基于極值分布理論的WVaR度量研究及實證分析

羅 葵,陳關武,胡亦鈞

(1.深圳職業技術學院工業中心,廣東深圳 518055)

(2.武漢大學數學與統計學院,湖北武漢 430072)

1 引言

在當前金融不斷創新和環境的快速發展中,金融市場風險已成為現代金融機構監督管理的重點和難點.在銀行、證券、保險等各個領域都存在極端風險,即極端事件發生時會遭受很大損失的情況.同時,在股市中,投資者對金融資產價格未來走勢的判斷以及風險偏好的態度等行為也越來越影響著股票市場.因此,如何構建可以有效反映含有投資者風險偏好的風險模型將是非常值得研究的.

當前國內學者對金融風險度量的研究主要有兩大方向:一是研究金融資產收益率時間序列的分布問題.如柳會珍、顧嵐[1]用上證綜合指數極端日收益率進行實證研究,表明廣義Pareto模型能很好地處理日收益率數據,大盤指數日收益率序列具有弱相關性,并且發現漲跌停板的實行,收益率尾部較薄,可以有效降低投資者的收益損失風險;二是研究金融市場風險的有效度量方法.如周開國、繆柏其[2]對香港恒生指數從1985年1月1日到1999年12月31日的對數回報數據進行進行了極值VaR(Value at Risk)的研究,發現在具有重尾分布的市場,用極值方法計算市場風險價值的準確性要明顯優于方差-協方差方法.通常,金融資產收益率分布都有尖峰、厚尾的特點,而現有廣泛應用的正態分布,與實際金融資產收益率分布存在著較為明顯的差距.極值理論中的POT模型僅考慮分布尾部,不需要對分布做出假設,用數據來擬合分布的尾部,從而不用對整個分布進行建模,可以很好地描述分布尾部的分位數情況,還有助于處理風險度量中肥尾等問題.

史道濟較早對極值理論進行深入研究,所著《實用極值統計方法》[3]是國內較為完整和詳盡的極值理論方面的專業著作.朱國慶、張維[4]對上海股市日收益率數據進行GEV模型實證分析,并通過SHERMAN最優擬合度,表明上海股市極值收益分布服從Frechet分布.封建強[5]對滬、深股市收益率的極端風險進行了VaR測度研究,表明無論是從動態還是靜態來看,極值方法都優于正態假設、David法.馬玉林等[6]也利用極值理論對滬深股市的極端風險進行實證分析,表明在極端條件下,極值方法計算的VAR值更加準確.而陳學華等[7]研究金融系列一般特性的基礎上,從收益率的波動性與分布兩方面進行考慮,建立起計算時變風險值VaR和ES的模型,選取上證綜合指數為研究對象,研究結果表明基于廣義極值分布的VaR模型能夠較好地擬合指數的波動規律,具有一定的預測能力,ES模型可以有效地彌補了VaR模型的缺點.與VaR相比,ES更適合于揭示尾部風險的極端情形和金融市場風險的度量.但是,應用VaR或ES風險度量方法來度量市場風險有以下兩個方面的不足:一是VaR或ES風險度量方法依賴于置信水平的選取,而置信水平選取標準分歧較大;二是用VaR或ES來度量資本市場風險的通常假設是投資者為風險中性偏好,而這個假設與市場中的投資者普遍是風險厭惡的偏好不符合.

基于VaR或ES風險度量方法的缺陷,本文引進了一個性質更加優良的風險度量方法WVaR,是一個具有單調可加性、平移不變性、正齊性和次可加性等優點的風險度量方法.WVaR風險度量中的μ概率測度,能很好地刻畫出投資者的投資偏好,相對于傳統的VaR或ES風險度量方法,這是較新的視角和方法運用,也即本文的創新之處.

2 研究方法

2.1 WVaR的定義及表示

風險價值VaR(Value at Risk)是風險管理的核心概念,指正常的市場條件下和給定的置信度內,某一金融資產或者證券組合在將來特定的一段時間內的最大可能損失,稱為“風險中的價值”或“在險價值”,用數學表達式可表達為

VaR的優點主要在于概念比較簡單直觀、計算方便且易于理解和實施.VaR不但可以估算金融資產將來風險情形,同時還可以用一個數字對其進行表征.雖然VaR風險度量已經得到非常廣泛的應用,范圍涉及眾多重要金融領域,比如銀行、證券、保險、基金、信托等等,但是,VaR不是一致風險度量,并且沒有考慮尾部風險等不足.2000年時,學者提出了條件風險度量(CVaR),不但彌補了這些缺點,同時也保留了VaR的優點,因此被認為是一種比VaR風險度量更為合理有效的風險管理辦法.其中,CVaR是指損失額超過VaR部分的期望值,表明了金融資產超額損失的平均水平,相對VaR能更加體現金融資產風險的潛在價值.其次,CVaR不但滿足單調性、平移不變性、正齊次性而且還具有次可加性,因而是一致風險度量.CVaR的數學表達式為

雖然CVaR的屬性不錯,可以彌補VaR方法存在的缺陷,但是本文認為還存在一個風險度量WVaR相對于CVaR具有更好的屬性,并且能體現投資者的投資偏好.

