傳輸線教學中關于復數阻抗負載反射系數的修正

唐濤　唐軍　孫浩然

摘要：在微波傳輸線理論教學中，由阻抗確定反射系數是一個重要的知識點。教科書一般只針對負載阻抗為實數的情況進行講解，但是在實際工程運用中常會遇到負載阻抗為復數的情況。本文運用傳輸線理論闡述了阻抗和反射系數之間的關系，并分別應用功率方程和功率波的分析方法推導了復數阻抗條件下的反射系數修正公式。

關鍵詞：微波傳輸線；復數阻抗；反射系數；標簽天線

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）34-0097-02

引言

傳輸線理論是微波技術教學的基礎，在傳輸線阻抗特性的教學中，輸入阻抗與反射系數之間的關系是教學重點，一般運用反射系數來判斷傳輸線的工作狀態。如反射系數Γ=0，此時的負載是匹配負載，傳輸線處于行波工作狀態；反射系數Γ=1，負載是短路、開路或純電抗，傳輸線處于駐波工作狀態。但是在復數阻抗負載情況下，反射系數可能會出現Γ>1的情況，這時負載阻抗與源阻抗需要共軛匹配，此時反射系數的計算需要修正，本文將從功率和功率波的角度討論復數阻抗條件下反射系數和阻抗之間的關系。

一、負載匹配與反射系數的關系

傳輸線的阻抗匹配，可以由戴維南等效電路來說明[1]。根據波動方程，可取端口電壓U為入射波電壓U+與反射波電壓U-之和。從信號源向負載看去的反射系數

從式（1）可以看出，Γ=0條件是負載阻抗等于信號源阻抗，但是此處傳輸線是均勻無耗且信號源的阻抗是實數。當傳輸線有損耗或者信號源的阻抗是復數，那么阻抗匹配的關系將變成共軛匹配Z =Z 。

二、共軛匹配與反射系數之間的關系

設信源內部等效阻抗是Z =R +jX ，傳輸線具有復數阻抗與負載相連，那么等效的復數負載阻抗為

Z =Z =R -jX =R +jX 。負載得到的功率為

根據圖1，式（2）最終可得

從式（3）給出的功率方程可以得出阻抗共軛匹配的條件是R =R ，X =-X 。即當Z =Z 時，負載能夠得到最大的功率。結合式（1）給出的實數阻抗反射系數的計算公式，當負載和源阻抗共軛匹配時有

這一結果和反射系數的定義相悖，因為當負載和源阻抗共軛匹配時，負載獲得最大功率，此時反射系數應該等于0，但根據式（4）只要當X ≠0時，則有Γ≠0；并且如果X >R ，那么有Γ>1，而反射系數的取值范圍應該為0≤Γ≤1。所以復數共軛匹配電路中，式（4）應該進行修正。

1.功率方程計算反射系數。復數阻抗下式（2）可改寫并展開為

令信號源最大的可利用功率為P = ，式（5）的分子和分母同乘Z +Z ，再經恒等變形，可推導出

其中

那么有P =P （1-ΓΓ*）。

當Γ=0（Z =Z ）或者Γ =0（Z =Z ），即阻抗共軛匹配時，負載可獲最大功率，且反射系數嚴格滿足0≤Γ≤1。所以在復數阻抗的電路中，應該使用反射系數修正公式，即式（7）。

2.功率波計算反射系數。對于這一發現Kurokawa等人提出了功率波的計算方法[2]。首先定義功率波的入射波和反射波的波幅分別為

根據式（9）和式（10）可得反射系數

所以不論從功率方程還是功率波的角度來看，復數阻抗的反射系數都應該進行修正。

結語

本文在均勻傳輸理論的基礎上，針對傳統阻抗和反射系數的關系不適用于復數共軛阻抗匹配的問題，以功率方程和功率波為依據，提出了正確的具有廣泛適用性的反射系數和阻抗之間的修正公式。該修正公式適用于復數阻抗情況下的反射系數的求解。

參考文獻：

[1]李晨暉.戴維南等效電路的求解方法及例示[J].青海大學學報（自然科學版），2001，19（4）：40-42.

[2]S.Llorente-Romano，A.Garca-Lamperez，T.K.Sarkar，and M.Salazar-Palma."An exposition on the choice of the properS parameters in characterizing devicesincluding transmission lines with complex reference impedances and a general methodology for computing them"[Z].IEEE Antennas Propag.Mag.，，vol.55，no.4，pp.94–112，Aug.2013.