夏至日影測量

郭紅鋒

公元前古埃及的科學家埃拉托色尼，通過夏至日日影的測量，計算出地球周長。在古埃及的一個名為阿斯旺的小鎮上，每當夏至日正午，太陽從頭頂照射下來，物體是沒有影子的。當地有一口水井，陽光會直接射入井中（見圖1），而過了這一天，就不會出現這些現象。

后來埃拉托色尼在埃及的另一個城市亞歷山大，在同樣的夏至日正午，測量了當地物體的影子，發現在亞歷山大城的夏至日正午，物體是有影子的，陽光偏離垂直方向大約7.5°（見圖2）。

我們用圖3解釋地球的形狀影響了地球表面不同地區的影子長度。如圖3左邊所示，假設地球是平的，入射的陽光不論是什么角度（直射或者斜射），在地球表面各處所成的影子都是一樣長的；但如圖3右邊所示，假設地球是球形的，那么太陽照射地球表面物體所成的影子，就會隨陽光入射角度不同而不同，同一時間在各地所成的影子長度與所在地緯度有關。

所以埃拉托色尼根據測量太陽在同一天兩地產生不同的影子長度，從而聯想到地球可能是球狀；又假設太陽離地球很遠，所射來的光線是平行光，進一步利用照射到地球表面的兩個城市影子的偏差，推算出地球的圓周周長。

這可以簡化成一道小學數學題：已知地球圓周是360°，A地夏至日陽光直射，地面沒有影子，B地夏至日陽光照射到地面上所成影子與垂直方向成7.5°，測量得到兩城之間的距離（即地球周長的一部分）為5000希臘里，求地球周長。

分析已知數據和未知數據，可以通過一個圓周角度和圓周弧長的比例得到如下關系：

利用簡單的比例計算，就可以得出地球周長（即360°圓周弧長）

換算到現代的千米制單位，埃拉托色尼測算的地球圓周長約為39360千米，與今天通過現代技術航跡測算的結果（赤道周長=40075千米），誤差僅在5%以內。

埃拉托色尼在人們并不知道（一直爭論但卻無法證實）地球是方還是圓的年代，使用簡單的測量和計算，推導出地球周長這樣重要的數據，從而給出地球大小（周長）和形狀的概念，的確是非常很了不起的成就。這一實驗也被現代人們評價為史上最美+大物理實驗之一，是載入史冊的重大成果。

我們今天仍然可以參考2000多年前埃拉托色尼的測量方法，做一些基本的測量和計算。我們建議全國各地的同學們，在每年的春分、秋分、冬至和夏至時節，一起參加日影測量活動。因為在這幾個節點，太陽直射地球的角度是確定的。

圖4中的角度δ代表觀察者當地緯度，角度代表觀察日太陽直射點的緯度。根據圖中的三角關系，可知觀察者所在地當天正午的太陽高度角為H，H′是H的內錯角，所以有H′=H。此外，在直角三角形AOB中，H′=90°-（φ-δ），所以我們得到任何緯度上任何一天正午太陽高度角與當地緯度有如下關系。

H=H′=90°-（Φ-δ）

以北京為例（Φ=40°），計算正午太陽高度角：

春分日與秋分日，太陽直射赤道，δ=0°

H=90°0（Φ-δ）=90°-（40°-0°）=50°（春秋分日正午太陽高度等于90。減當地緯度）

夏至日，太陽直射北回歸線，δ=23°.5

H=90°-（Φ-δ）=90°-（40°-23°.5）=73°.5（夏至日正午太陽高度等于春秋分日值加）

冬至日，太陽直射南回歸線，δ=-23°.5

H=90°-（Φ-δ）=90°-（40°+23°.5）=26°.5（冬至日正午太陽高度等于春秋分日值減）

每年夏至日，我們都會組織一些同學測量當地正午日影。不同緯度的數據組合起來，可以讓我們直觀地看出地球表面的彎曲，也可以用來估算更多的地球參數。

活動時間：夏至日正午前后各半小時（總共約一小時）（天氣不好可提前或延后一兩天）

活動內容：記錄太陽影子端點，記錄采樣時間，測量全部影子長度數值，填表保存。然后通過分析數據，計算出各種有關的結果。

活動方法：（建議）：

1.準備工作

①立竿：在空曠的平地上找一個豎直立在地面上的標志物（可以是一根竿子，也可以是窗戶楞、欄桿、旗桿、單杠等固定物）；

②確定垂直：用線吊重物垂直于大地，或用大三角板、直角鋼尺等工具檢驗立桿的垂直度；窗戶楞、欄桿、旗桿、單杠等固定物本身就是垂直的，可以不必再測；

③找出垂點，用做測量基點（見圖5）；

④確定觀測時間：因為我們全國都使用北京時間，但各地正午時刻是不同的，可以在網上查表得到當地任何一天的日中時刻，觀測時間可以安排在日中時刻前后半小時；

⑤準備好計時器（手機或鬧鐘等）、卷尺、直尺、鉛筆、水筆、記錄紙（或表格）等；

⑥建議準備一張lK大小的厚型白紙鋪在地面上，把立竿放在紙的一端，影子端點記錄在紙的另一端，便于記錄和保存測量結果。同時建議拍攝全部測量過程和測量結果，以便后期核對。

2.測量工作

①測量竿高：用卷尺預先測量竿子的高度，并記錄數據（厘米）；

②記錄影子：正午前半小時到正午后半小時，每隔1～2分鐘記錄一次，建議每次把影子的端點畫在地面上或紙面上（用鉛筆或畫筆點一個點），畫的點不要過大（1毫米以下的圓點為宜，見圖6）；

③測量影長：全部記錄完畢，再用尺子測量垂點到每個時刻影子端點之間的長度數據，填入表格。

④記錄表格建議如下：

3.從測量結果得出

①確定當地正午時刻：最短的影長所對應的時刻，就是當地當日真太陽時的正午時刻。

②確定當地南北方向：最短影長的方向，就是正午時刻影子的方向，也是當地的正南正北方向。

4.引申的問題

①你知道當地正午時刻與北京時間中午12點有什么差別嗎？

②你知道怎樣把測量得到的數值換算成太陽高度角的角度值嗎？

③你知道怎樣利用你的測量數據估算地球周長嗎？

④你能利用自己測量的數據計算當地的緯度嗎？