4(d)中系統(3)的Poincaré截面里具有層次結構且成片密集的點,亦證明了系統(3)處于混沌狀態,說明階次為分數的FWASTD也可刻畫系統的混沌狀態.

圖4 系統在給定初值下,(a)x-t,y-t的時間歷程圖,(b)x-t的時間歷程圖,(c)相圖,(d)Poincaré截面Fig.4.The system with a given initial value:(a)Time course of x-t,y-t;(b)time course of x-t;(c)phase diagram;(d)Poincaré section.

3.4 FWASTD中脈沖壓和血流阻力系數對系統的影響

在系統(2)中分別把脈沖壓F和血流阻力系數μ作為變量,其他參數參照系統(3)保留不變,得到關于脈沖壓和血流阻力系數的分岔圖和最大Lyapunov指數圖,如圖5所示.

多數文獻[14,16,17]把研究的重點放在生理參量脈沖壓F上,控制也是從脈沖壓這一生理參量入手,但從圖5(a)分岔圖結合最大Lyapunov指數可以看出,其最大Lyapunov指數一直處于0以上,系統持續處于混沌狀態.

圖5 (a)系統隨脈沖壓F變化的分岔圖和最大Lyapunov指數圖;(b)系統隨血流阻力系數μ變化的分岔圖和最大Lyapunov指數圖Fig.5.(a)Bifurcation and largest Lyapunov exponent diagram of versus pulse pressure F;(b)bifurcation and largest Lyapunov exponent diagram of versus coefficient of blood f l ow dampingμ.

從圖5(b)分岔圖可以看出,隨著血流阻力μ的增大,系統從開始處于混沌狀態逐漸變為分岔,直至穩定.結合μ的最大Lyapunov指數圖可證實系統會隨著血流阻力的增加而穩定,臨床上亦有促進血栓形成來輔助治療的記載[14],以上種種均說明時滯狀態下研究血流阻力系數對于臨床診斷具有重大意義.

4 FWASTD的控制

由于FWASTD的混沌狀態表現為遲發性腦動脈瘤破裂,第一要義是避免動脈瘤破裂,控制混沌.故本節將根據分數階時滯系統穩定性定理對FWASTD進行控制并實現同步控制.

4.1 時滯系統解的惟一性分析

下面將證明具有初值條件的FWASTD存在惟一解且滿足Lipschitz條件.

定理3 構造具有初值條件的系統如下:

其中,

則含有初值條件的FWASTD(4)存在惟一解.

證 明 取|·|和∥·∥分 別 為 向量范 數 和 矩陣范數. 令F2(X(t)).對于?δ>0,區間連續并有界.取有

則因區間[X0?δ,X0+δ]連續有界,α,β,γ是有范圍的生理參數,因此L1是個常數,于是對于有

故G(t,X(t))除t外所有變元滿足Lipschitz條件,根據已知條件G(t,X(t))在給定初值的鄰域內連續,所以G(t,X(t))滿足定理1,即具有初值條件的FWASTD存在惟一解.定理3證畢.

4.2 FWASTD的混沌控制

取和系統(3)相同的參數,得到有初值條件的FWASTD如下:

從圖4的仿真結果可以看出相圖軌線無規律,Poincaré截面具有一定層次結構和形狀,因此具有初值條件的系統(5)不處于穩定狀態.

對系統(5)設計線性控制器:

定理4 當k1>0.5,0 6 k26 0.9,k3>1.95時,系統(5)穩定.

根據定理2,系統(6)是Lyapunov穩定的.

取k1=0.5,k2=0.9,k3=1.95,系統(6)仿真結果如圖6所示.

從圖6(a)和圖6(b)可以看出,x,y隨著時間增長在[?0.2,0.1]波動,仿真結果證明,該控制器可以把FWASTD控制在一個比較穩定的范圍之內,雖然有周期性波動,但是波動振幅小(上下不超過0.1),滿足混沌控制需要.圖6(c)和圖6(d)也說明了具有線性控制器的FWASTD處于比較穩定的狀態,體現在實際中表現為血管中血流速度和加速度基本保持穩定,病情處于可控狀態.近年來,在血管內使用血流導向裝置成為治療腦動脈瘤的一種主流辦法.血流導向裝置可以通過改變血流速度和加速度等血流動力學因子來改善動脈瘤內部的血流情況從而達到治療疾病的目的,但現有的血流導向裝置在設計和材料使用上仍有缺陷[29],本文為其提供了相關的設計參考.

4.3 FWASTD的同步控制

下面考慮FWASTD同步控制,把FWAS作為驅動系統:

圖6 (a)x-t曲線,y-t曲線;(b)時間歷程;(c)相圖;(d)Poincaré截面Fig.6.(a)Curves of x-t and y-t;(b)time course;(c)phase diagram;(d)Poincaré section.

把帶控制器的FWASTD作為響應系統:

誤差系統為

數值仿真驗證時,取τ=2,α=0.9,β=3,γ=2,F=0.1,ω=1,q1=0.975,q2=0.95,μ=0.1,k1=?0.5,k2=?2.1,k3=1.1,t表示時間,誤差系統仿真結果如圖7所示.

圖7 (a)e1隨時間的變化;(b)e2隨時間的變化Fig.7.(a)Curve of e1with time change;(b)curve of e2with time change.

從圖7(a)和圖7(b)可以看出,其誤差逐漸趨于0,由此可見,FWASTD和FWAS可以實現同步.實際治療中,由于許多生理參數無法確定等原因,時滯系統FWASTD無法得到像4.2節那樣精準的混沌控制,然而從自同步控制過程可以看出,其控制參數主要依賴于血流阻力參數,控制變量少且易得,而FWAS可以通過脈沖藥物等進行控制,操作簡單可控,更符合實際.

5 結 論

鑒于治療過程中有可能會因治療方式等不明原因引起遲發性動脈瘤破裂的實際情況,本文提出FWASTD,經過與非時滯系統的對比,說明了時滯的有效性,通過理論證明和數值仿真,論證了其豐富的混沌性質并分析了時滯對系統造成的影響.其中尤為重要的是,研究表明FWASTD系統在一定條件下隨血流阻力的增加而穩定,與臨床上的促進血栓形成來輔助治療[10]形成較為明確的對應關系,說明血流阻力系數研究對于臨床診斷具有一定意義.

同時,利用分數階時滯系統的穩定性理論設計了合適的線性控制器以對FWASTD進行有效控制及同步控制.本文提出的FWASTD對腦動脈瘤里的時滯研究提供了理論基礎,在一定程度上為腦動脈血管瘤的臨床診斷和治療提出了理論指導.