基于效應的隨機灰規劃模型和應用

周磊 董麗麗 李法朝

摘要：為了解決同時含有隨機因素和灰色因素的不確定規劃問題，通過結合區間灰數所屬區間兩個端點的隨機性，給出隨機區間灰數和隨機區間灰函數的定義，提出了隨機灰規劃模型。通過綜合效應函數理論用隨機變量期望值和方差綜合量化表示灰數所屬區間的兩個端點值。應用該理論對綜合量化后的兩個端點值繼續進行綜合量化，從而將隨機灰規劃轉化為確定型規劃問題。應用遺傳算法進行求解。通過綜合效應函數的理念，綜合隨機變量的期望和方差，同時綜合區間灰數的區間因素，將隨機灰規劃數學模型轉化為確定型規劃模型即基于效應的隨機灰規劃模型。通過選取不同的綜合效應函數，得到了關于不同決策意識下的隨機灰規劃的最優解。這個方法可為決策者進行不確定決策提供參考。

關鍵詞：隨機規劃；區間灰數；隨機區間灰數；隨機灰規劃模型；綜合效應函數

中圖分類號：O221文獻標志碼：Adoi： 10.7535/hbgykj.2018yx04006

1問題的提出

利潤是廠家直觀了解盈利的數據，也是廠家制定生產計劃的依據。但是長期利潤并不是一個固定值，每天每月每年產生的利潤都不一樣。那么，該如何確定利潤呢？首先，利潤的取值一定在某一個區間內，確定區間的2個端點是關鍵之一。其次，區間2個端點的值確定后，選取區間中具有代表性的數值也很重要。這就需要把灰色問題與隨機規劃問題結合起來處理灰色問題中的隨機性。

灰色系統理論是為了解決生活中含有不確定因素的問題而出現的一種理論方法[1-2]。灰色決策作為灰色系統理論的一個分支，用來解決一類有關灰色因素的不確定規劃問題，這類問題已經成為國內外相關學者研究的熱點。文獻[3-4]應用灰色關聯分析來制定在只有有限數據下企業核心產品的策略，并通過建立GM（1，1）模型來評估企業的核心競爭力和投資策略，但這只是根據因素之間發展趨勢的相似或相異程度來衡量因素的關系。文獻[5]通過定義三參數區間灰色數提出了基于三參數區間灰色數的決策方法，取得了較好的決策效果。文獻[6]提出了對于直覺模糊多屬性決策的灰色關聯度分析方法，并給出了具體算法。文獻[7-8]將灰色決策理論應用于水資源管理，但文獻[3-8]都只涉及到灰數問題，比如灰色關聯度問題、三參數灰數問題，但并不能解決含有隨機規劃的灰數問題，因此解決具有隨機因素的灰數問題需要結合隨機規劃方法。

第4期周磊，等：基于效應的隨機灰規劃模型和應用河北工業科技第35卷隨機規劃是處理帶有隨機性數據的一類數學規劃，在管理科學、交通運輸、自動控制等領域具有廣泛的應用價值。目前，公認的隨機規劃方法有3種：1）期望值模型，即在期望約束條件下，使得期望收益（損失）達到最大（最小）；2）機會約束規劃模型，即在目標和約束的滿足概率不低于某種閾值的前提下，確定最優決策方案[9]。3）相關機會規劃模型，即把隨機規劃的可行域理解為隨機環境，通過相關任務的實現概率最大來確定決策方案[10-12]。上述3種模型是當今解決隨機規劃問題的基本依據。目前，較為常用的解決方案是通過隨機模擬與某種智能算法的集成來構造相關的求解方法。例如：文獻[13]通過遺傳算法、模擬退火算法、蟻群算法與隨機模擬相結合，設計了隨機規劃的求解算法；文獻[9-13]解釋了隨機規劃模型以及相關算法，但都沒涉及到含有灰數因素的隨機規劃問題，故此需要隨機規劃與灰數問題結合提出新的模型，才能解決含有灰數的隨機規劃問題。

本文根據所提出的問題分4部分求解：1）通過結合區間灰數所屬區間2個端點的隨機性，給出隨機區間灰數和隨機區間灰函數的定義。同時，結合隨機規劃的特點，提出了隨機灰規劃模型。2）通過綜合效應函數理論，將隨機變量期望值和方差綜合量化來集中表示灰數所屬區間2個端點值。3）將綜合量化后的2個端點值繼續應用該理論進行綜合量化，從而將隨機灰規劃轉化為確定型規劃問題。4）應用遺傳算法進行求解。

2方法的提出

2.1區間灰數[14]

