非慣性系中小球在液體管內運動的研究

張航凡，古學崠，楊陳明浩，黃 敏，趙蕓赫

（1.四川省成都市新都一中 銘章學院，四川 成都 610500；2.北京師范大學 物理學系，北京 100875）

長久以來，球形物體在裝滿液體的管子中運動時，因其邊界條件以及雷諾數的多變，一直是流體問題中研究的重點之一[1-3]，眾多科學家力圖對Stokes公式進行修正，以滿足任意邊界與雷諾數條件下的受力情況，至今已獲得大量經驗或半經驗公式[4-5]。2017年，IYPT（國際青年物理學家錦標賽）的賽題中就描述了這樣一種特殊的“管中球”運動，即“將一根充滿液體并含有一枚小球的密封透明管傾斜放置，且下端與馬達相連，如此管沿錐形面運動，探討球在相關參數作用下的運動。”這個實驗中會出現一些有趣的現象，但目前鮮有文獻對這些現象進行定量的理論與實驗分析。

從本質上講，本文所討論的現象是非慣性系中流體中剛體運動的過程，因此涉及到了非慣性系中剛體、流體的運動規律。而流體的運動相對復雜，如果考慮其復雜的流動行為，會對理論框架建設和求解造成不小的阻礙，因此，本文簡化了管中流體的運動，從理論上研究了管中物體的運動情形，得到了較為清晰的物理圖像，并對此進行了實驗驗證。

1 “管中球”運動的理論研究

1.1 非慣性系中液體的壓強

如果在轉動參考系（非慣性系）下考慮小球在液體中的運動，就會涉及到小球所受浮力的計算，而浮力又取決于小球在液體中所受的壓強差，所以，我們先分析非慣性系中液體的壓強。考慮在加速度場a（r）中的一段液柱，如圖1所示，r處質量為dm＝ρSdr的液體的力平衡方程為：

積分得：

在重力場中，a（r）＝g是一個常數，這時，p（r）＝p（0）＋ρgr.這是我們熟知的液體壓強公式，這里p（0）是大氣壓。當加速度場a（r）不是常數時，就需要具體積分計算。注意，在這種情況下，r處一體積為V的物體受到的浮力為F（r）＝ρa（r）V，適用條件為

1.2 “管中球”運動的動力學分析

如圖2所示，當管沿錐形面運動時，設液體的密度和黏滯系數分別為ρ0，η，小球的密度、半徑和體積分別為ρ1，R，V，系統轉速為ω.

圖1 加速場中的液柱示意圖

圖2 沿錐形面運動的管中球

選取與管子隨動的非慣性參考系，此時，沿著管子方向的等效加速度為：

管中球在運動過程中受到的力有（非慣性系）：重力、離心力、支持力、浮力、黏滯阻力，由于我們僅考慮沿著管方向的運動，即僅考慮上述力在管方向的分量即可。于是，我們可以給出該非慣性系中的運動方程為：

這一結果與文獻[6]中用非慣性系中的歐拉平衡方程得到的結果一致，我們引入等效加速度可以更直觀地理解這一非慣性系中的浮力效應。注意m＝ρ1V，因此，定義無量綱相對密度為：

則式（4）可以化為：

再定義單位質量黏滯力系數為：

最終得到化簡的小球運動方程為：

這是一個二階的常微分方程，數值求解即可。在此需要注意到的是，式（8）中存在一個穩定解，即小球的速度r˙＝0時，有：

這說明，當管子口斜向上時，轉速和管子傾角滿足一種特定關系，小球可以在管中特定位置受力平衡，出現穩定態。根據式（9），我們固定角度和固定轉速，通過Matlab模擬得到圖3所示的圖像。

圖3 固定角度和固定轉速通過Matlab模擬得到的圖像

對于給定長度的管，只有當平衡位置小于管長時才有意義。圖3說明，當轉速一定時，傾斜角越大，平衡位置越遠離轉軸；當傾斜角一定時，轉速越大，平衡位置越靠近轉軸。而在另外一些非穩定解的特殊情況下，我們也可以討論一些解析的有意義的物理情境。

1.2.1 系統不轉動時的情境

系統不轉動時，小球的運動方程可化為：

實驗時不妨直接取θ＝0，豎直下落，則有

1.2.2 管子與鉛垂線成垂直放置時的情境

當管子垂直放置時，小球的運動方程可化為：

在這種情況下，重力在管子方向不起作用，于是，小球只受到離心力和黏滯阻力的支配。

1.2.3 小球密度與液體密度相同時的情境

當小球密度與與液體相同時，則有：

無量綱相對密度為0，意味著小球密度與液體相同，即處于懸浮狀態。此時，小球只受到黏滯力的作用，而黏滯力又需要球有速度時才有，所以，如果小球有一個初速度，則會不斷減速直到速度為0，最終懸浮在轉動的管子中。顯然式（12）的解為：

