單位圓周上具有重極點的Z變換與傅里葉變換相互計算的方法*

陳紹榮，何 健，朱行濤，劉郁林

（1.陸軍工程大學通信士官學校，重慶 400035；2.軍委裝備發展部軍事代表局駐成都地區軍事代表室，四川 成都 610041；3.重慶市經信委，重慶 400015）

0 引 言

在國內外《數字信號處理》教材及著作[1-4]中，針對序列的DTFT與ZT的互相表出問題，僅給出序列ZT的收斂域包含Z平面的單位圓周和序列的DTFT在Z平面的單位圓周上解析時序列的DTFT與ZT的代換關系。然而，這種簡單的代換關系，不是在任何序列情況下均成立。本文將單位圓周上具有重極點的ZT分解成單位圓周上含極點和不含極點兩部分之和，將序列的DTFT分解成解析部分與不解析部分之和，研究了序列的DTFT與ZT之間的關系，不僅解決了單位圓周上具有重極點的ZT與DTFT的相互計算問題，而且得到了一些有益的結論。

1 由序列的Z變換確定其傅里葉變換

從逆ZT的計算可知，若雙邊序列f(k)的Z變換F(z)的收斂域為va＜|z|＜vb，則雙邊序列f(k)中，因果序列對應F(z)的區內極點zi(i=1,2,…,p)（即|zi|≤va的極點），反因果序列對應F(z)的區外極點ze(e=1,2,…,q)（即|ze|≥vb的極點）。

1.1 若滿足條件va＜1＜vb

考慮到va＜1＜vb，則F(z)的收斂域va＜|z|＜vb包含Z平面上的單位圓周z=ejω，那么復變量z可在單位圓周上取值，即可令z=ejω。于是，從序列f(k)的Z變換F(z)獲得了序列f(k)的傅里葉變換（DTFT），即：

1.2 若F(z)在Z平面單位圓周上存在極點

由式（2）可知，將F(z)在Z平面單位圓周上的極點分離出來，使F1(z)的收斂域擴大，且包含Z平面的單位圓周z=ejω；F2(z)僅存在區內極點zi(i=1,2,…,p)，且滿足max=1。顯然，F2(z)的區內極點是F(z)的區內極點，且F2(z)對應的序列F2(k)為因果序列。

（1）若F(z)在Z平面單位圓周上僅存在區內單極點zi=ejωi(i=1,2,…,p)，則式（2）可寫成：

式中，系數Ai(i=1,2,…,p)可利用留數進行計算，即：

式（3）中，將z用ejω代換，則有：

對式（3）取逆ZT，可得：

由于：

對式（6）兩邊取DTFT，并考慮到DTFT的頻移性質、式（7）及式（5），則有：

式中，系數Ai(i=1,2,…,p)利用式（4）進行計算。

（2）若F(z)在Z平面單位圓周上僅存在區內n重極點zl=ejωl，則式（2）可寫成：

式中，系數Bi(i=1,2,…,n)利用式（10）進行計算，即：

在式（9）中，將z用ejω代換，則有：

對式（9）兩邊取逆ZT，可得：

考慮到式（7）、DTFT的頻域微分性質及DTFT的時移性質，則有：

同理，可得：

式中， Xλ(ω)=δ ′(ω)?jλδ(ω),λ=1,2。

對式（14）進行推廣，可得ZT在Z平面單位圓周上具有 n +1階極點的因果序列的頻譜計算公式，即：

式中， Xλ(ω)=δ ′(ω)?jλδ(ω),λ=1,2,…,n。

對式（12）兩邊取DTFT，并考慮到DTFT的頻移性質、式（15）及式（11），則有：

式中，Xλ(ω)=δ′(ω)?jλδ(ω),λ=1,2,…,n?i，系數(i=1,2,…,n)利用式（10）進行計算。

同理，由式（17）可導出式（18），即：

式中，Xλ(ω)=δ′(ω)?jλδ(ω),λ=1,2,…,n?i，系數Ai(i=1,2,…,p)及Bi(i=1,2,…,n)分別利用式（4）及式（10）進行計算。

1.2.2 va＜＜1時

若va＜＜1，則F(z)可寫成：

由式（19）可知，將F(z)在Z平面的單位圓周上的極點分離出來，使F1(z)的收斂域擴大，并且包含Z平面的單位圓周；F2(z)僅存在區外極點ze(e=1,2,…,q)，且滿足min=1 。顯然，F2(z)的區外極點正是F(z)的區外極點，且F2(z)對應的序列F2(k)為反因果序列。