1）區間灰數的概念

只知道大概范圍而不知道其確切值的數稱為灰數。把取值于[a，b]（a定義1令f（x）：R→R，設Θ為所有隨機區間灰數構成的空間，f（）：Θ→Θ，稱為區間灰函數。記fmax（[a，b]）為當∈[a，b]時，f（）的最大值，fmin（[a，b]）為當∈[a，b]時，f（）的最小值。

2）區間灰數的運算

法則1設1∈[a，b]（a

s.t.gj（X，ξ）≤0，j=1，2，…，m。（3）4）相關機會規劃模型

隨機約束gj（X，ξ）≤0，j=1，2，…，m為不確定環境，其中X是決策向量，ξ是隨機向量，稱不等式hk（X，ξ）≤0，k=1，2，…，q為事件，記為ε。相關機會規劃模型：max （X），

s.t.Pr（f（X，ξ）≥（X））≥α，

Pr（gj（X，ξ）≤0）≥αj，j=1，2，…，m。（4）2.3隨機灰規劃問題

隨機性和灰性在眾多生活和生產問題中是共存的，采用單純的隨機規劃或灰色規劃方法均不能有效進行決策，建立能夠同時描述隨機性和灰性的數學模型是解決這類問題的關鍵環節。

例如：某玻璃廠生產3種不同規格的玻璃，現求利潤。利潤與原料單耗和機時單耗有關，其中機時單耗是不能確定的。由于數據不完備，不能準確得到機時單耗的用時，但可以通過數據統計得知，其取值在一個不確定的區間內，并知道兩個端點的分布。由于利潤與機時單耗有關，機時單耗不能確定，那么利潤準確取值也不能得到，利潤的數據取得方法與機時單耗的數據取得方法相同。

1）隨機灰規劃的數學模型

定義2如果一個區間的兩個端點不是實數而是隨機變量，則稱這個區間為隨機區間。記為[ξ，η]，其中ξ和η分別為服從某種分布的隨機變量。

定義3如果區間灰數的取值屬于一個隨機區間[ξ，η]，則稱為隨機區間灰數。記為∈[ξ，η]，其中ξ和η分別為服從某種分布的隨機向量。

例如：由于數據不完備機時單耗的取值不能確定，只能得到其取值在一個兩端取值不確定的區間內，即隨機區間[ξ，η]，這里機時單耗的取值就是一個區間灰數。

定義4設Θ為所有隨機區間灰數構成的空間，如果∈[ξ，η]為隨機區間灰數，f（X，）：（R，Θ）→R，則f（X，）為隨機區間灰目標函數。

由上面的定義可以看出，由于隨機區間灰數∈[ξ，η]中ξ和η分別為服從某種分布的隨機變量，所以區間[ξ，η]的兩個端點ξ和η無法直接比較大小，所以這個是更加廣義層面的區間的定義。由此定義2-定義4是對灰數概念的一個推廣。

下面給出隨機灰規劃的數學模型：max f（X，），

s.t.gj（X，）≤0，j=1，2，…，m，（5）其中：∈[ξ，η]，為隨機區間灰數；f（X，）稱為隨機區間灰目標函數；gj（X，）≤0，j=1，2，…，m，稱為隨機區間灰約束條件。

這里考慮通過綜合效應函數先將隨機灰規劃問題轉化為一般形式灰規劃問題，再應用綜合效應函數思想給出問題的最優解。

2）期望值灰規劃模型

定義5如果∈[ξ，η]為隨機區間灰數，取ξ的數學期望E（ξ）來集中代表ξ，則E為隨機區間期望值灰數。

取ξ的數學期望E（ξ）來集中代表ξ，這樣可以將模型（5）中的隨機區間灰數轉化為區間灰數。得到模型（6）： max f（X，E），

s.t.gj（X，E）≤0，j=1，2，…，m，（6）其中：E∈[E（ξ），E（η）]為區間灰數；f（X，E）稱為區間灰目標函數；gj（X，E）≤0，j=1，2，…，m，稱為區間灰約束條件。此處不要求E（ξ）3）機會約束灰規劃模型max （X），

s.t.Pr（f（X，）≥（X））≥α，

Pr（gj（X，）≤0）≥αj，j=1，2，…，m，（7）其中：∈[ξ，η]為區間灰數；f（X，）稱為隨機區間灰目標函數；gj（X，）≤0，j=1，2，…，m，稱為隨機區間灰約束條件。

