基于新二重積分不等式T睸模糊系統穩定性分

趙鑫　林崇　劉煥霞

摘要： 針對時滯TS模糊系統時滯相關穩定性問題，本文在文獻[9]的基礎上進行改進，結合模糊線積分Lyapunov泛函方法和更為先進的一重積分不等式與新型雙重積分不等式，得到了保守性更低的非線性時滯系統時滯相關穩定性條件。構建合適LyapunovKrasovskii泛函，運用兩種積分不等式技術對泛函導數進行處理，所得到的判定準則一方面能獲得更大的時滯上界，降低了保守性；另外，相比完全Lyapunov泛函、時滯分割等方法減少了決策變量，為檢驗本文結果的有效性和優越性，通過2個數值例子進行驗證。驗證結果表明，比現有成果所得到的穩定性準則面能獲得更大的時滯上界，減少了決策變量，而且降低了保守性和復雜度。該研究對時滯TS模糊系統穩定性分析方法具有重要意義。

關鍵詞： 時滯TS模糊系統； 模糊線積分Lyapunov泛函； 積分不等式； 穩定性分析

中圖分類號： TP13； N941.1文獻標識碼： A

在現實生活中，大部分系統都是非線性的，但相比于對線性系統的分析與控制，對非線性系統的直接分析與控制要難得多。為解決此問題，人們提出了基于模型的模糊邏輯控制策略，其中最為常用的是日本學者在1985年提出的TakagiSugeno模糊模型[1]（TS模糊模型）。基于此理論，非線性系統可以通過該模糊模型建立TS模糊系統。眾所周知，時滯現象大量存在于工業系統、通信系統、機械系統、網絡系統及生態系統中，是系統不穩定甚至振蕩的根源，并且經常出現在工程系統中。因此，對時滯TS模糊系統的研究不僅具有理論上的重要性，也具有現實意義。目前，在研究時滯TS模糊系統穩定性問題上，已經有許多有效的成果出現。通常解決時滯TS模糊系統穩定性問題采用LyapunovKrasovskii泛函方法，而在處理泛函導數的交叉項問題上，常見的有完全Lyapunov泛函法[2]、積分不等式法[35，1112]、自由權矩陣法[6]、時滯分割法[7，18]等。本文基于線性矩陣不等式（linear matrix inequalities，LMI）方法，利用TS模糊模型方法，對非線性時滯系統的穩定性分析進行研究。采用更為先進的一重積分不等式與新型雙重積分不等式，結合模糊線積分Lyapunov泛函方法[89]給出了非線性時滯系統時滯相關穩定性的判定準則。同時，運用Matlab軟件中的線性矩陣不等式（LMIs）工具包，對時滯TS模糊系統的穩定性給出新的LMIs時滯相關穩定性判據進行計算，并通過數值例子進行驗證，與文獻[2，1420]相比，本系統能獲得更大的時滯上界，降低了保守性，減少了決策變量，驗證了該方法的有效性和優越性。而且本文與文獻[14]相比，沒有引入自由權矩陣，進一步減少了決策變量。該研究有助于解決非線性系統的分析與控制設計問題。

1問題描述

對于非線性系統，考慮具有r個模糊規則的時滯TS模糊模型進行逼近。

模糊規則i：如果x1（t）是Fαi11，…，xn（t）是Fαinn，那么

（t）=Aix（t）+Aτix（t-τ）x（t）=φ（t），-τ≤t≤0（1）

其中，x（t）=[x1（t），x2（t），…，xn（t）]T∈Rn是狀態向量；Ai，Aτi是已知的系統常量；τ>0為常量；初始條件φ（t）是連續可微的向量函數。狀態是前提變量，針對第i個模糊規則，Fαijj是基于xj的模糊集。