根據Cherny(2006),WVaR的數學表達式為

其中μ為[0,1]上的概率測度.若μ? L[0,1],由Radon-Nikodym 定理,存在F1([0,1]),即 dμ(α)= φ(α)dα,使得

φ(λ)反映投資者風險偏好,因此WVaR體現了投資者的投資偏好.

2.2 極值分布的WVaR模型

極值分布理論是概率論的一個重要研究部分,主要研究內容有隨機樣本以及隨機過程中極值的概率值以及統計推斷.

假設某資產收益率樣本序列Xt是(?∞,+∞)上的獨立同分布的隨機變量,考慮n個收益率集合{X1,······,Xn}.該集合的最小收益率為最小次序統計量,同時最大收益率為最大次序統計量.最大收益率X(n)與VaR、CVaR及WVaR的計算高度相關,這里重點討論最大收益率X(n)的性質.

Jenkinson[8]在1995年提出廣義極值分布模型(簡稱GEV分布),其分布函數為

這也加大了統計方面的應用,上式(2.5)為最大收益率的一般極值分布,若x＞?1/ξ,ξ是形狀參數.這個分布包括了Gnendenko[9]在1943年提出的三種類型的極限分布.

ξ=0,Gumbel族,CDF為

ξ＞0,Frechet族,其CDF為

ξ＜0,Weibull族,其CDF為

Frechet族分布研究是風險管理中研究的核心部分,它包括了平穩分布和學生分布,是由具有肥尾尖峰的母分布得到,在處理金融數據方面效果較好.

設定F(x)為股價日收益率損益分布函數,μ為閾值,Yi=Xi?μ表示超額量,則超額分布函數可表示為

則有

根據Pickands-Balkama-deHaan定理知,超額部分函數,對于足夠大的閾值u,可以用廣義帕累托分布近似.Pickands[10]在1975年提出,對于一大類分布F的條件超額分布函數Fu(x),存在一個GPD,使得

對于y＞0,F(u)的經驗分布估計為(n?Nu)/n,得到尾部的估計為

等價有

進一步可以求得分位數xλ的估計為

由于VaR是金融投資組合損益分布的一個高分位數,在給定的置信水平λ的條件下,則有

根據式(2.2),有

其中根據GPD分布的性質,對于任意的u＞u0,平均超出量函數e(u)可以定義為

則有

若ξ＜1時,結合式(2.18),(2.20),(2.21),有

其中的參數都是用極大似然估計.

根據前面WVaR的數學表達式,有

這里要準確計算WVaR涉及兩個方面的問題:CVaRλ(X)的精確估計,φ(λ)的準確設定.CVaRλ(X)的精確估計可以用廣義Pareto分布POT模型方法進行測算,φ(λ)的設定,引用Acerbi[11]設定的指數風險函數進行測算,其形式是

這里的R是一個正數,表示個體的絕對風險厭惡系數,R越大,則說明個體規避風險程度就越大.則WVaR的計算公式為

WVaR有個非常良好的屬性,考慮金融資產收益率損益的整個分布情況,體現投資者的主觀風險規避,取值不依賴于置信水平,而前面的VaR和CVaR取值依賴于置信水平,這會給估計帶來一定的主觀性.

在金融市場中,投資者或者監管層一般都是風險厭惡者,φ(λ)體現風險監管者的態度,這個也會比VaR,CVaR有更好的屬性.

3 極值理論度量金融風險價值實證研究

3.1 樣本的選取和數據來源

本文以上證綜合指數、深證成分指數、標準普爾指數、納斯達克指數為實證研究對象,并將極值理論應用于風險度量中,構建基于極值理論的WVaR.選取2004年01月01日到2013年12月31日為構建模型提供樣本數據;另一組為檢驗樣本組(2014年01月01日至2016年12月31日),為檢驗模型精確性提供樣本數據.以Pt表示第t日的指數收盤價,則各指數的日收益率為Rt=ln(Pt)?ln(Pt?1),Xt=?Rt.

