導數的幾個巧妙用

吳慧卓

摘要：從新的角度推導了商的求導法則、反三角函數的求導法則和初等幾何中的余弦定理，擴展了求解思路和方法，也擴大了導數的應用范圍。

關鍵詞：求導法則；反三角函數；余弦定理

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）34-0202-02

在高等數學里，利用乘積的求導法則和鏈式求導法則不僅可以解決某些導數的計算問題，還可以巧妙的被用來推導其他的求導法則和求導公式，甚至還可以利用導數建立微分方程來證明初等幾何中的余弦定理。下面，分別給出三種問題的證明.

一、利用乘積的求導法則推導商的求導法則

注：這個方法簡單易懂，但缺點是沒有首先證明商的導數的存在性。但對于較低要求的學生，還是有借鑒意義的。

二、利用復合函數求導法證明反三角函數的求導公式

注：一般教材推導反三角函數的導數公式都是利用原函數的導數等于反函數導數的倒數這個關系來推導的，但很多學生對這個方法中的反函數的導數不甚理解，而這個方法未涉及反函數求導法則。

三、利用復合函數求導法則推導余弦定理

考慮由圖2給出的三角形ABC，證明余弦定理：

證明：由正弦定理知

解此微分方程，有

a =b +c -2bccosB

筆者從新的角度推導了商的求導法則、反三角函數的求導公式，所采用方法與一般教材的方法不同，該方法簡潔易懂，更利于學生學習和掌握。另外，導數除了可用于解決高等數學中的單調性、極值、拐點和凹凸等問題外，還可以證明初等幾何中的余弦定理，進一步擴大了導數的應用范圍。

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