淺談利用等式的性質(zhì)解方程教學(xué)

何嘉瑋

摘 要：在舊版人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，解方程是根據(jù)四則運(yùn)算的關(guān)系來(lái)完成的。而在最新版人教版教材中，對(duì)這部分的內(nèi)容進(jìn)行了全新的編排，要求學(xué)生會(huì)利用等式的性質(zhì)來(lái)解方程。這一改變引起了數(shù)學(xué)教師和教育學(xué)專家對(duì)教學(xué)目標(biāo)、學(xué)生數(shù)學(xué)習(xí)慣、能力培養(yǎng)等方面的討論。著重探討了利用等式的性質(zhì)解方程對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響以及對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：解方程；代數(shù)思想；等式的性質(zhì)

一、學(xué)生以往對(duì)于解方程的認(rèn)識(shí)

學(xué)生在剛開始接觸利用等式的性質(zhì)解方程是不太習(xí)慣的，等式的性質(zhì)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是陌生的，他們并不習(xí)慣在等式兩邊同時(shí)作運(yùn)算。遇到難度稍大的題目學(xué)生不熟悉該運(yùn)用哪種等式變形，甚至在運(yùn)算中還會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

實(shí)際上，解方程這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)并不陌生，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)他們從低年級(jí)開始就已經(jīng)有接觸，在中低年級(jí)的教材中會(huì)出現(xiàn)這樣的題目：（ ）+5=9，（ ）-5=9，9-（ ）=5，（ ）×6=42，（ ）÷6=7，42÷（ ）=7，求（ ）內(nèi)的數(shù)字，所利用的就是四則運(yùn)算的關(guān)系。在中低年級(jí)的時(shí)候由于考慮到學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展?fàn)顩r，這種題目并沒(méi)有出現(xiàn)未知數(shù)，而是用（ ）來(lái)代替，讓學(xué)生更多集中在關(guān)注（ ）中空白處，是一種更加具體的運(yùn)算操作，題目中沒(méi)有出現(xiàn)未知數(shù)，也沒(méi)有說(shuō)規(guī)定用什么格式去解題，但實(shí)質(zhì)上這種題目本質(zhì)上就是解方程，只是用（ ）代替了未知數(shù)x。

在舊版人教版的教材中，解方程這一節(jié)的內(nèi)容就是利用上述提到的學(xué)生已經(jīng)非常熟悉的四則運(yùn)算關(guān)系解題，學(xué)生早在中年級(jí)的時(shí)候已經(jīng)很夠熟練地背誦“加數(shù)=和-另一個(gè)加數(shù)、被減數(shù)=差+減數(shù)、減數(shù)=被減數(shù)-差、因數(shù)=積÷另一個(gè)因數(shù)、被除數(shù)=商×除數(shù)、除數(shù)=被除數(shù)÷商”這六個(gè)公式，然后判斷題目中未知數(shù)在什么位置，選取相應(yīng)的公式，從而把x解出來(lái)。所以在講授新課的時(shí)候，當(dāng)老師出題x+3=6讓學(xué)生解出x，有部分學(xué)生可以把過(guò)程和結(jié)果都解釋正確。雖然剛剛開始學(xué)生對(duì)未知數(shù)很陌生，可能不習(xí)慣把（ ）替換成x，但是經(jīng)過(guò)反復(fù)的練習(xí)和記公式，大部分學(xué)生還是能夠掌握這種計(jì)算模式。因此，一部分老師也認(rèn)為這種方法對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是最好的，學(xué)生熟悉這種方法，而且在理解和計(jì)算的時(shí)候也最不容易出錯(cuò)。

二、學(xué)習(xí)利用等式的方法解方程的必要性

通過(guò)仔細(xì)研究《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》以后，可以發(fā)現(xiàn)不同的方法背后其實(shí)隱藏著不同的思維模式。用四則運(yùn)算之間的關(guān)系解方程側(cè)重的是算術(shù)思維，而用等式的性質(zhì)解方程是側(cè)重代數(shù)思維，五年級(jí)屬于小學(xué)階段的高年級(jí)，正是培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象，從算術(shù)思維向代數(shù)思維的過(guò)渡時(shí)期。利用等式的性質(zhì)解方程時(shí)，學(xué)生需要經(jīng)歷觀察、嘗試、計(jì)算的思考過(guò)程，讓學(xué)生關(guān)注到等式兩邊的變化，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)既是一種挑戰(zhàn)，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必不可少的過(guò)程。從知識(shí)的銜接方面，小學(xué)階段接觸的題目未知數(shù)都是只出現(xiàn)在一邊，而且沒(méi)有涉及未知數(shù)加減的運(yùn)算，學(xué)生利用四則運(yùn)算的關(guān)系也沒(méi)問(wèn)題，可是到了初中接觸更復(fù)雜的題目，像8x-24=5x+12，兩邊都有未知數(shù)的題目，再到后面的方程組的題目，學(xué)生就會(huì)遇到麻煩了。所以，從小學(xué)階段培養(yǎng)學(xué)生解方程的代數(shù)思想非常有必要。