3.2 數據分析和正態性檢驗

(1)數據分析.通過上證綜合指數收益率圖(圖1)可知,該指數收益率系列存在明顯的波動聚類性,即一次較大的波動后伴隨著一次較大的幅度的波動,一次較小的波動后伴隨著一次較小的波動.深證成分指數、標準普爾指數、納斯達克指數也是這樣的情形.

圖1:上證綜合指數走勢圖及其收益率圖

(2)正態性檢驗.根據表1可見,上證綜合指數、深證成分指數、標準普爾指數、納斯達克指數收益率的偏度分別為-0.2705、-0.5340、-0.3261、-0.2255,即為上證綜合指數、深證成指數、標準普爾指數、納斯達克指數都出現一定程度的左偏;同時峰度都大于正態分布的峰度3,說明具有一定的尖峰、厚尾的特征;J-B統計量也都遠大于臨界值,表明上證綜合和深證成分、標準普爾、納斯達克等指數收益率系列不服從正態分布,不能用正態分布來擬合該收益率系列.

表1:四大指數的日收益率基本統計量

3.3 閾值的確定及GPD參數的估計

(1)閾值和參數的確定.要正確估計β,ξ,需要選取適當的閥值μ.過高的閥值μ會造成過少的超額數,會導致參數估計的方差偏高;而太小的μ則會導致太多的超額數,產生有偏的估計量,一般地,μ的選取根據樣本的超額均值函數e(μ)的線性性質得到,其中Nu為超出u的收益率數量.易知,如果超額均值函數在超過某一閾值μ后,會有明顯的線性變化,且斜率為正時,表明觀測到的數據服從廣義Pareto分布且ξ＞0.

以上證綜合指數為例,為了更好的利用閥值模型和提高超額均值函數圖的精度,數據在原來的基礎上擴大100倍,其他保持不變.從圖2可以看出,對于原始數據,當μ＞0.023時,平均超額量函數圖是近線性的,此時超過μ的數據總共有175個.在Hill圖中,可以看出,閾值從0.023左右開始,形狀參數ξ的圖形開始趨于平穩,表明閾值的選取0.023較為合理.

圖2:上證指數收益率平均超越量函數圖和Hill圖

同理,深證成分指數、標準普爾指數、納斯達克指數等收益率系列的最優閾值也可采用類似的方法確定.然后用極大似然估計分別對上證綜合指、深證成份指數、標準普爾指數、納斯達克指數等日收益率系列的GPD的尺度參數β和形狀參數ξ進行估計,結果如表2.

表2:四大指數收益率系列的GPD的尺度參數β和形狀參數ξ估計

由于各指數形狀參數ξ=0.01798、0.03116、0.14360、0.17785,說明上證綜合指數、深證成分指數、標準普爾指數、納斯達克指數收益率服從厚尾、尖峰分布,這與各指數收益率的描述統計量所顯示的結果是一致的.形狀參數ξ值顯著不等于正態分布尾部參數ξ=0值,相對正態分布,極值波動水平較高,表明各大指數極端事件發生的可能性比正態分布的大.

(2)模型有效性檢驗.本文進行模型檢驗的方法為,把估計的廣義Pareto分布和經驗概率圖(P–P圖)、分位數圖(Q–Q圖)、收益率水平圖分布進行比較,檢驗模型的擬合程度.

圖3:上證綜合指數GPD模型診斷圖

以上證綜合指數為例,通過圖3可以看出,在上證綜合指數GPD模型診斷圖中,P–P圖和Q–P圖等基本呈線性,收益率水平圖說明模型的曲線和經驗估計值之間偏差較小,全部都在置信區間內,模型的選取較為合理的,模型的有效性得以通過.用類似方法,同樣可以得到深證成分指數、標準普爾指數、納斯達克指數GPD模型診斷圖,根據診斷圖,可以判定模型的選取是合理的,模型的有效性也得以通過.

(3)WVAR中概率測度μ中風險厭惡系數的確定

根據式(2.23)可以得到,不同厭惡系數R下,隨著累積概率P值的增加,風險規避權重函數的走勢圖.

