自然的微積分

本欄目前一期故事中，鵬飛和浩天再次回到古希臘，遇到了芝諾在街頭演說(shuō)，說(shuō)什么“運(yùn)動(dòng)是不可能的”。芝諾還留下了三個(gè)悖論讓人們思考。

眾人一下子不知該如何解決這三個(gè)悖論，于是在街頭七嘴八舌地議論起來(lái)：

“這個(gè)巴門(mén)尼德的高足，搞什么怪？很顯然的事實(shí)經(jīng)他一說(shuō)全亂套了——運(yùn)動(dòng)是不可能的？”

“既然運(yùn)動(dòng)是不可能的，他怎么走掉了呀？哈哈！”

“一定是邏輯上出了什么問(wèn)題！”

“是的，運(yùn)動(dòng)當(dāng)然是可能的了！所以我們也可以走了，走吧！回去好好想想！”

人群散去，只留下我們的這兩個(gè)外來(lái)客。

浩天：“問(wèn)題出在哪里呢？”

鵬飛：“其實(shí)，芝諾自己也無(wú)法解決這些悖論。第一個(gè)叫‘二分法悖論，一條有限的線(xiàn)段，每次對(duì)半分，可以無(wú)限分下去；第二個(gè)叫‘阿喀琉斯追不上龜悖論，說(shuō)的也是線(xiàn)段無(wú)限可分；第三個(gè)悖論‘飛矢不動(dòng)，認(rèn)為空間和時(shí)間是由一些離散的點(diǎn)所組成，在每一空間點(diǎn)和相對(duì)應(yīng)的時(shí)間點(diǎn)上，箭都有一個(gè)確定的位置，沒(méi)有移動(dòng)，所以在所有時(shí)空點(diǎn)上箭都沒(méi)動(dòng)?！?/p>

浩天：“那芝諾的意思就是說(shuō)，空間和時(shí)間都是無(wú)限可分的，都可分成無(wú)限小的點(diǎn)，這些無(wú)限小的點(diǎn)沒(méi)有大小，只占據(jù)一個(gè)位置。”

鵬飛：“假設(shè)時(shí)空都可以看作是由這些不可再分割的無(wú)限小的點(diǎn)組成，芝諾還有一個(gè)否定這個(gè)觀點(diǎn)的悖論沒(méi)講。他的第四個(gè)悖論是‘運(yùn)動(dòng)場(chǎng)悖論?！?/p>

鵬飛邊說(shuō)邊在地上給浩天畫(huà)圖。

“假設(shè)在操場(chǎng)上，由所謂的無(wú)限小的緊挨著的點(diǎn)組成了隊(duì)列B、C和觀眾席A，它們正好對(duì)齊?，F(xiàn)在B、C兩個(gè)隊(duì)列開(kāi)始移動(dòng)，在一個(gè)最小時(shí)間單位里，B和C相對(duì)于觀眾席A分別向右和向左各移動(dòng)了一個(gè)最小距離單位。那么問(wèn)題來(lái)了。相對(duì)于B而言，在一個(gè)最小時(shí)間單位里C移動(dòng)了兩個(gè)距離單位。隊(duì)列C既可以在一個(gè)最小時(shí)間單位里相對(duì)A移動(dòng)一個(gè)距離單位，也可以在一個(gè)最小時(shí)間單位里相對(duì)B移動(dòng)兩個(gè)距離單位。也可以說(shuō)，隊(duì)列C在半個(gè)最小時(shí)間單位里移動(dòng)一個(gè)距離單位。這說(shuō)明最小時(shí)間單位的假設(shè)是不成立的，因?yàn)樗€可以再分。如果說(shuō)不能再分，結(jié)論就是半個(gè)時(shí)間單位等于一個(gè)時(shí)間單位。這一矛盾說(shuō)明時(shí)空不是由不可分割的無(wú)限小的點(diǎn)組成的，同時(shí)也說(shuō)明隊(duì)列是移動(dòng)不了的，運(yùn)動(dòng)是不存在的?！?/p>

鵬飛環(huán)視了一下這古希臘的街頭：“知道嗎，還有一位學(xué)者叫德謨克利特。他提出，任何事物，包括時(shí)空，都是由不可再分的原子構(gòu)成，這就是‘原子論?！?/p>

浩天：“‘原子論？古希臘人化學(xué)水平這么高??？”

鵬飛呵呵一笑：“德謨克利特的‘原子論所說(shuō)的原子不是我們所說(shuō)的原子，而是‘原始粒子的意思?！?/p>

德謨克利特認(rèn)為原子是最小的、不可分割的物質(zhì)粒子。原子之間存在著虛空，無(wú)數(shù)原子自古以來(lái)就存在于虛空之中，它們既不能創(chuàng)生，也不能毀滅，任何變化都是由它們的結(jié)合和分離引起，它們?cè)跓o(wú)限的虛空中運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成萬(wàn)物。

德謨克利特也是個(gè)數(shù)學(xué)家，他把原子學(xué)說(shuō)運(yùn)用到了數(shù)學(xué)上，提出數(shù)學(xué)原子論：每一個(gè)數(shù)就是一個(gè)不可分割的原子，空間里的每一個(gè)點(diǎn)也是一個(gè)原子，時(shí)間上的每一時(shí)刻也是一個(gè)原子。因此，由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)排列成的一條線(xiàn)是有寬度的，不然無(wú)數(shù)條線(xiàn)怎么能排成一個(gè)面？面也是有厚度的，否則多個(gè)面無(wú)法堆積成有體積的物體。

鵬飛：“后來(lái)，在1803年，英國(guó)科學(xué)家道爾頓提出物質(zhì)是由原子構(gòu)成的。這里的原子是有前提的——化學(xué)反應(yīng)中不變的最小粒子。其實(shí)在核反應(yīng)中，原子是變化的，但這是大約1900年后出現(xiàn)的概念，與德謨克利特的‘原子論不是一回事。”

浩天：“因此，他們認(rèn)為物質(zhì)可以無(wú)限分下去，但最終有一個(gè)極小的、原始的東西不可再分。”

鵬飛：“但芝諾有一句格言：將一物加在另一物之上而不使其增大，再將它從另一物中減去又不使其減小，那么該物就是無(wú)。他反對(duì)無(wú)窮小這一觀念?！?/p>

浩天：“看來(lái)，芝諾這四個(gè)悖論是無(wú)法用數(shù)學(xué)原子論來(lái)解釋的?？墒俏覀儊?lái)的目的——用剪刀剪斷紙上畫(huà)的線(xiàn)，到底是斷口上那個(gè)點(diǎn)粘在了剪刀刃上，還是剪刀從兩個(gè)點(diǎn)之間剪過(guò)去了，還是一個(gè)點(diǎn)被剪成兩半了？這還是沒(méi)有答案啊！”