自然的微積分

本欄目前一期故事中，鵬飛和浩天再次回到古希臘，遇到了芝諾在街頭演說，說什么“運動是不可能的”。芝諾還留下了三個悖論讓人們思考。

眾人一下子不知該如何解決這三個悖論，于是在街頭七嘴八舌地議論起來：

“這個巴門尼德的高足，搞什么怪？很顯然的事實經他一說全亂套了——運動是不可能的？”

“既然運動是不可能的，他怎么走掉了呀？哈哈！”

“一定是邏輯上出了什么問題！”

“是的，運動當然是可能的了！所以我們也可以走了，走吧！回去好好想想！”

人群散去，只留下我們的這兩個外來客。

浩天：“問題出在哪里呢？”

鵬飛：“其實，芝諾自己也無法解決這些悖論。第一個叫‘二分法悖論，一條有限的線段，每次對半分，可以無限分下去；第二個叫‘阿喀琉斯追不上龜悖論，說的也是線段無限可分；第三個悖論‘飛矢不動，認為空間和時間是由一些離散的點所組成，在每一空間點和相對應的時間點上，箭都有一個確定的位置，沒有移動，所以在所有時空點上箭都沒動。”

浩天：“那芝諾的意思就是說，空間和時間都是無限可分的，都可分成無限小的點，這些無限小的點沒有大小，只占據一個位置。”

鵬飛：“假設時空都可以看作是由這些不可再分割的無限小的點組成，芝諾還有一個否定這個觀點的悖論沒講。他的第四個悖論是‘運動場悖論。”

鵬飛邊說邊在地上給浩天畫圖。

“假設在操場上，由所謂的無限小的緊挨著的點組成了隊列B、C和觀眾席A，它們正好對齊。現在B、C兩個隊列開始移動，在一個最小時間單位里，B和C相對于觀眾席A分別向右和向左各移動了一個最小距離單位。那么問題來了。相對于B而言，在一個最小時間單位里C移動了兩個距離單位。隊列C既可以在一個最小時間單位里相對A移動一個距離單位，也可以在一個最小時間單位里相對B移動兩個距離單位。也可以說，隊列C在半個最小時間單位里移動一個距離單位。這說明最小時間單位的假設是不成立的，因為它還可以再分。如果說不能再分，結論就是半個時間單位等于一個時間單位。這一矛盾說明時空不是由不可分割的無限小的點組成的，同時也說明隊列是移動不了的，運動是不存在的。”

鵬飛環視了一下這古希臘的街頭：“知道嗎，還有一位學者叫德謨克利特。他提出，任何事物，包括時空，都是由不可再分的原子構成，這就是‘原子論。”

浩天：“‘原子論？古希臘人化學水平這么高啊？”

鵬飛呵呵一笑：“德謨克利特的‘原子論所說的原子不是我們所說的原子，而是‘原始粒子的意思。”

德謨克利特認為原子是最小的、不可分割的物質粒子。原子之間存在著虛空，無數原子自古以來就存在于虛空之中，它們既不能創生，也不能毀滅，任何變化都是由它們的結合和分離引起，它們在無限的虛空中運動，構成萬物。

德謨克利特也是個數學家，他把原子學說運用到了數學上，提出數學原子論：每一個數就是一個不可分割的原子，空間里的每一個點也是一個原子，時間上的每一時刻也是一個原子。因此，由無數個點排列成的一條線是有寬度的，不然無數條線怎么能排成一個面？面也是有厚度的，否則多個面無法堆積成有體積的物體。

鵬飛：“后來，在1803年，英國科學家道爾頓提出物質是由原子構成的。這里的原子是有前提的——化學反應中不變的最小粒子。其實在核反應中，原子是變化的，但這是大約1900年后出現的概念，與德謨克利特的‘原子論不是一回事。”

浩天：“因此，他們認為物質可以無限分下去，但最終有一個極小的、原始的東西不可再分。”

鵬飛：“但芝諾有一句格言：將一物加在另一物之上而不使其增大，再將它從另一物中減去又不使其減小，那么該物就是無。他反對無窮小這一觀念。”

浩天：“看來，芝諾這四個悖論是無法用數學原子論來解釋的。可是我們來的目的——用剪刀剪斷紙上畫的線，到底是斷口上那個點粘在了剪刀刃上，還是剪刀從兩個點之間剪過去了，還是一個點被剪成兩半了？這還是沒有答案啊！”