基于傳遞矩陣法的超聲珩齒復合變幅器設計*

□ 周夢妮 □ 張寧寧 □ 侯云盼

渭南師范學院數理學院 陜西渭南 714099

1 設計背景

超聲珩齒是將超聲振動切削技術應用于硬珩齒加工的一項技術，其高頻振動提高了磨粒實際切削速度和切削能力，被加工齒輪的表面質量明顯優于普通珩齒的表面質量［1］。從加工效益、加工質量及經濟性方面考慮，超聲珩齒能夠達到較好的效果［2］。對于大多數齒輪與變幅桿組成的變幅器而言，變幅桿作一維縱向振動，齒輪作彎曲振動，兩者振型完全不同，連接處的耦合共振關系相對比較復雜，同時齒輪是變幅器的非諧振單元。實際工作中，常用理論解析法、等效電路法或傳遞矩陣法來設計變幅器，這三種方法均有不同程度的適用性。文獻［3-7］基于經典薄板理論對彎曲振動變幅器進行比較深入的研究，認為薄板理論本身存在不足，變幅器數學模型不完善，結果誤差較大，適用范圍小，很有必要對厚板振動方法進行探索。文獻［8］分析了超聲珩齒縱向振動變幅器三種設計方法的優缺點及各自的適用場合，為設計變幅器時選擇適當的計算方法提供了理論依據。文獻［9-10］應用半解析法及罰函數法研究了厚度變化對中厚環板振動的影響。文獻［11-12］研究了單一變幅桿、復合變幅桿與中厚圓板組成的變幅器的動力學特征，并基于邊界條件方程組求解彎曲振動變幅器。為了改善復合變幅器的性能，筆者基于Mindlin中厚板理論，推導出復合變幅器的傳遞矩陣，完成了圓錐形復合彎曲振動變幅器的設計，并對其振幅等做了研究。筆者的研究提供了一種合理可行的復合彎曲振動變幅器設計方法。

2 變幅器結構

復合變幅器采用了兩端等長的圓錐形變幅桿［13］，結構如圖l所示。d1、d2分別為變幅桿大小端直徑，l1、l2分別為變幅桿大小段與中間段長度，齒輪簡化為一個等厚度圓環板，其內半徑a=d2/2，外半徑為b，板厚為h。將齒輪安裝于變幅桿小端心軸，并用螺母固定，螺母因為尺寸相對齒輪而言很小，所以在計算中予以忽略。變幅桿作一維縱向振動，齒輪在變幅桿的作用下作彎曲振動，變幅器整體作縱彎耦合振動。

3 變幅器頻率方程

3.1 圓環板傳遞矩陣

在超聲珩齒中，為了獲得良好的加工質量，要求齒輪作節徑數為0的軸對稱橫向彎曲振動。齒輪作為圓環板，在這種振動模態下其切向內力和變形必恒為0。因此，根據Mindlin中厚板理論，若不計切向應變和應力，圓環板橫向彎曲振動在極坐標系中的變形函數和內力函數如下［14］：

圖1 復合變幅器結構

式中：βr為圓環板轉角；wr為橫向位移；Mr為彎矩；Qr為剪力； Ji（δi，r）為貝塞爾函數；Yi（δi，r）為諾伊曼函數；Ai、Bi為由圓環板邊界條件決定的待定常數；G為剪切模量。

δ1、δ2、σ1、σ2為引入的相關參數，表達式如下：

式中：ρ、ω、H分別為圓環板的密度、角頻率、彎曲剛度常數；R、S分別為圓環板轉動慣量和橫向剪切變形影響因數；E為彈性模量；γ為泊松比。

圓環板內外表面的力學和變形分量分別用下標a、b表示，則圓環板外表面的矩陣形式為：

圓環板內表面的矩陣形式為：

圓環板內外表面間力和變形的關系矩陣為T，于是有：

得：

3.2 變幅器傳遞矩陣

為方便研究，取兩端等長的圓錐形變幅桿，其四端網絡傳輸矩陣特征方程為［15-18］：

式中：F1、ξ1分別為變幅桿輸出端的力和振幅；F0、ξ0分別為變幅桿輸入端的力和振幅。

D為復合變幅器總傳遞矩陣，則有：

由復合變幅器數學模型可知 Mrb=0，Frb=0，βra=0，F0=0，若式（22）有解，則有：

式（23）即為復合變幅器的頻率方程，若已知材料和幾何參數，就可以求出系統諧振頻率。根據求出的頻率，可求出 A1、A2、B1、B2，再代入式（2），可求出圓環板的橫向位移。