圖4:不同風險厭惡系數下的指數風險函數

從圖4可知,R=50、75、100對應的指數風險函數值,隨著累積概率的增加顯著增加,絕對風險厭惡系數R值越大,在超過一定累計概率時,風險厭惡函數值越大,投資者厭惡程度越大.在實際風險管理中,應當給予風險系數較高的R值,即風險厭惡程度較高,意味著計算WVaR時,賦予尾部極端風險損失值的權重較大,賦予一般損失值較小的權重,這樣充分考慮了金融資產極端損失的風險.反之,則沒有很好考慮到極端損失值.這樣假設可以很好地考慮了投資者的風險偏好態度,在計算風險值時,賦予較大漲跌幅于大的權重.綜合以上討論,本文認為選取R=100的風險厭惡系數是比較合適的,能夠較好地反映出投資者的風險厭惡態度.

(4)VaR、CVaR、WVaR值的計算

根據前面極大似然估計法得到的廣義Pareto分布參數,可以分別計算出不同置信水平λ假設下的VARλ和CVARλ值.結合WVaR度量的性質,得到風險厭惡系數R=100的WVAR值,計算結果如表3所示.

表3:VAR、CVAR、WVaR值計算結果

根據表3,可以看出:(1)不同置信水平下,CVaR值都比VaR值大,并且可以得到不同風險方法具體的風險值,比如對于上證綜合指數,其日收益率VaR為4.94%,表示上證綜合指數有1%的可能性日收益率低于-4.94%,CVaR等于6.33%表示在給定日收益率低于-4.94%條件下的平均收益率為-6.33%的概率是1%.(2)考慮投資者的風險風險偏好態度時,上證綜合指數的WVaR風險值為7.20%、深證成分指數的WVaR風險值為7.89%、標準普爾指數WVaR風險值為6.96%、納斯達克指數WVaR風險值為6.83%,同在中國市場滬深證券指數風險值相近,同在美國的標準普爾風險值和納斯達克指數風險值相近,并且國內市場的風險值比美國的市場風險值大,這和同在一個市場情形風險相差不大相符,也和美國市場比中國市場更加穩定有關.(3)極值方法的VaR和歷史模擬法進行比較,在置信水平95%下,VaR值比歷史模擬計算出的值大,表明高估了市場風險,而在99%的置信水平下,VaR值比歷史模擬計算出的值小,表明低估了市場風險,這與損失(收益)分布的厚尾、尖峰特性相一致.

(5)不同風險度量方法精確度比較

根據巴塞爾Ⅲ監管要求,金融機構在進行內部風險計量模型前,要進行更加綜合的基礎評估,用至少一個交易年度的數據對該模型所計算的風險值進行后驗分析,以評估該計量模型的精確以及合理程度.因此,采用前面設定的檢驗樣本組對四種方法所求的風險值進行后驗分析.

表4:不同風險度量方法下的風險值后驗檢驗結果

從表4不同風險度量方法的后驗檢驗來看,若以5%的失敗概率來檢驗模型精確度,除上證綜合指數和深證成分指數的歷史模擬法、VaR不能通過檢驗之外,其他的度量方法基本上能通過檢驗.而以巴塞爾規定的1%失敗概率來檢驗模型是否準確,對于國內的滬深兩市的指數只有含有風險偏好的極值風險值WVaR可以通過檢驗,為最優,其他方法均沒法通過檢驗.對于國外發達相對穩定的美國市場標準普爾和納斯達克指數都可以通過檢驗.

4 結論

如何準確度量金融市場風險一直以來都是金融學研究的核心課題.本文以上證綜合指數、深證成分指數、標準普爾指數、納斯達克指數為樣本,構建含有風險偏好的極值WVaR方法來對其進行風險度量,同時與忽視投資者風險態度的歷史模擬法、傳統的VaR和CVaR等風險度量方法進行對比,得到以下結論.

(1)通過對國內外代表性股票市場指數日收益率序列進行統計分析,發現無論是國內的新興市場還是國外成熟的資本市場,指數日收益率系列具有明顯的波動聚類性,出現明顯的左偏、尖峰肥尾的特性,廣義Pareto分布能夠較好擬合極端日收益率數據,較為準確反映金融市場的極端價格波動.

(2)相對于通過選取合適置信水平計算得到的VaR和CVaR市場風險值及歷史模擬法風險值,考慮投資者的風險厭惡態度的極值WVaR方法更加準確地反映市場的實際風險,因為置信水平的選取沒有統一的標準,隨意性較大.

(3)目前,隨著金融工具的不斷創新,風險管理日趨完善,極值理論的風險度量成為研究的重點方向,利用WVaR風險測度,為改進金融市場風險度量研究提供了創新思路和方法,防止過度投機的行為出現,同時使我國金融監管機構對金融投資進行有效監管,對我國的金融市場建設有著比較重大的現實意義.