另外，利用等式的性質(zhì)解方程有利于加強(qiáng)中小數(shù)學(xué)的銜接。讓學(xué)生初步接觸一些代數(shù)的知識(shí)，擺脫算術(shù)思維方法中的某些局限性，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)代數(shù)知識(shí)做好準(zhǔn)備。

三、利用等式的性質(zhì)解方程需要注意

首先，在學(xué)習(xí)利用等式的性質(zhì)解方程之前，學(xué)生要學(xué)習(xí)等式的性質(zhì)，教師教授等式的性質(zhì)這一課時(shí)需特別重視，因?yàn)橐郧皩W(xué)生可能只注意等式的一邊，但是學(xué)習(xí)這一節(jié)的內(nèi)容他們需要注意的是等式的兩邊，學(xué)習(xí)好這一節(jié)的內(nèi)容，不僅對(duì)學(xué)生后面解方程和利用方程解決問(wèn)題有用，對(duì)學(xué)生以后初中學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)也有用，這一課是高年級(jí)階段學(xué)生由計(jì)算思維向代數(shù)思維的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，教材在教授的時(shí)候特別借助了天平這一工具，一開始天平兩邊的物體重量一樣，使得天平處于平衡狀態(tài)，當(dāng)天平的兩邊同時(shí)“加上、減去、乘、除以（0除外）”同一個(gè)數(shù)，天平依然保持平衡，需要觀察天平的兩邊，然后再把天平這一具體物體抽象成等式，就形成了等式的性質(zhì)了，這個(gè)過(guò)程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系，如果教師覺(jué)得天平對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)還是不熟悉的話，可以再說(shuō)一下學(xué)生從小就玩的蹺蹺板，原理是一樣的，都要觀察兩邊的變化。從最直觀的表象出發(fā)，歸納為抽象的數(shù)學(xué)原理。

其次，在上課的時(shí)候，我認(rèn)為老師需要注意的一點(diǎn)就是在教解方程這一課的時(shí)候，要和學(xué)生明確一點(diǎn)，解方程最終的目的是求出未知數(shù)x的值，通俗一點(diǎn)可以這么和學(xué)生說(shuō)，就像他們平時(shí)玩游戲完成任務(wù)拿寶箱一樣，拿寶箱的過(guò)程會(huì)有很多困難，但是你要想辦法克服這些困難，到達(dá)目的地拿到寶箱，寶箱就是x，解決困難的方法就是加減乘除，在明確了最后只要x這個(gè)要求以后，他們需要做的就是利用等式的性質(zhì)去加減乘除得出x。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生解決形如x+3=6，3x=18，x-16=2，x÷5=9這樣的題目是沒(méi)有問(wèn)題的，而且這也是教材中要求學(xué)生熟練掌握的，解決這類題目時(shí)，不僅老師可以通過(guò)多媒體軟件播放解題過(guò)程在天平中的操作，而且學(xué)生可以想象出來(lái)或者通過(guò)之前等式性質(zhì)中的練習(xí)知道怎么做。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)最難的題目就是當(dāng)未知數(shù)出現(xiàn)在減數(shù)或是除數(shù)的位置，如15-x=3，15÷x=3這類題目，其實(shí)課本在練習(xí)中是有的，這類題目難在你需要進(jìn)行加和乘的是未知數(shù)而不是已知數(shù)，而且在天平中也很難演示給學(xué)生看，但是其實(shí)對(duì)這些題目的要求并不高，并不是說(shuō)所有學(xué)生都要在小學(xué)階段就會(huì)這類題目，聰明的學(xué)生可以從之前的題目中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，遷移到這類題目，但是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律不敏感的學(xué)生來(lái)說(shuō)，可能需要更長(zhǎng)的時(shí)間去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，感知數(shù)學(xué)方法。

最后，在利用等式的性質(zhì)解方程的過(guò)程中也體現(xiàn)了抵消的方法，教師在教學(xué)的時(shí)候可以引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，建立解題的方法，體現(xiàn)建模思想。例如在解決“x+3=6；x-16=2；3x=18；x÷5=9”這種類型的題目時(shí)，我們的解題方法就是“x+3-3=6-3；x-16+16=2+16；3x÷3=18÷3；x÷5×5=9×5”減法是加法的逆運(yùn)算，除法是乘法的逆運(yùn)算，加法需要減法解決（抵消），乘法需要除法解決（抵消），反之亦然。抵消的思維方式對(duì)學(xué)生初中學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)的運(yùn)算是非常重要的。

