平面問題下混合模式界面斷裂的內聚力模型研究

楊愷敏

摘 要：分層結構在工程中應用廣泛，但易出現界面離縫問題。界面斷裂力學是目前研究界面離縫問題中采用較多的辦法。本文基于內聚力模型和經典梁理論對平面問題下界面破壞模式進行研究。

關鍵詞：層間離縫；內聚力模型；混合模式

中圖分類號：O346.1 文獻標識碼：A 文章編號：1003-5168（2018）05-0060-02

Study on Cohesion Model of Mixed Mode Fracture under Plane Problem

YANG Kaimin

（Tianjin Municipal Engineering Design and Research Institute，Tianjin 300457）

Abstract： The layered structure is widely used in engineering， but it is easy to appear the problem of interface separation. Interfacial fracture mechanics is one of the most used methods in the research of interface separation. In this paper， based on the cohesion model and the classical beam theory， the interface damage model under plane problem was studied and analyzed.

Keywords： interlayer separation； cohesion model； mixed mode

1 斷裂力學的內聚力模型分析研究

分層結構相較于單一材料的結構而言通常具有質量輕、力學性能好、耐腐蝕性能強等明顯優勢，加之粘接技術的發展，分層結構的應用更加廣泛。工程上的分層結構很常見，但存在的問題也較多。例如，新老混凝土的破壞、橋面鋪裝層的開裂及推移破壞、無砟軌道板與填充層的離縫問題等。由于層間界面的力學機理較為復雜，界面離縫的一個重要特征在于界面處的位移場具有不連續性，因此運用傳統力學處理分層結構在運用中出現的界面問題也較為困難。利用界面斷裂力學的內聚力模型進行分析研究是目前采用較多的方法。

斷裂力學中按照裂紋的擴展方式可分為Ⅰ型問題（張開型）、Ⅱ型問題（滑開型）、Ⅲ型問題（撕開型）這3種基本裂紋類型[1]。Ⅰ型和Ⅱ型屬于平面問題，Ⅲ型屬于面外問題。如果某一裂紋同時存在這幾種情形則稱作復合型裂紋。本文主要針對界面的平面問題展開討論。

內聚力模型基于彈塑性斷裂力學，考察裂紋尖端的塑性區，提出在裂紋尖端存在一個微小的內聚力區[2]。內聚力區的尺寸是一個相對很小的常數，并且與加載方式無關。在對內聚力區的研究中發現，由于原子間的吸引力是原子間被拉開距離的函數，在這個微小的區域內，裂紋面上可以存在一定的小于某一臨界值的裂紋張開位移δ，裂紋面上的應力σ即為該張開位移的函數。因此，在內聚力區內，通常將裂紋面上各向應力定義為裂紋面上位移之間的關系，稱之為開裂界面上的張力位移關系：

[σ=fδ] （1）

開裂過程中釋放的能量稱為能量釋放率G：

[G=σdδfδdδ] （2）

按照斷裂力學的理論，當能量釋放率G達到臨界值[Gc]時，裂紋擴展。[Gc]的值與材料性能相關，由實驗測定。

2 混合模式界面斷裂

平面問題下的混合模式界面斷裂是指構件在外荷載作用下界面同時存在Ⅰ型和Ⅱ型模式的裂紋擴展方式。在研究Ⅰ型、Ⅱ型的混合模式問題時，最常使用的是單腿彎曲試驗（SLB），這一方法是Yoon和Hong在1990年基于改進的ENF試件提出的[3]。

在SLB試件裂紋尖端處，取單位寬度微元段為研究對象。

上梁底部與下梁頂部的相對界面位移w（正向張開方向）有以下關系式：

[w=w2-w1]；[dwdx=dw2dx-dw1dx] （3）

上梁與下梁的相對切向位移[δ]可表示為：

[δ=u2-u1=u20-u10+h12dw1dx+h22dw2dx] （4）

試件本構方程可以表示成：

[Ni=Aidui0dx]；[Mi=-Did2widx2] （5）

式（5）中，[Ai=Exihi1-vxzivzxi]，[Di=Exih3i121-vxzivzxi]，下標i=1，2分別表示梁1（上梁）和梁2（下梁）。Ni和Mi表示梁i（i=1，2）單位寬度的軸力和彎矩。Ai和Di表示梁i（i=1，2）在平面應變條件下單位寬度的軸向剛度和抗彎剛度。

每片梁在粘接區的平衡方程為：

[dN1dx=-τx]；[dN2dx=τx]；[dQ1dx=-σx]；[dQ2dx=σx] （6）

[dM1dx=Q1-h12τx]；[dM2dx=Q1-h22τx] （7）

對于I型模式有：

[J1h1Q2h1+h2-h2Q1h1+h2θ2-θ1-DTh1D1-h2D2M1D1-M2D2dM1+M2（h1+h2）+DT2M1D1+M2D22]（8）

式（8）中，[DT=D2D1D1+D2]。

對于Ⅱ型模式有：

[JⅡδ=τdδ=12N1A1-N2A221A1+1A2+h14D1M21+h24D2+h14D1+h24D2M1M2+h14D1+h24D2M1dM2-M2dM1h12+h22+Q1+Q2θTh12+h22]（9）

式（9）中，[θT=h12θ1+h22θ2=h12dw1dx+h22dw2dx]。式（8）與（9）分別對應于JΙ與JΙΙ，其意義在于在測得荷載與轉角的情況下可以直接得到構件的JΙ與JΙΙ。

3 與有限元模型進行對比

Ⅰ型、Ⅱ型的本構關系采用雙線性內聚力模型[4]。利用有限元得到構件的θ1和θ2，通過通用式子算出能量釋放率，與實際的能量釋放率進行對比。模型的SLB構件參數見表1。有限元模型采用二維的四節點平面應變單元，基于平面的內聚力模型模擬張力-位移關系。總共用了1 800個平面應變單元，結果如圖1所示。

從圖1可以看出，理論結果與實際結果在前段部分吻合度很高，隨著力值的增大，理論結果逐漸小于實際結果。這可能是因為本次理論研究均是基于小變形理論展開，隨著力值的增加，變形增大，導致誤差也隨之增大。

4 總結

①基于內聚力模型來初步研究任意模式下的通用型理論，得到JI、JII關于轉角θ1、θ2的表達式。②以非解耦條件的SLB為例，利用有限元模型驗證對比解析模型的結果。發現二者在前段吻合很好，隨著變形的增加誤差稍有增加，這可能是基于小變形理論所致。

參考文獻：

[1]尹雙增.斷裂損傷理論及其應用[M].北京：清華大學出版社，1992.

[2]張軍.界面應力及內聚力模型在界面力學的應用[M].鄭州：鄭州大學出版社，2011.

[3]Yoon S.H.，Hong C.S. Modified end notched flexure specimen for mixed mode interlaminar fracture in laminated composites[J].International Journal of Fracture，1990（1）：3-9.

[4]Mi Y.，Crisfield MA，Davies G.A.O，et al. Progressive Delamination Using Interface Elements[J].Journal of Composite Materials，1998（14）：1246-1272.