阻力線性化條件下縱向離散系數的半解析解法

張文俊 胡煜 任華堂 夏建新

摘要：縱向離散系數是水質模型的關健參數，對于污染物的影響范圍具有決定性影響，一直是環境水力學的研究熱點。目前縱向離散系數的確定以經驗、半經驗方法為主，物理機制不夠明確。基于底部阻力局部線性化假定，利用冪級數求解斷面流速分布，代入Fischer縱向離散系數積分公式，建立了縱向離散系數的半解析方法。利用100余條天然河流數據進行驗證，結果表明計算值為實測值的0.3～3.0倍，精度符合工程要求。該方法推導嚴密、計算量較小，一定程度上反映了離散的物理機制，與前人計算公式的誤差在同一量級，具有一定的可靠性。

關鍵詞：縱向離散系數；阻力線性化；冪級數；流速分布；半解析解；環境水力學

中圖分類號：TV133 文獻標志碼：A doi：10.3969/j.issn.1000-1379.2018.05.016

1 引言

在水環境模擬預測中，準確預測污染水團的形狀對于污染物影響歷時和影響范圍的確定具有重要意義。對于天然河流而言，由于流速分布不均勻，因此污染水團形態主要取決于河流的離散特性。河流縱向離散系數歷來是河流水質模型研究的熱點。

離散的本質是流速不均勻導致物質在斷面上出現的分散，不同的斷面流速分布形式決定了不同的離散特性。1954年Taylor基于管流中層流流速分布表達式，根據徑向擴散和縱向離散平衡得到圓管中離散系數計算公式；1959年Elder根據流速的垂向對數分布規律，忽略流速的橫向差異，采用垂向擴散和縱向離散平衡導出寬矩形明槽中縱向離散系數關系式；Fischer等由橫向擴散和縱向離散平衡得到縱向離散系數求解的Fischer積分公式，但該公式需要給定流速分布，由于明渠流速斷面分布尚無成熟可靠的公式可用，因此Fischer利用試驗數據得到離散系數的Fis-cher經驗公式。目前，天然河流中縱向離散系數求解的方法主要有以下幾類：①通過示蹤試驗直接測定離散系數或由實測數據回歸得到經驗公式，如張江山對福建閩江干流進行示蹤試驗測定其縱向離散系數，呂巍等實測了黃河潼關河段當時水文條件下縱向離散系數，黃愛珠通過示蹤試驗確定了桂江下游梧州段縱向離散系數，Sahay等、Seo等、Kashefipour等和Disley等則各自依據天然河流數據回歸分析得出縱向離散系數經驗關系式；②利用流速實測值或流速分布經驗公式和Fischer積分公式進行求解，如李錦秀等根據三峽庫區段流速分布監測數據總結出三峽庫區內縱向離散系數預測公式，劉震等通過黃河下游干流水文監測數據多元回歸分析得出黃河下游干流河段污染物縱向離散系數經驗估算公式；③基于若干假定求解流速分布，再代入Fischer積分公式進行求解，如Deng等利用謝才公式假定拋物線型斷面流速分布，陳永燦等應用數理回歸方法確定梯形斷面縱向流速分布，Wang等采用矩形斷面河流控制方程將流速表示為傅里葉級數形式，張文俊等利用均勻恒定流控制方程，先求解冪級數形式流速分布，然后代入Fischer積分公式推導出縱向離散系數公式。上述縱向離散系數求解方法中針對非特定河流的計算公式，可分為兩類（代表性公式見表1），通過試驗測定縱向離散系數或流速分布耗時費力，而經驗公式則主要采用回歸分析得到，其物理意義不明確，在流速分布理論求解中部分參數的確定較為困難。

筆者根據矩形明渠恒定流控制方程，引入底部阻力線性化假定，得到流速分布的冪級數解表達式，代入Fischer積分公式，建立縱向離散系數半解析計算公式，并將其推廣至天然河流，以期為天然河流縱向離散系數的取值提供參考。

2 矩形明渠流速分布的冪級數解及離散系數求解

2.1 流速分布求解

均勻恒定流明渠矩形斷面如圖1所示，流速分布取決于表面壓強梯度力、底部摩阻力和雷諾應力的橫向梯度，滿足如下動力學方程：式中：H為水深；τbx為底部摩擦力；ρ為水的密度；Am為紊動渦黏系數；J為水力坡度；g為重力加速度；u為流速。

目前，底部阻力與流速的關系多采用半經驗的線性或非線性關系，由于線性關系在數學上較為簡單、方便求解，因此對底部摩擦力采用局部線性化假定，即τbx=-ρβu，則有式中：β為線性阻力系數，與平均流速U成正比，即β=αU。

對河寬進行歸一化處理，令y'=2y/B，則上式簡化為

將流速表示為冪級數形式，代入上式，基于等號兩[-1，1]內絕對收斂。該冪級數公式即為矩形斷面縱向流速u的解。

根據式（5），利用條件u|y'=0=umax和u|y'=±1=0，便可計算出冪級數的各項系數。在實際求解中，一般取6～10項即可，對于寬深比較大的河流，所取項數可相應增加。

為了分析流速冪級數解的合理性和準確性，分別對人為設定的理想工況和天然河流流速分布進行計算：①水深H=1.0 m，寬度分別為10、50、100、150、200m，Am=1.0m2/s，β=0.001m/s，J=0.00075，流速分布計算結果如圖2所示，由圖2可見，在深度一定的條件下，隨著河寬的增加，水流受岸邊摩擦力的影響減弱，流速分布更加趨于均勻，與水流的運動規律基本一致，說明所得冪級數解是合理的；②根據Bogle關于美國Old河斷面形態的研究，將其概化為以水面寬度為寬、平均水深為高的矩形斷面，分別采用底部阻力非線性化和底部阻力線性化方法計算其流速分布，結果如圖3所示，底部阻力線性化計算結果與天然河流流速分布具有較好的一致性，充分說明了采用底部阻力線性化假定及得到的級數解能夠描述天然河流的流速分布。