四、用發(fā)展的眼光看用等式的性質(zhì)解方程

長(zhǎng)期以來(lái)，有的老師認(rèn)為小學(xué)階段所學(xué)習(xí)的一元一次方程本質(zhì)上就是四則運(yùn)算的升級(jí)版，其實(shí)不然，兩者是有區(qū)別的，學(xué)生以前所接觸的四則運(yùn)算僅僅是提供一種算法，而一元一次方程則比較全面地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的建模思想——用等號(hào)把相互等價(jià)的兩件事情聯(lián)立，重要體現(xiàn)出等號(hào)左右兩邊的兩件事情在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的，體現(xiàn)了建模的思想。如果還是利用四則運(yùn)算解方程，那么學(xué)生就還是停留在運(yùn)算的階段。但是利用等式的性質(zhì)解方程，不僅能夠解出方程，還能促使學(xué)生同時(shí)考慮等號(hào)的兩邊，從整體上理解方程的含義，并關(guān)注到兩邊的等量關(guān)系，有助于感悟方程的實(shí)質(zhì)、等價(jià)思想和建模思想，也為學(xué)生后面學(xué)習(xí)利用方程解決問(wèn)題如何找出等量關(guān)系，列出方程做鋪墊。

利用等式的性質(zhì)解方程除了滲透更多的數(shù)學(xué)思想方法外，在解方程的思路上也更為統(tǒng)一，也為學(xué)生以后學(xué)習(xí)解二元一次方程和三元一次方程提供了思考的方向和方法。

對(duì)比兩種解方程的方法，利用傳統(tǒng)四則運(yùn)算解方程是從學(xué)生已有的知識(shí)出發(fā)，在一開始學(xué)生會(huì)覺(jué)得更好接受，計(jì)算的正確率也會(huì)更高，對(duì)解決解方程的題目更有信心。但是以后遇到復(fù)雜的題目，這個(gè)方法可能行不通，學(xué)生又要學(xué)習(xí)新的方法，但是小學(xué)階段的這種方法和思路對(duì)他們來(lái)說(shuō)已經(jīng)根深蒂固了，所以可能會(huì)對(duì)學(xué)習(xí)新的方法產(chǎn)生負(fù)遷移。而利用等式的性質(zhì)解方程學(xué)生在一開始可能會(huì)覺(jué)得有點(diǎn)陌生，在解題時(shí)遇到挫折，但是隨著接觸的題目慢慢增多，教師不斷強(qiáng)化等式的性質(zhì)和動(dòng)畫的演示，學(xué)生慢慢習(xí)慣了這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，掌握了解題的規(guī)律，就會(huì)覺(jué)得好用，而且解題思路也變得清晰，學(xué)生在代數(shù)學(xué)習(xí)中有了本質(zhì)的進(jìn)步。

可以說(shuō)利用等式的性質(zhì)解方程更有利于學(xué)生的發(fā)展，對(duì)學(xué)生長(zhǎng)遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有幫助。

五、結(jié)語(yǔ)

學(xué)習(xí)一種新的解題方法，其實(shí)也是在學(xué)習(xí)一種新的思維方式，剛開始肯定會(huì)有不適應(yīng)，錯(cuò)誤也會(huì)增多，這都是正常的，學(xué)生剛開始用等式的性質(zhì)解方程，正確率肯定不如利用四則運(yùn)算解方程高，但是作為新時(shí)代的數(shù)學(xué)老師，我們需要用發(fā)展的眼光去教學(xué)，學(xué)習(xí)的目的不僅是做對(duì)現(xiàn)階段的題目，還要立足于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展。給學(xué)生一點(diǎn)時(shí)間，同時(shí)老師在教學(xué)的時(shí)候也要多琢磨一下，隨著學(xué)生對(duì)等式性質(zhì)理解的加深和熟悉，學(xué)生不僅學(xué)習(xí)到計(jì)算方法，也學(xué)習(xí)到代數(shù)的思維，這樣有利于學(xué)生以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。個(gè)人認(rèn)為在教授五年級(jí)學(xué)生解方程的時(shí)候，老師還是應(yīng)該按照課本的要求讓學(xué)生盡可能多地掌握利用等式的性質(zhì)去解，對(duì)于一些學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生可以在課后輔導(dǎo)的時(shí)候因材施教，但是整體課堂上的氣氛應(yīng)該還是著重于利用等式的性質(zhì)解方程。

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編輯 謝尾合