多特征值分解的稀疏混沌信號盲源分離算法研究

周雙紅，王玲玲

與傳統的通信方式相比，激光混沌通信具有很多優點。由于其對初始值的靈敏度具有長期不可預測性，非常適合安全通信應用；通過使用不同的混沌吸引子或相同吸引子的不同初始值和參數產生的混沌信號可以認為是不相關的，因此容易產生大量相互正交的混沌信號，這使得激光混沌信號在多用戶通信中具有廣泛的應用前景[1]。然而，在激光通信和信號處理等領域中混沌技術的應用也可能面臨一些挑戰。對于系統現有的信道間干擾，時變衰落或混合多用戶載波，盲源分離是一個必須解決的問題。一些研究人員使用混沌信號的動態屬性進行盲源分離[2-4]，這種方法只能在源信號動態方程的條件下應用,獨立分量分析(ICA)方法也用于分離混沌信號[5-7]。這種方法假設每個源之間是互相統計獨立，并通過使用高階統計性質分離混合信號。然而，激光混沌流信號本質上是確定單一的，并且具有對初始值和寬帶光譜非常敏感的特性，因此僅通過使用統計特性難以有效地進行盲源分離。本文使用相空間重構理論描述盲源分離問題,提出了一種針對上述問題的新型混沌信號盲源分離方法。

1 混沌信號的盲源分離方法

表示為矩陣形式：

式中：

圖1 混沌流信號的盲源分離模型Fig. 1 Blind source separation model of chaotic stream signal

2 基于相空間的盲源分離理論分析

相空間重建廣泛應用于激光混沌序列的分析，如預測、診斷和激光混沌信號的李亞普諾夫指數的計算等。文獻[9]通過相空間重建，定義指數來測量流模式混沌序列相空間的生長速率——生長指數。本節將使用生長指數來描述混沌信號的盲源分離問題。

文獻[9]證明，當重構的觀測序列具有零均值時，具有以下性質。

3 盲源分離算法的過程

前一節中生長指數的性質1是在觀測序列為零均值時成立的，因此首先要對觀測信號進行均值去除：

生長指數的性質2還要求信號序列彼此不相關，這可以通過預白化觀測[信號來實現。假設自相關矩陣特征分解為，其中， Q 是正交矩陣，是對角矩陣，那么稱為白化矩陣，在線性變換后，的每個分量彼此不相關。

這種方法可以減少要優化的參數，從而顯著提高算法的收斂速度和魯棒性。本節后續部分采用以下形式的參數化矩陣來表示2階和3階正交矩陣：

對于非約束優化問題，粒子群優化算法是一種非常有效的方法。將參數向量視為粒子位置，將目標函數式(14)視為適應度函數，可以使用粒子群優化算法估計最優分離矩陣，以重構每個信道源信號。整個算法過程為：

4) 對于每個粒子，根據式 (11)、(12)、(13)計算分離矩陣B，根據式(3)計算分離信號，根據式(5)實現相位空間重構；根據式(7)～(9)計算適度函數值；

5) 應用粒子群算法優化式(14)直到滿足終止條件，記錄優化粒子位置θopt；

4 仿真實驗

本節將通過仿真實驗來評估盲源分離算法的性能。源信號通過式(1)產生混合信號，混合矩A的元素在每次仿真中通過服從[-1,1]獨立均勻分布隨機數產生。盲源分離算法的精度將通過性能指標PI來測量：

式中gij為的元素，PI越小越好，當G滿足式(6)時，PI得到最小值0。

仿真實驗中使用的4個源信號分別由Rossler吸引子式(16)、洛倫茲吸引子式(17)、Duffing吸引子式(18)和Mackey-Glass吸引子式(19)產生，前3個信號通過4階龍格庫塔法積分得到，積分步長分別為0.05、0.05、0.01，信號的長度為500 s，如圖2所示。利用4個信號組成如表1所示的三通道混合信號和雙通道混合信號，用于測試盲源分離效果的。

圖2 源信號波形Fig. 2 source signal waveform

表1 測試信號組Table 1 Test signal grouping

4.1 混沌流無噪聲信號的盲源分離仿真結果

對于表1中的三通道源信號，利用本文提出的方法進行4次盲源分離實驗，性能指標PI隨迭代步驟變化，如圖3所示。隨著迭代步長的增加，PI快速減小，在所有實驗中，算法可以通過幾十次迭代收斂。表2給出了無噪聲環境下，對表1中兩組源信號進行100次蒙特卡羅模擬之后的實驗結果，可以看出，對于組1中的三通道混合信號和組2中的雙通道混合信號的分離，提出的算法的分離精度優于快速獨立分量分析(FastICA)、蝙蝠算法(BA)和差分進化算法(DEA)。

圖3 無噪聲條件下的收斂條件Fig. 3 The convergence condition of the algorithm at no noise

表2 無噪聲條件下盲源分離算法的性能Table 2 The blind source separation performance at no noise

4.2 噪聲環境下混沌流信號的盲源分離仿真結果

本節將評估基于蟻群技術的多特征值分解盲源分離算法與基于FastICA、最小互信息和極大似然估計法對噪聲污染混合信號的分離性能。對于表1中的兩組源信號的混合信號加入高斯白噪聲。讓觀測噪聲從20 dB變化到50 dB，以5 dB的間隔測試點，在每個測試點重復100次蒙特卡羅模擬，各分離算法的分離性能指數如圖4所示。

圖4 不同盲源分離算法在不同噪聲強度下的性能Fig. 4 The performance of blind source separation algorithm under different noise intensities

5 結束語

本文描述了使用相空間重構理論的盲源分離，并為激光混沌流信號提出了一種新的盲源分離算法。該算法通過構建分離信號相位空間中的目標函數，將混沌流信號的盲源分離轉換為無約束優化問題，并通過粒子群優化算法求解。同時，它采用分離矩陣上的正交矩陣的參數表示，有效地減少了優化問題的維數，因此該算法可以快速收斂。仿真結果表明，該算法不僅具有快速收斂的特點，其在各種SNR下的精度明顯優于FastICA、最小互信息和極大似然算法。