4 動力學分析

復合變幅器具體參數為d1=54 mm，d2=18 mm，l1=30 mm，a=9 mm，b=60 mm，h=18 mm， 工作頻率 f=30 kHz，變幅桿中間段長度l2=20～140 mm。應用MATLAB軟件繪制頻率方程解的誤差Δ與變幅桿中間段長度l2的關系曲線，如圖2所示。由圖2可以看出，解誤差曲線與誤差為0的直線有交點，即為頻率方程的數值解，可得變幅桿中間段的設計長度l2=90 mm。

▲圖2 頻率方程解誤差與變幅桿中間段長度關系曲線

復合變幅器材料為45號鋼，密度ρ=7.8×103kg/m3，泊松比γ=0.28，彈性模量E=216 GPa，剪切模量G=84 GPa，對復合變幅器位移振幅進行計算，可以分別得出變幅桿和圓環板振幅隨自身幾何尺寸的變化曲線，如圖3和圖4所示。在此基礎上，對變幅器進行ANSYS有限元仿真諧振響應分析，可以得到變幅桿和圓環板振幅隨自身幾何尺寸的變化仿真曲線，如圖5和圖6所示。由仿真分析可知，在頻率為29.719 kHz時變幅桿作縱向振動，圓環板作橫向彎曲振動，與理論計算基本一致，頻率誤差僅為0.94%，誤差值在工程應用允許范圍之內。

5 頻率特性分析

為進一步研究復合變幅器幾何參數對系統諧振頻率的影響，保持其它參數不變，改變其中一個參數，將有限元分析結果與理論計算結果進行比較，見表1～表5。

表1 系統諧振頻率隨變幅桿中間段長度變化數據

表2 系統諧振頻率隨變幅桿兩端長度變化數據

由表1和表2可以看到，在保持圓環厚徑比0.30不變的情況下，變幅器諧振頻率隨變幅桿中間段長度和大小兩端長度的增大而減小，理論計算結果與有限元仿真結果比較一致，誤差較小，表明理論計算的正確性。

▲圖3 變幅桿振幅變化曲線

▲圖4 圓環板振幅變化曲線

▲圖5 變幅桿振幅仿真變化曲線

▲圖6 圓環板振幅仿真變化曲線

表3 系統諧振頻率隨圓環板厚度變化數據

表4 系統諧振頻率隨圓環板外徑變化數據

表5 系統諧振頻率隨變幅桿兩端半徑變化數據

由表3可以看到，在其它參數不變的情況下，隨著圓環厚度的增大，復合變幅器的諧振頻率增大。由表4可以看到，在其它參數不變的情況下，隨著圓環板外徑的增大，復合變幅器的諧振頻率減小。由表5可以看到，當變幅桿大小端半徑比值保持不變時，系統諧振頻率隨兩端半徑的增大而增大，理論計算結果與有限元仿真結果基本一致，但是圓環彎振頻率與計算值及仿真值相差較大，這充分體現了非諧設計理論的正確性。

6 測試

為驗證理論分析和有限元仿真結果的正確性，按照所設計的復合變幅器結構尺寸，采用45號鋼加工復合變幅器簡化模型，用螺母連接圓環板和圓錐形變幅桿，用阻抗分析儀進行測試。在計算機軟件中選擇串口為COM1，輸入起始頻率為29 kHz，終止頻率為31 kHz，選擇坐標系為對數坐標系，精度等級為Normal。掃描結束后，得到測試結果，如圖7所示。由圖7可知，導納圓為單圓，對數坐標只有一對極大值和極小值，被測變幅器的導納曲線正常，表明被測變幅器振動性能良好，其諧振頻率為30.537 kHz，與設計頻率誤差為1.79%，誤差值在工程應用允許范圍之內。

▲圖7 復合變幅器測試結果

7 結論

基于Mindlin中厚板理論，推導了應用傳遞矩陣法計算由圓環板與圓錐形變幅桿組合的超聲珩齒復合變幅器諧振頻率方程，對振動特性進行了研究，分析了變幅器各參數對系統諧振頻率的影響，結果表明理論計算和有限元仿真及測試結果基本一致，系統頻率隨變幅桿各段長度的增大而減小，隨圓環板厚度的增大而增大，隨圓環板外徑的增大而減小，此結果可為復合變幅器的實際應用提供參考，同時也表明基于傳遞矩陣法設計的復合變幅器達到了生產應用要求。筆者所述方法是一種有效的變幅器設計方法，可用于超聲珩齒振動系統動力學特性的研究。