2.2 矩形斷面縱向離散系數計算

將斷面縱向流速的橫向分布代入Fischer積分公式：為冪函數，因此將其代入上式，可得

由上式可知，流速冪級數中，冪次越低的項對于三重積分I的貢獻越大，冪次愈高的項貢獻愈小。一般而言，寬深比越大所需要的項數越多。在離散系數的計算中，可以根據精度需要選擇合適的項數求解。

3 天然河流縱向離散系數計算

3.1 矩形明渠縱向離散系數在天然河流中的推廣應用案例

由于在工程中無法獲得河流每一個斷面的詳細資料，一般僅有水面寬度和過水斷面面積資料，因此將其概化為矩形斷面可以有效保證平均水深、水面寬度和過水斷面面積的一致性。將縱向離散系數求解公式（8）推廣到天然河流中，參數按照如下方式確定：B取天然河流的水面寬度，h取天然河流的平均水深，線性阻力系數β=0.8（u*/U）2U，渦黏系數Am=1.50hu*，底坡J=u2/gh，橫向擴散系數AH=0.15hu*。

利用Zeng等收集的100余條河流資料進行驗證，將這些河流的平均河寬、平均水深、平均流速、摩阻流速等代入式（5）、式（8）、式（9），并計算縱向離散系數。

3.2 結果與討論

為分析上述計算方法預測結果的精度，采用對數比偏差DR、對數平均絕對誤差ME、對數均方根RMS進行評價，定義如下：式中： DLm為河流縱向離散系數實測值；DLp為河流縱向離散系數預測值；N為樣本河流數量。

對數比偏差DR反映了計算值與實測值的吻合程度，二者之比越接近1，DR越接近0，當DR為-0.3～0.3時，計算值約為實測值的0.5～2.0倍；對數平均絕對誤差ME反映預測值與實測值的整體偏離情況，對數均方根RMS反映預測值與實測值的離散情況，ME和RMS越接近0，說明預測值與實測值越接近，預測效果越好。

縱向離散系數計算值DLP與天然河流實測值DLm對比見圖4，可以看出計算值與實測值有一定的偏差，但二者的整體變化趨勢具有較好的一致性。

3.3 計算誤差分析

上述半解析計算公式計算結果與由Fischer積分公式導出的其他公式（見表1）計算結果進行對比可知：Deng公式計算結果的DR值有54%在[-0.3，0.3]范圍內，97%的計算結果介于實測值的0.1～10倍，預測結果較好；而Wang（1）公式計算結果的DR值僅有2%在[-0.3，0.3]之間，66%的預測結果為實測值的1/10以下，該公式預測結果整體偏小；半解析計算公式對樣本河流中縱向離散系數預測結果為實測值的0.5～2倍的比例為31%，預測結果的DR值有95%在[-1，1]范圍內，與底部阻力非線性化、Fischer經驗公式計算結果在同一水平，基本滿足工程需要。

半解析計算公式計算結果的對數平均絕對誤差ME為0.49（見表2），即計算值與實測值之比都在0.3～3.0之間，與前人計算公式誤差水平在同一個量級，誤差水平基本可接受。

3.4 求解方法討論

Fischer積分公式給出了橫向流速分布和縱向離散系數的關系，通過流速分布的合理假定或理論求解是一系列縱向離散系數計算的通行方法，該類方法與經驗公式相比物理意義更清晰，比用流速實測資料求解縱向離散系數更具有普適性和可行性。

在利用Fischer積分公式求解縱向離散系數時，流速分布形式不同導致結果存在差異。Fischer限于當時對流速橫向分布的認知，在簡化計算三重積分時取相對粗略的試驗經驗常數值。Deng公式利用拋物線型斷面流速分布特性，由謝才公式得到流速分布，代入Fischer積分公式求解，因經驗性謝才公式對明渠水流運動的適用性，故其計算結果較好，但由于謝才公式為經驗公式，因此該方法不易在理論方面進一步改進和發展。 Seo公式和Wang公式分別采用β函數和傅里葉級數假定流速分布，進行積分并求解縱向離散系數，由于傅立葉級數中的各項系數求解困難、計算過程極為復雜，因此Wang公式最終仍然通過回歸分析處理為經驗公式，而相似的β函數也因其計算繁雜而難以推廣應用。

張文俊公式與本文提出的半解析計算公式類似，采用均勻恒定流控制方程及冪級數流速分布求解縱向離散系數，但底部阻力采用的是非線性化形式，導致冪級數中各項系數計算公式為復雜非線性函數，各項系數的確定計算量大，且冪級數收斂條件不易精確確定。

本文提出的半解析計算公式則對底部阻力采用線性化表達式，流速分布冪級數中各項系數呈現簡單的線性關系，易于確定，同時冪級數在河寬范圍內絕對收斂，只需通過增加項數即可控制求解的精度，由于冪級數積分的簡易性，因此運算較為方便，具有一定的優勢。

4 結語

從均勻恒定流條件下矩形明渠出發，對底部阻力采用局部線性化假定，得到斷面流速分布的冪級數解，與天然河流中流速實測資料對比，顯示該方法有效反映了實際河流的流速橫向分布特性。

基于Fischer縱向離散系數理論公式，利用冪級數形式流速分布得到縱向離散系數求解公式，并給出了天然河流離散系數的計算方法。與天然河流實測值對比分析表明，本方法計算值與實測值變化趨勢一致，計算值為實測值的0.3～3.0倍，與前人計算公式的誤差在同一量級，具有一定的可靠性。