通過對式（1）進行模糊融合，得到全局模糊模型為

（t）=A（x）x（t）+Aτ（x）x（t-τ）（2）

其中

A（x）=∑ri=1hi（x（t））Ai，Aτ（x）=∑ri=1hi（x（t））Aτi

這里，hi（x（t））是模糊規則i的隸屬函數，且

hi（x（t））=∏nj=1μαijj（xj（t）），μαijj（xj（t））=wαijj（xj（t））∑rjαij=1wαijj（xj（t））

其中，wαijj（xj（t））是模糊集Fαijj的隸屬度函數。μαijj（xj（t））滿足如下條件

0≤μαijj（xj（t））≤1，∑rjαijμαijj（xj（t））=1

進而

0≤hi（x（t））≤1，∑ri=1hi（x（t））=1

本文利用模糊線積分Lyapunov泛函法，解決系統（2）的穩定性問題。

2準備知識

定義1[10]（lie導數）設h（x）：Rn→R是一個光滑的標量函數，g（x）：Rn→Rn是一個光滑的向量場，h（x）關于g（x）的lie導數定義為

Lgh（x）=Δh（x）g（x），其中Δh（x）=hx

如果，V（x）是Lyapunov泛函關于系統（2），則V（x）關于系統（2）=g（x）的lie導數為LgV（x）=ΔV（x）g（x）=ΔV（x）。

引理1[11]對于矩陣R∈Rn×n>0，標量a和b滿足b>a，以及連續可微函數x（t），使如下積分不等式成立，即

（b-a）∫ba（s）R（s）ds≥[ΩT1ΩT2ΩT3]R3R5RΩ1Ω2Ω3（3）

其中

Ω1=x（b）-x（a）， Ω2=x（b）+x（a）-2b-a∫bax（s）dsΩ3=x（b）-x（a）+6b-a∫bax（s）ds-12（b-a）2∫ba∫bux（s）dsdu

引理2[12]對于矩陣R∈Rn×n>0，標量b>a，對于連續可微函數x（t），使如下不等式成立，即

∫ba∫buT（s）R（s）dsdu≥T1T2T32R4R6R123（4）

其中

1=x（b）-1b-a∫bax（s）ds， 2=x（b）+2b-a∫bax（s）ds-6（b-a）2∫ba∫bux（s）dsdu3=x（b）-3b-a∫bax（s）ds+24（b-a）2∫ba∫bux（s）dsdu-60（b-a）3∫ba∫bu∫bsx（r）drdsdu

本文為避免隸屬函數求導，采用模糊線積分Lyapunov泛函方法[9]，研究系統（2）的穩定性問題。構造一個增廣LyapunovKrasovskii泛函，即

V（xt）=V1（xt）+V2（xt）（5）

其中，V1（xt）是一個模糊線性積分Lyapunov函數，即

V1（xt）=2∫Γ（0，x）f（ψ）dψ（6）

式中，Γ（0，x）是系統初始狀態到當前狀態x的路徑；ψ∈Rn是虛擬積分向量，dψ∈Rn是微小位移向量；其中，f（x）∈Rn是x的向量函數，擁有相同的模糊規則和隸屬函數和模糊模型。

對于模糊規則i：如果x1（t）是Fαi11，…，xn（t）是Fαinn，則

f（xt）=ix（t）（7）

式中，i∈Rn是正定矩陣，且滿足

i=+Di=0p12…p1np120…p2np1np2n…0，Di=dαi1110…00dαi211…000…dαin11（8）

由式（8）可以看出，i的對角元素根據基于前提變量的模糊集的模糊規則不同而變化，非對角元素對稱相等。

對以上模糊向量進行融合，得以下全局模糊向量為

f（x（t））=∑ri=1hi（x）ix（t）（x）x（t）（9）

另外，V2（xt）選取泛函形式為式（9），即

V2（xt）=βT（t）Pβ（t）+∫tt-τxT（s）Qx（s）ds+τ∫tt-τ∫tuT（s）S（s）dsdu+∫tt-τ∫tu∫tsT（r）R（r）drdsdu（10）

其中，

β（t）=xT（t）∫tt-τxT（s）ds∫tt-τ∫tuxT（s）dsdu∫tt-τ∫tu∫tsxT（r）drdsduT；

P∈R4n×4n，且P>0，Q>0，S>0，R>0，為適當維數的矩陣。

3主要結果

本文由增廣的LyapunovKrasovskii泛函（5）可知，V（xt）是正定的。因此，選取V（xt）作為候選的Lyapunov泛函，運用引理1和引理2，可得以下結果：

定理1對于給定的標量τ>0，系統（2）漸進穩定的充分條件是存在P∈R4n×4n，且P>0，n×n的矩陣Q>0，S>0，R>0及j>0（如（8）式定義）（i=1，2，…，r），使如下LMIs成立，即

Ξii<0（11）

Ξij+Ξji<0（12）

其中

Ξij=sym（eT0je1）+sym（ΠT1PΠ2）+eT1Qe1-eT2Qe2+τ2eT0Se0-ΠT3SΠ3-3ΠT4SΠ4-5ΠT5SΠ5+τ22eT0Re0-2ΠT6RΠ6-4ΠT7RΠ7-6ΠT8RΠ8（13）

其中

e0=Aie1+Aτie2，Π1=[eT1，eT3，eT4，eT5]T，Π2=[eT0，eT1-eT2，τeT1-eT3，τ22eT1-eT4]TΠ3=e1-e2，Π4=e1+e2-2τe3，Π5=e1-e2+6τe3-12τ2e4Π6=e1-1τe3，Π7=e1+2τe3-6τ2e4，Π8=e1-3τe3+24τ2e4-60τ3e5

其中，ei=[0n×（i-1）nIn0n×（6-i）n]∈Rn×5n，i=1，2，…，5。

證明選取式（5）中的Lyapunov泛函V（xt），由上述可知，V（xt）是正定的。下面證明LMIs（11）、（12）保證（xt）<0。通過上述lie導數的定義1和式（9）可知

