量子Fisher信息在量子光學中的應用

吳佳儀　黃子涵　胡凱璇

【摘 要】本文以干涉儀為例，討論了量子Fisher信息在量子光學中的應用。文中介紹了量子干涉儀中的分束器和相移器由幺正算符表示為量子操作，以及作為待估計參數的干涉儀的參考臂與待測臂間的相對相位，其對應的量子Fisher信息的表達式。文中還介紹了引入與初態無關，并包含所有參數化的信息的厄米算符，以便更加直觀、清晰的觀察到初態對量子Fisher信息的影響。同時，本文給出了初態為純態時，由H計算出的量子Fisher信息有利于尋找最優初態，并達到分析待估計參數的最大精度。

【關鍵詞】量子Fisher信息；Mach-Zehnder干涉儀

中圖分類號： O431.2 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）14-0148-001

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.14.067

眾所周知，很多科學理論需要通過一些物理量的高精度值來判斷，而對高精度測量的研究不僅能夠推動基本理論的發展，也是技術進步的需求和必然產物，因此度量學在科學技術發展中擁有重要地位。在度量學中，量子Fisher信息作為在量子系統中參數估計的最高理論精度，而受到了廣泛關注。尤其是在光學系統中，尋找有效的參數估計理論對于量子度量學的發展意義重大。

散粒噪聲極限一直以來都是經典度量學很難解決的問題，經典電路、光學、通訊等理論中也都有類似的困擾。該極限是由量子力學所給出的，因此人們期待通過量子力學的相關性質來超越散粒噪聲極限。而對光學干涉儀的早期研究中，沒有很好的解決這一問題。

在經典光學中，經典Mach-Zehnder干涉儀由光源、兩個分束器、一個相移器、若干鏡片和探測器組成。這個設備構成兩條嚴格分隔的光路，即當一束從光源射出的光線經過第一個分束器時，分解成兩條光路，其中一條光路上設畳有一個相移器。在經過第二個分束器后，兩束光重新聚合。通過觀測光線的干涉條紋或是讀取輸出端曰的光子數目，就可以對相位差進行測量了。當分束器無粒子數損耗時，反射光和出射光的場強復振幅模方和為1。但在很長一段時期中，無論使用什么樣的光源，在此類型干涉儀中進行的測量都無法突破散粒噪聲極限。因此有人認為，量子力學并不能給待測參數精度帶來實質性的提高。直到八十年代，時任加州理工大學研巧員的C. M. Caves教授指出，標準光學干涉儀無法突破散粒噪聲極限的原因，并不是由光源中的漲落造成的，而是此干涉儀的內秉性質決定的。該干涉儀實際上有兩個輸入端口，但其中一個無輸入態存在，此端口的真空漲落對觀測階段的光子計數誤差產生了巨大的影響，散粒噪聲由此產生。如果在這一端口輸入壓縮真空態，那么該干涉儀就能夠突破散粒噪聲極限，并且實現比以前標準干涉儀更高的參數精度。自此，量子力學對參數估計的正面作用得到了充分肯定，也標志著量子度量學的真正誕生。

在量子力學中，干涉儀中的分束器和相移器均可視為由幺正算符表示的量子操作。與經典情況不同地是，量子情況下的分束器必須考慮真空漲落，即必須有兩個輸入源，最常使用的是SU（2）干涉儀，其分束器表示為Ui（i=x，y）（θ）=exp（iθJi），其中Ji為滿足如下對易關系的Schwinger算符：

[Jx，Jy]=iJz，[Jy，Jz]=iJx，[Jz，Jx]=iJy.

并且表示為

Jx=（aa+aa），Jy=（aa-aa），Jz=（aa-aa），

其中a（a1）和a（a2）分別為兩個輸入源的產生湮滅算符。由于輸入與輸出均為兩個端口，所以Ux（θ）和Uy（θ）均為二維矩陣，其在Jz的本征空間下，Ux（θ）和Uy（θ）可表示為

Ux（θ）=cos isinisin cos，Uy（θ）=cos sin-sin cos.

當θ=0，輸出態與輸入態相同，所有光子都通過了分束器；θ=π，所有光子都被分束器反射；當θ=，為50：50分束器。反射光和折射光產生當exp（±iπ/2）的相位差。與分束器類似，相移器也用一個幺正算符表示，常用Uz（θ）=exp（iθJz）。整個干涉儀對于輸入態的作用相當于是做了一個轉動。最常見的待估計參數為干涉儀的參考臂與待測臂間的相對相位θ，其對應的量子Fisher信息表示為

F=+4p（？鄣ψ

|？鄣ψ）-|（？鄣ψ|？鄣ψ）|，

其中M為輸入口A的光子初態ρA（下轉第132頁）（上接第148頁）的維度，pi為ρA的譜分解的本征值，|ψi）=|φi）？茚|φ）中的|φi）和|φ）分別為A、B輸入口的本征態。

對于幺正參數化過程中的參數估計問題，為了簡化問題的研究，我們通過引入一個既可以刻畫參數過程，又與初態無關的厄米算符

H=i（？鄣θU？笤）U，

當初態為純態時，量子Fisher信息通過H化簡為：

F=4（ψ|（H-（H））2|ψ）.

通過厄米算符H的引入，所有參數化的信息都被吸收到H中。因此，幺正參數化下的量子Fisher信息只由初態和H共同決定。借此，初態對量子Fisher信息的影響能夠被更加直觀、清晰的觀察到。同時也有利于尋找最優初態，以達到分析待估計參數的最大精度，即最大量子Fisher信息的方法。

我們以量子干涉儀為例，討論了量子Fisher信息在量子光學中的應用。從技術角度考慮，量子Fisher信息相關研究的發展，會推動諸如量子陀螺儀、空間定位導航、引力常數測量等應用領域的進步。同時，以量子Fisher信息為例的量子度量學，其發展會加深不確定關系、波粒二象性、引力波等物理定理的理解。

【參考文獻】

[1]S.L.Braunstein and C.M.Caves，Phys.Rev.Lett.72，3439，1994.

[2]C.W.Helstrom，Quantum Detection and Estimation Theory （Academic Press，New York，1976.

[3]A.S.Holevo，Probabilistic and Statistical Aspects of Quantum Theory（North-Holland，Amsterdam，1982.

[4]M.Hubner，Phys.Lett.A 163，239，1992.

[5]R.A.Fisher，Proc.Cambridge Philos.Soc.22，700，1925.

[6]V.Giovannetti，S.Lloyd，and L.Maccone，Nature Photonics 5， 222，2011.

[7]S.Braunstein et al.，Ann.Phys.247，135，1996.

[8]T.Sagawa，and M.Ueda，Phys.Rev.Lett.104，020401，2010.

[9]J.Ma，Y.Huang，X.Wang，and C.P.Sun，Phys.Rev.A 84，022302，2011.

[10]Z.Sun，J.Ma，X.Lu，and X.Wang，Phys.Rev.A 82， 022306，2010.

[11]W.Zhong，J.Liu，J.Ma，and X.Wang，Chin.Phys.B 23，060302，2014.

[12]T.Yu and J.H.Eberly，Phys.Rev.Lett.93，140404，2004.

[13]T.Yu and J.H.Eberly，Science 323，598，2009.

[14]王陽城.Dzyaloshinkii-Moriya相互作用下一維橫場伊辛模型的量子相變[D].杭州：浙江大學，2015.

[15]劉京.量子度量學[D].杭州：浙江大學，2015.