4）基于效應的隨機灰規劃模型

定義6如果S（x，y）：R×R→R滿足對于固定的y關于x單調遞增，對于固定的x關于y單調遞減，S（x，0）=x，則稱S（x，y）為綜合效應函數。

例如：[0，2][-5，7]的均值相同，都是2，但是這2個區間的區間長度是不同的，區間長度不同離散程度一定不一樣，即均值相同方差可能不相同，所以不能只考慮均值，還應該考慮方差，要引入綜合效應函數。

S（x，y）=x（1+βy）α，S（x，y）=x+ky，其中k<0，都是綜合效應函數。

定義7如果∈[ξ，η]為隨機區間灰數，取S（E（ξ），D（ξ））來集中代表ξ，則S為隨機區間綜合效應灰數。

從定義7可以看出，如果E（ξ）越大，而D（ξ）越小，也就是S（E（ξ），D（ξ））越能夠集中代表ξ。所以通過綜合效應函數，可以將模型（5）中的隨機區間灰數轉化為區間灰數。得到模型（8）：max f（X，S），

s.t.gj（X，S）≤0，j=1，2，…，m，（8）其中：S∈[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]為區間灰數；f（X，S）稱為區間灰目標函數；gj（X，S）≤0，j=1，2，…，m，稱為區間灰約束條件。這里不要求S（E（ξ），D（ξ））

s.t.S′（gjmax（X，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]），

-gjmin（X，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]））≤0，

j=1，2，…，m，（9）

由此，可以按照確定型規劃模型的方法求解。

同理可以在期望值隨機灰規劃模型中應用綜合效應函數S′（a，-b），模型（6）可以轉換確定型等價模型（10）為

max S′（fmax（X，[E（ξ），E（η）]），

-fmin（X，[E（ξ），E（η）]）），

s.t.S′（gjmax（X，[E（ξ），E（η）]），

-gjmin（X，[E（ξ），E（η）]））≤0，

j=1，2，…，m。（10）

定義9如果二元函數S（x，y）在凸集D上滿足，對任意（x1，y1）∈D，（x2，y2）∈D且0≤α≤1，有

S（αx1+（1-α）x2，αy1+（1-α）y2）≤

αS（x1，y1）+（1-α）S（x2，y2）

成立，則稱函數S（x，y）為聯合凸的。

定理1假設函數f（X，S）對每個固定的S關于x是凸函數，函數gj（X，S），j=1，2，…，m，對每個固定的S關于x是凸函數，S′（x，-y）是聯合凸的，則模型（9）為凸規劃。

證明由于S（E（ξ），D（ξ））和S（E（η），D（η））是固定值，故S∈[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]為區間灰數，不具有隨機性。

fmax（X，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]）為當S∈[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]時f（X，S）的最大值，故此最大值只和x有關。

fmin（X，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]）為當S∈[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]時，f（X，S）的最小值。故此最小值也只和x有關。

令0≤α≤1，

S′（fmax（αx1+（1-α）x2，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]），

-fmin（αx1+（1-α）x2，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]））≤

S′（αfmax（x1，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]）+（1-α）fmax（x2，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]），

-αfmin（x1，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]）-（1-α）fmin（x2，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]））≤

αS′（fmax（x1，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]），fmin（x1，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]））+

（1-α）S′（fmax（x2，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]），fmin（x2，[S（E（ξ），D（ξ）），S（E（η），D（η））]）），

其中第1個不等號是因為S′（x，-y）是綜合效應函數。第2個不等號是因為S′（x，-y）是聯合凸函數。證畢。

定理2假設函數f（X，S）對每個固定的S關于x是凸函數，函數gj（X，S），j=1，2，…，m，對每個固定的S關于x是凸函數，S′（x，-y）是聯合凸的，則模型（10）為凸規劃。

證明令綜合效應函數S（x，y）=x，則模型（8）就等價轉化為模型（9）。由定理2可知在滿足定理條件下模型（8）為凸規劃，故在滿足定理條件下模型（10）也為凸規劃。證畢。

3實例應用

某玻璃加工廠生產A，B，C產品，且要求3種產品的總產量不低于60件。機時單耗的數據是隨機的，如表1所示。

產品消耗ABC資源數量原料單耗2352 000機時單耗4562 600利潤123

通過數據統計可以得到，其中1∈[ξ1，η1]，ξ1服從區間（2，4）上的均勻分布，η1服從區間（2，8）上的均勻分布；2∈[ξ2，η2]，ξ2服從N（2，1）正態分布，η2服從N（4，1）正態分布；3[ξ3，η3]，ξ3服從N（5，9）正態分布，η3服從N（8，16）正態分布。4∈[ξ4，η4]，ξ4服從參數為1/2的指數分布，η4服從參數為1/3的指數分布。5∈[ξ5，η5]，ξ5服從參數為1/4的指數分布，η5服從1/6的指數分布；6∈[ξ6，η6]，ξ6服從區間（2，6）的均勻分布，η6服從（4，6）的均勻分布。