我們所給出的3種特殊情況的物理圖像很清晰，對于一般情況，可以直接用數值的方法求解式（3），在實驗中驗證控制變量的結果即可。

2 實驗驗證

根據上述理論上的討論，本研究設計了如圖4所示的實驗裝置，通過調節量筒與轉軸的角度，固定拍攝設備進行拍攝，利用Tracker軟件分析小球的運動情況。

圖4 實驗裝置圖

2.1 黏滯系數的修正

我們知道，斯托克斯公式應用的條件是小球在無限寬廣、均勻的液體中下落，而實驗時，液體總要盛放在一定的容器內，其邊界不可能是無限寬廣的，即小球不可避免地會受到容器壁和液體有限深度的影響。蘭登堡曾從實驗中總結出小球在圓筒形容器的液體中下落時受到的黏滯阻力的經驗公式為[7]：

式（14）中：R0為圓筒的內半徑；H為容器中液體的深度；vT為小球運動的末速度。

由于實驗中選擇的管子半徑比較小，會導致黏滯阻力相比于無限深廣的液體環境更大。這一過程可以等效于小球在一個黏滯阻力系數為的無限深廣的液體中運動。這里我們稱之為等效黏滯系數。這樣一來，之前得到的運動方程在實際的實驗環境中應該表示為：

在式（15）中，

在實驗中，對于等效黏滯系數的測量，我們只需要讓小球在豎直放置的裝滿液體的管中自由下落，即θ＝0°，同時，測量其末速度的大小，此時，重力等于阻力，再通過式（13）（14）即可求得等效黏滯系數。結果如圖5所示。

圖5 小球在管中軸向位移隨時間的變化圖像

從圖5中可以看出，小球的實際運動與理論預測結果相符合，而且小球在較短的時間內達到了勻速運動的狀態，這正是管子的尺寸所導致的有效黏滯系數遠大于液體黏滯系數這一事實的體現。但是，由于管徑大于小球，小球在其中的運動其實并不是直線運動。這是因為，小球有一時刻不再位于管中心，由于兩側的流速不同，壓強也不同，因此，會對小球產生擾動，使它在水平方向也有運動。受管長和其他因素的限制，本文未研究小球非沿管方向的運動。

2.2 不同角度放置的“管中球”運動的實驗驗證

本文選取了管與鉛垂線成不同角度、管子以不同轉速轉動的幾種情況進行研究，實驗結果如圖6所示。在此需要注意的是，實驗中的轉動采用的是手動操作，所以，轉速的取值是整個運動過程中的平均值。

從圖6中可以看出，小球的實際運動與理論預測結果相符合，驗證了該理論的簡潔性和正確性。

圖6 不同傾斜角度下小球沿管方向的運動實驗與理論比對結果

3 結論與展望

本文討論了在一個充滿液體的管子中球的運動情況。經過理論分析，得到了非慣性系中液體的壓強p（r）＝p（0）并在此基礎上分析出了球在沿任意傾角做錐面運動的液體管中的運動方程－Kr˙小球平衡位置隨系統轉速和管擺放傾角變化的關系，以及系統不轉動時、管子豎直放置時、小球密度與液體密度相同時3種特殊情境中小球的運動情況。另外，通過定量實驗，利用管子豎直放置時的實驗曲線測得了等效黏滯系數。基于此等效黏系數，對不同角度放置的管子中球的運動進行了定量的實驗驗證，驗證了理論結果的合理性。

總的來說，通過對本問題的研究，我們為非慣性系中流體背景下剛體的運動建立了較好的理論框架，也通過實驗設計給出了研究這類問題的方案。特別要說，對于有限尺寸內的流體系統，我們給出了一些重新定義的物理量，比如單位質量黏滯力系數、等效黏滯系數等。這些量的引入為實驗測量和理論形式的化簡提供了方便，也便于我們理解該物理系統中多因素共同作用下的有效作用效果。當然，在實驗中我們也發現，由于流體的流動所導致的小球在流體中的一些異常運動現象，特別是在高速轉動的情況下，忽略流體的流場分布便會帶來較大的影響。在后續的研究中，我們期望引入流體在高速旋轉非慣性系中的動態分布對小球更多豐富的運動進行研究。