同理，由式（20）可導出式（21），即：

式中，Xλ(ω)=δ′(ω)?jλδ(ω),λ=1,2,…,n?i，系數Ae(e=1,2,…,q)及Bi(i=1,2,…,n)分別用式（22）及式（23）進行計算，即：

1.3 若滿足條件va＜＜vb＜1

考慮到va＜＜vb＜1，將F(z)展成部分分式F(z)=F1(z)+F2(z)時，則F2(z)中至少存在一項，其極點z成為F(z)的區外極點，e且滿足=vb＜1。若令z=，則Z變換Fe(z)對應的反因果序列(k)=?(?k?1)不滿足絕對可和條件，即：

1.4 若滿足條件1＜va＜＜vb

考慮到1＜va＜＜vb，將F(z)展成部分分式F(z)=F1(z)+F2(z)時，則F1(z)中至少存在一項其極點z成為F(z)的區內極點，i且滿足=va＞1。若令z=ejω，則Z變換Fi(z)對應的因果序列(k)=Mε(k)不滿足絕對可和 條件，即：

由式（25）可知，Fi(ejω)不存在，因此F(ejω)不存在。

結論1：若序列F(k)的Z變換F(z)的收斂域及收斂域的邊界均不包含Z平面的單位圓周z=ejω，則序列F(k)的傅里葉變換F(ejω)不存在。

2 由序列的傅里葉變換確定其Z變換

2.1 若F(ejω)在Z平面單位圓周z=ejω上解析

所謂函數F(ejω)在Z平面單位圓周z=ejω上解析，即表明函數F(ejω)在z=ejω上處處可導，亦即函數F(ejω)的導函數滿。因此，函數F(ejω)在Z平面單位圓周z=ejω上解析，意味著Z平面單位圓周z=ejω應包括在F(z)的收斂域va＜＜vb內，即va及vb應滿足va＜1＜vb。當然，可以直接將ejω換成z，即：

當獲得F(z)后，其收斂域可用一個與單位圓周重合但能內外移動的圓周搜索決定：往內碰到F(z)的第一個極點，就是收斂域的內邊界圓周=va；往外碰到F(z)的第一個極點，就是收斂域的外邊界圓周=vb。

2.2 若F(ejω)在Z平面單位圓周z=ejω上不解析

因為函數F(ejω)在Z平面單位圓周z=ejω上不解析，所以單位圓周z=ejω應在F(z)的收斂域之外，不能直接將ejω換成z。雙邊Z變換F(z)有可能不存在，也可能存在。即使存在，單位圓周z=ejω將會是F(z)收斂域的邊界，F(z)收斂域的可能形式是1＜＜vb或va＜＜1。否則，連F(ejω)都不存在。

首先通過部分分式展開，將F(ejω)分成在Z平面單位圓周z=ejω上解析的F3(ejω)及在Z平面單位圓周z=ejω上不解析的F4(ejω)兩部分，再進行分析和研究。

（1）若Z平面單位圓周z=ejω上不解析的部分(ejω)是由沖激函數及其導數構成。

①若Z平面單位圓周z=ejω上不解析的部分(ejω)具有式（17）的形式，則有：

②若Z平面單位圓周z=ejω上不解析的部分(ejω)具有式（21）的形式，則有：

（2）若F(ejω)僅存在Z平面的單位圓周z=ejω上不解析部分F(ejω)=F4(ejω)，則F(z)不存在。

結論2：由于常數序列、無時限序列、周期序列、符號函數序列、[Sa(k)]n序列（其中，n為正整數）的傅里葉變換F(ejω)，僅存在Z平面單位圓周z=ejω上不析部分，即F(ejω)=F4(ejω)，因此，這些序列的雙邊Z變換F(z)不存在。

3 應用舉例

例3.1：若已知象函數：

試求傅里葉變換F(ejω)。

利用式（4）計算系數Ai(i=1)，可得：

利用式（10）計算系數Bi(i=1,2,3)，可得：

由式（18）可得：

例3.2：若已知象函數：

試求傅里葉變換F(ejω)。

解：考慮到：

令(z2+1)(z?1)=0 ，得3個區外單極點

利用式（22）計算Ae(e=1,2,3)，可得：

由式（21），可得：

4 結 語

本文基于分解的基本思路，將單位圓周上具有重極點的ZT分解成單位圓周上含極點和不含極點兩部分之和。針對單位圓周上含極點的ZT部分，分區內極點和區外極點兩種情況進行了深入研究，揭示了單位圓周上僅存在區內重極點的因果序列的頻譜計算公式；將序列的DTFT分解成解析部分與不解析部分之和，對其不解析部分進行了詳細討論。這不僅解決了單位圓周上具有重極點的ZT與DTFT的相互計算問題，而且得到了一些有益的結論。