一種二元函數極值存在的充分條件的簡單證明方法
2018-09-13 11:09:44鄭連偉
科技視界 2018年14期
鄭連偉
【摘 要】在數學分析和高等數學的教材中都用泰勒公式證明二元函數存在極值的充分條件，很復雜。本文不使用泰勒公式，給出該條件一個簡單、易懂的證明方法。
【關鍵詞】二元函數；偏導數；極值
中圖分類號：O172.1 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）14-0183-001
DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.14.083
A simple proof of sufficient condition for the existence of extreme value of functions of two variables
ZHENG Lian-wei
（School of Sciences， Northeastern University， Shenyang 110819， China）
【Abstract】In mathematics analysis and higher mathematics textbooks， the sufficient condition for the existence of extreme value of functions of two variables is proved by means of Taylors formula. The proof is very complicated. In this paper， a simple and easy-to-understand proof of the sufficient condition is presented without using Taylors formula.
【Key words】Functions of two variables； Partial derivative； Extreme value
0 引言
高等數學是大學理工科專業必修的一門基礎課程，其主要研究對象是函數。極值是函數的一個重要特性，導數是研究極值的基本方法。一元函數存在極值的必要條件是導數為零；二元函數存在極值的必要條件是偏導數為零。對于一元函數有利用一階導數或二階導數的正負號判斷極值的充分條件，這個條件很容易理解和證明；對于二元函數有利用二階偏導數判斷極值的充分條件，它不能直觀理解，而且難以證明。在著名的數學分析和高等數學教材[1-3]中利用多元函數泰勒公式證明二元函數存在極值的充分條件，很復雜，給教師的講授和學生的理解帶來了不便。尤其是高等數學課程，多元函數的泰勒公式不在教學要求內，因此根本無法講授這樣的證明，學生不能理解這個條件，只能死記硬背公式，這樣不利于增加學生的學習興趣。本文不使用泰勒公式，通過把二元函數轉換成一元函數，給出其存在極值的充分條件的一個簡單、直接、易于理解的證明方法，它完全適用于一般的多元函數，在高等數學的課堂上也能講授，給學生提供一個完整的知識體系。
1 二元函數極值充分條件的簡單證明
定理1設函數f（x，y）在點（x0，y0）的某鄰域內有二階連續的偏導數，fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0，令fxx（x0，y0）=A，fxy（x0，y0）=B，fyy（x0，y0）=C，則f（x，y）在（x0，y0）處是否取得極值的條件如下：
（1）當AC-B2>0時具有極值，且當A<0時有極大值，當A>0時有極小值；
（2）當AC-B2<0時沒有極值。
證明令F（x，y）=f（x0+x，y0+y），則f（x，y）在（x0，y0）處的極值問題可以轉換成F（x，y）在（0，0）處的極值問題，因此以下只對（x0，y0）=（0，0）的情況證明。
（1）設A<0，易知C<0。由AC-B2>0及二階偏導數的連續性可知，存在（0，0）的一個鄰域U，使得在U內，fxx（x，y）<0，fxx（x，y）fyy（x，y）-（fxy（x，y））2>0。對任意（x，y）∈U，（x，y）≠（0，0），存在ε>0，使得當-1
2 結語
本文對二元函數極值充分條件的證明首先利用二階偏導數的連續性確定了一個駐點的鄰域，然后證明了駐點的函數值是二元函數在鄰域的每個直徑上的最大值或最小值，從而是極值。本文的證明方法與文獻[1-3]著名教材的方法不同，避開使用泰勒公式，是一個很初等的證明方法。
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