依此可以建立問題的數學模型如下：

max z=1x1+2x2+3x3，

s.t.2x1+3x3+5x3≤2 000，

4x1+5x2+6x3≤2 600，

x1+x2+x3≥60，

x1，x2，x3≥0。（11）

可將模型（11）轉換成期望值模型：

max z=E1x1+E2x2+E3x3，

s.t.2x1+3x3+5x3≤2 000，

E4x1+E5x2+E6x3≤2 600，

x1+x2+x3≥60，

x1，x2，x3≥0，（12）

其中：E1∈[3，5]； E2∈[2，4]；E3∈[5，8]；E4∈[2，3]；E5∈[4，6]；E6∈[4，5]。由于體現決策意識的是α，β的取值，所以選取此綜合效應函數形式S′（x，y）=x（1+βy）α，α，β>0，則模型（12）轉化為

max 5x1+4x2+8x3[1-β（3x1+2x2+5x3）]α，

s.t.2x1+3x2+5x3≤2 000，

3x1+6x2+5x3[1-β（2x1+4x2+4x3）]α≤2 600，

x1+x2+x3≥60，

x1，x2，x3≥0。（13）

表2期望值模型中α，β取值對最優解的影響

Tab.2Influence of α， β on the optimal solution

in the expected value model

α，β取值最優解α=0.1，β=0.1（0，0，400）α=0.1，β=1（0，0，400）α=0.1，β=10（0，0，400）α=1，β=0.1（0，0，400）α=1，β=1（0，0，400）α=1，β=10（0，0，400）α=10，β=0.1（5，3，393）α=10，β=1（0，0，400）α=10，β=10（5，3，393）

由表2可以看出，在轉換成期望值模型時解的取值與α，β的取值有關，（如當α=10，β=0.1，1時產品A、產品B、產品C的產量都變化了，即當α=10時，β的取值對產品A、產品B、產品C的產量都有影響），還存在α，β取值都不同，解相同的情況。

可將模型（11）轉化為基于效應的隨機灰規劃模型

取S（x，y）=x-0.1y，其中y的系數是對方差的控制，其選取范圍為（0，1），根據經驗統計，取值一般小于03，此處取0.1。S（E（ξ），D（ξ））=E（ξ）-0.1D（ξ）可轉化為模型：

max z=S1x1+S2x2+S3x3，

s.t.2x1+3x3+5x3≤2 000，

S4x1+S5x2+S6x3≤2 600，

x1+x2+x3≥60，

x1，x2，x3≥0，（14）

其中：S1∈[2.9，4.7]；S2∈[1.9，3.9]；S3∈[4.1，6.4]；S4∈[1.6，2.1]；S5∈[2.4，2.4]；S6∈[3.8，4.9]。取綜合效應函數S′（x，y）=x（1+βy）α，α，β>0，則模型（14）轉化為

max 4.7x1+3.9x2+6.4x3[1-β（2.9x1+1.9x2+4.1x3）]α，

s.t.2x1+3x2+5x3≤2 000，

2.1x1+2.4x2+4.9x3[1-β（1.6x1+2.4x2+3.8x3）]α≤2 600，

x1+x2+x3≥60，

x1，x2，x3≥0。（15）

對模型（15）中的α，β取不同值時，其最優解見表3。

由表3可以看出，在轉換成基于效應的隨機灰規劃模型時，解的取值與α，β的取值無關。

從上述計算結果可以看出：即使選取的綜合效應函數不同，所得解之間的差異十分小，幾乎可以忽略不計，這表明綜合效應函數模型可以有效地將隨機因素和灰色因素的處理意識融入到決策過程中，使得所得解非常穩定，同時也說明了隨機灰規劃模型的穩健性（此結果可通過與期望值模型所得解進行比較，即表2與表3的比較所得）。

4結語

客觀世界復雜變化，使得數據與信息的隨機性較為明顯。對于隨機因素和灰色因素同時存在的優化問題，提出了隨機區間灰數和隨機區間灰函數的概念，給出了同時包含隨機因素和灰色因素的隨機灰規劃數學模型。在此基礎上，通過綜合效應函數的理念，綜合隨機變量的期望和方差，同時綜合區間灰數的區間因素，將隨機灰規劃數學模型轉化為確定型規劃模型，即基于效應的隨機灰規劃模型。通過選取不同的綜合效應函數，得到了關于不同決策意識下的隨機灰規劃的最優解。這個方法可為決策者進行不確定決策提供參考。

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