窗函數的奇數階約束問題探討

歐巧鳳　熊邦書

摘要：本文明確了經典FIR濾波器的窗函數法中窗函數的奇數階約束問題：在定采樣率數字信號處理系統中，窗函數法設計的線性相位FIR數字濾波器必然為第一類線性相位數字濾波器，階數N必須為奇數，并闡明了該結論適用于高維濾波器設計。

關鍵詞：數字濾波器；窗函數；奇數階約束；線性相位

中圖分類號：TN911.72 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）34-0200-02

引言：通過多年的教學研究和多套教材的對比研究發現，窗函數法設計線性相位FIR數字濾波器理論中，對于濾波器階數N，即窗函數的窗口長度N，國內外的數字信號處理教材均給出了N的計算公式N的計算公式N≥ 。由N≥ 取整得到的N可能為奇數，也可能為偶數，例如N≥65.8時，N究竟取66還是67，國內外的相關教材中，并沒有說明N能否取偶數。部分習題參考書中有這樣的說明：“為了方便，N取奇數”。部分參考書中對分別取奇數和偶數進行了計算和解答。

1.窗函數濾波器的奇數階約束。窗函數法也稱傅氏級數法，其設計線性相位FIR數字濾波器的思想是利用時域截短序列h（n）近似理想濾波器的無限長脈沖響應h （n），從而在頻域H（e ）近似H （e ）。所設計的線性相位FIR濾波器滿足h（n）=h（N-n-1），當N為奇數時，可以實現低通、高通、帶通和帶阻濾波器；N為偶數時，不可以實現高通和帶阻濾波器。因此，高通和帶阻的線性相位FIR濾波器已經存在奇數階約束。下面證明窗函數法設計的低通和帶通線性相位FIR濾波器也存在奇數階約束，即窗函數存在奇數階約束。理想低通濾波器LPF幅度特性和相位特性公式表達為：H （e ）=1，0，0≤ω？搖≤ωω <ω？搖≤π θ（ω）=-jω·α。對應的特性曲線如圖1（a）所示。理想帶通濾波器BPF幅度特性和相位特性公式表達為：H （e ）=1，0，ω ≤ω？搖≤ω 其它，θ（ω）=-jω·α。對應的特性曲線如圖1（b），圖中帶通濾波器等效于截止頻率為ω 的低通濾波器函數減去截止頻率為ω 的低通濾波器函數。

低通濾波器頻域響應函數統一表示為：H （e ）=e ，00≤ω？搖≤ω ω <ω？搖≤π，其中α為低通特性的群延時。對H （e ）進行傅立葉逆變換，可求得理想低通濾波器的時域響應序列為：h （n）= H （e ）e dn= e e dw= · （1）

理想帶通濾波器的時域響應序列為：

由式（1）和式（2）可知，低通和帶通的h （n）均具有偶對稱特性，且對稱中心是序列最高點對應的下標n=α。理想低通濾波器h （n）如圖2所示，h （n）是無限長非因果序列，物理上不可實現。實際中，忽略一定階次以上的旁瓣能量，截取有限長序列h（n）作為h （n）的近似逼近，方法是取窗函數w（n）與h （n）相乘h（n）=h （n）·w（n），物理上表示對h （n）進行截取，并根據窗函數的系數進行旁瓣衰減。幾種常用的窗函數的時域曲線如圖3所示。

圖2中的α為延時單元的個數。數字信號中根據采樣間隔來確定時間t=n*Δt= ，在定采樣率信號處理系統中，小數個延時單元沒有意義，因此，數字序列下標α必須為整數。

h （n）對稱中心上有一個最大序列值點h（α）。待設計的FIR濾波器需要線性相位，因此h（n）是偶對稱或奇對稱的序列。由圖3可知，常規窗函數是有限長序列，具有偶對稱性：w（n）=w（N-n-1）。根據序列運算規律可知，濾波器函數h（n）=h （n）·w（n）依然是偶對稱序列，h（n）對應的數字濾波器為第一類線性相位。根據序列相乘須對應點相乘，h（α）=h （α）·w（α），w（α）是序列中的一個點，且必須是序列對稱中心，所以α必須為整數，h（n）總長度N=2α+1，必然為奇數。反之，假設窗函數階數N為偶數，要保證線性相位，則h（n）必須偶對稱，N=6的h（n）如圖4（a）所示，其中延時單元的個數α= =2.5為小數，則h （n）=S （n-α）=S （n-2-0.5），對于定采樣率數字信號處理，小數下標無意義，α=2.5，N=6。對于變采樣率數字信號處理，在N之間插值N-1個點，在2倍重采樣條件下h（n）長度為N+（N-1）=11，仍然存在奇數階約束。如果h（n）非偶對稱，h（n）如圖4（b）所示，此時設計的FIR濾波器不是線性相位，不屬于設計線性相位FIR數字濾波器設計范疇。

2.窗函數法設計FIR濾波器理論中的奇數階約束引申到二維圖像濾波，同樣適用。對二維圖像數據I（x，y）進行空間濾波，數字圖像處理教材中很早就會講到均值濾波、高斯濾波等算法，所采用的算子模板尺寸有3×3和5×5等，模板尺寸為奇數的原因，教材中一般解釋為考慮到關于當前像素點對稱，本質原因是定采樣率濾波器存在奇數階約束，下面以二維高斯濾波器為例進行說明。高斯函數的傅立葉變換仍是高斯函數，因此，頻域的二維高斯低通濾波器w （u，v），其時域響應函數也為高斯函數：

H（x，y）為無限長的二維函數，通過尺寸為N×N的二維矩形窗函數ω （x，y）進行截斷，則得到N階二維高斯數字濾波器。其中取平滑系數σ=2、N=5的二維矩形窗函數進行截斷，可得到平滑系數為2的5×5高斯算子模板H（x，y），如圖5所示。采用二維時域卷積，可得到高斯濾波后的圖像F（x，y）=I（x，y）？鄢H（x，y）。

二維高斯函數具有可分離性：H（x，y）=e =

e ·e =H（x）·H（y），因此對輸入圖像I（x，y）先進行x方向的一維高斯濾波，再進行y方向的一維高斯濾波，可達到二維高斯濾波的相同效果。一維加窗高斯濾波器存在奇數階約束，因此，二維窗函數在兩個維度上存在奇數階約束。

結論：從上述推導可以看出，采用窗函數法設計定采樣率FIR數字濾波器，濾波器階數N必須為奇數，且設計出來的濾波器必然為第一類線性相位數字濾波器。

參考文獻：

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