1（xt）=ΔV1（xt）（t）=2fT（x（t））（t）=2xT（t）（x）（t）（14）

另外，對V2（xt）關于時間t求導，為了方便，將V2（xt）寫成

V2（xt）=1+2+3+4

1=βT（t）Pβ（t），2=∫tt-τxT（s）Qx（s）ds3=τ∫tt-τ∫tuT（s）S（s）dsdu，4=∫tt-τ∫tu∫tsT（r）R（r）drdsdu

令

ξ（t）=xT（t）xT（t-τ）∫tt-τxT（s）ds∫tt-τ∫tuxT（s）dsdu∫tt-τ∫tu∫tsxT（r）drdsduT

其中

1=2T（t）Pβ（t）=ξT（t）sym（ΠT1PΠ2）ξ（t）（15）

2=xT（t）Qx（t）-xT（t-τ）Qx（t-τ）=ξT（t）（eT1Qe1-eT2Qe2）ξ（t）（16）

3=τ2T（t）S（t）-τ∫tt-τT（s）S（s）ds（17）

4=τ22T（t）R（t）-∫tt-τ∫tuT（s）R（s）dsdu（18）

對式（16）中的-τ∫tt-τT（s）S（s）ds項，根據引理1，可得

-τ∫tt-τT（s）S（s）ds≤ξT（t）-ΠT3SΠ3-3ΠT4SΠ4-5ΠΤ5SΠ5ξ（t）（19）

對（17）式中的-∫tt-τ∫tuT（s）R（s）dsdu項，根據引理2，可得

-∫tt-τ∫tuT（s）R（s）dsdu≤ξT（t）-2ΠT6RΠ6-4ΠT7RΠ7-6ΠT8RΠ8ξ（t）（20）

對式（14）～式（20）進行整理后，得

（xt）≤ξT（t）{sym（eT0（x）e1）+sym（ΠT1PΠ2）+eT1Qe1-eT2Qe2+τ2eT0Se0-ΠT3SΠ3-3ΠT4SΠ4-5ΠT5SΠ5+τ22eT0Re0-2ΠT6RΠ6-4ΠT7RΠ7-6ΠT8RΠ8}ξ（t）=ξT（t）Ξξ（t）

其中

Ξ=∑ri=1∑rj=1hi（x）hj（x）Ξij=∑ri=1h2i（x）Ξii+∑ri

進而，通過對模糊模型的解模糊，可得式（11）和式（12）成立，則（xt）<0。因此，根據李雅普諾夫穩定性定理，可得系統（1）穩定。

注1通過運用更有效的一重積分不等式（引理1）和新型二重積分不等式（引理2）在文獻[9]的基礎上進行改進，得到了保守性更低的時滯相關漸進穩定的充分條件。通過數值例子計算對比，該條件能夠獲得更好結果，且與文獻[9]比，本文去除了自由權矩陣的引入，降低了保守性。

4數值例子

本節通過兩個數值實例，與文獻[2，7，9，1318]中的方法進行比較，說明本文結果的有效性和優越性。

例1對于多篇文獻廣泛研究的時滯TS模糊系統，其中

A1=-2101-02-09，A2=-190-02-11，Aτ1=-1101-08-09，Aτ2=-090-11-12

考慮以上具有兩個模糊規則的數值算例，系統（2）漸進穩定時，時滯上限最大容許的τ值如表1所示。由表1可以看出，定理1的結果優于文獻[2，7，9，13，1516，18]的結果，此外相比較文獻[7]采用的時滯分割方法和完全Lyapunov泛函方法[2]，充分說明了本文方法的有效性和優越性。

例2對于多篇文獻廣泛研究的時滯TS模糊系統，其中

A1=-200-09，A2=-1050-1，

Aτ1=-10-1-1，Aτ2=-10-01-1

考慮以上具有2個模糊規則的數值算例，最大容許的時滯上限τ值如表2所示，由表2可以看出，定理1的結果優于文獻[2，9，14，1718]且文獻[18]采用了輸入輸出方法和時滯分割法，說明定理1的穩定性條件能夠獲得保守性更低的結果。

5結束語

本文主要利用TS模糊模型方法，對非線性時滯系統的穩定性分析進行相應的研究。較與文獻[9]相比，采用更先進的一重積分不等式和新型二重積分不等式，并結合模糊線積分Lyapunov泛函方法，給出了保守性更低的非線性時滯系統時滯相關穩定性的判定準則。通過兩個經典的數值算例進行驗證，與文獻[2]、[7]和[18]的完全Lyapunov泛函方法、時滯分割方法和輸入輸出方法相比，降低了保守性和復雜度。該方法可以應用到以后的反饋鎮定、控制器設計中，是本文以后的研究方向。

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