無人直升機蹺蹺板式旋翼結構的動力學分析

石偉興 劉培志 趙小川 關永峰

（中國兵器工業計算機應用技術研究所，北京 100089）

0 引言

蹺蹺板式旋翼結構通常具有2 片槳葉，2 片槳葉共用1個槳轂，槳轂承擔揮舞運動，即左右槳葉的揮舞運動是關聯的，單側槳葉向上揮舞必然引起對側槳葉向下揮舞，這也是蹺蹺板式旋翼與全鉸接式旋翼的區別所在，我們通常也稱蹺蹺板式旋翼為半剛性旋翼[1]。為提高操縱性，揮舞鉸附近一般設置揮舞橡膠阻尼，而擺振鉸與擺振橡膠阻尼一般在槳葉根部附近的槳夾位置處。一種典型的蹺蹺板式旋翼結構示意圖如圖1 所示。

圖1 一種典型的蹺蹺板式槳轂結構示意圖

將旋翼槳葉以及槳轂簡化成剛體模型，即旋翼旋轉時，槳葉以及槳轂繞分別繞揮舞鉸和擺振鉸進行上下揮舞運動和水平周向擺振運動，旋翼的運動的變形量主要靠揮舞橡膠和擺振橡膠的變形來實現[2]。下文根據蹺蹺板式槳轂的結構，進行合理的假設與簡化，建立蹺蹺板式旋翼結構的動力學模型，并對其進行計算和分析。

1 動力學模型

1.1 動力學簡化模型

對于蹺蹺板式旋翼，其揮舞鉸位于主軸軸線位置，即揮舞鉸外伸量為零，而周期性的揮舞運動對主軸的彎矩主要靠揮舞橡膠的相對垂向位置h 來調節，2 片槳葉連同槳轂一起在擺振橡膠處產生揮舞運動，對于單片槳葉其振幅為θ。該蹺蹺板式旋翼的擺振鉸外伸量較明顯，當槳葉受到周期性的周向哥氏力作用時，槳葉繞擺振鉸在擺振橡膠處產生擺振運動，振幅為α[2]。

根據剛體假設對蹺蹺板式旋翼進行動力學簡化，其簡化模型如圖2、圖3 所示。

圖2 揮舞運動簡化模型

圖3 擺振運動簡化模型

圖中各參數的物理意義分別為ω—旋翼轉速，R—旋翼直徑，m—單片槳葉質量，mhub—槳轂重量（1 個槳轂裝配2 片槳葉），l—槳轂揮舞受力點與揮舞橡膠的距離，h—揮舞橡膠相對垂向位置，k1、c1—揮舞橡膠剛度系數和粘性阻尼系數，p—擺振鉸外伸量，q—擺振阻尼相對位置，k2、c2—擺振橡膠剛度系數和粘性阻尼系數。

周期變距時，左右槳葉受到不對稱氣動力的作用，對于單片槳葉來說這種不對稱力是周期變化的，且變化周期與旋翼的轉速周期有關系[3]。在該文的動力學分析中，對氣動力進行了簡化，用F1、F2表示（下文用ΔF 表示該不均勻氣動力的合力的幅值），氣動諧波考慮前4 倍旋翼轉速的氣動諧波的影響，以方便對問題進行闡述。

1.2 動力學分析

一般直升機旋翼的揮舞角一般在10°左右，符合小角度假設，此時tanθ ≈θ，當槳轂繞揮舞鉸轉動θ 角度時，揮舞橡膠的壓縮變形Δx 可表示為：

氣動力和揮舞橡膠的合力在揮舞鉸處力矩平衡，結合旋轉運動，對于單側槳葉來說，其揮舞運動平衡方程：

式中：I 為單側槳葉和槳轂對揮舞鉸的質量慣性矩，t 為單片槳葉從0 時刻開始旋轉所用時間，設x 表示槳轂或槳葉質心距離主軸的距離，假設槳轂和槳葉的質量均勻分布，則根據材料力學質量矩計算公式

ΔF 表示的是對于同一片槳葉，每旋轉一周所受到的不均勻氣動力的合力的幅值，該氣動力合力是個正弦變化的交變力，周期正好是旋翼轉速ω[4]。

由揮舞運動方程得其揮舞方向固有頻率為：

對于蹺蹺板式旋翼，其槳轂具有半剛性的特點，當單側槳葉揮舞運動時，同時會影響其對側槳葉的運動，在剛體假設的情況下，旋翼進行周期變距操縱時，兩側槳葉的揮舞運動方向相反，揮舞角絕對值相同，單片槳葉旋轉一周，揮舞角從θmax變化到-θmax，然后再變化到θmax，中間經過2 處揮舞角為零的情況。分析如圖4 所示。

單片槳葉從相位角0 開始旋轉，0～2π 過程中，θ 角的變化經過一個完整的周期，即θ=θmaxcos（ωt）（t 為單片槳葉從0 時刻開始旋轉所用時間，0 ≤t ≤T，T=2π/ω）。而重心距離主軸的位置變化也遵循三角余弦變化：

重心的徑向速度即為重心位置函數對t 求導得：

哥氏力為哥氏加速度乘以槳葉質量，即：

由上式易得，重心的位移和速度周期均為1/2ω，即哥氏力的頻率為旋轉頻率的2 倍，大小為2ω。具體可參考圖10的算例曲線。

因此擺振運動平衡方程為：

式中：I 為槳葉對擺振鉸的質量慣性矩，

其擺振固有角頻率為：

圖4 哥氏力周期計算示意圖

2 計算結果分析

根據以上分析，現有某起飛重量500 公斤級無人直升機，其旋翼為蹺蹺板結構形式，其主要的物理參數包括旋翼轉速、直徑、槳葉質量、槳轂質量、擺振橡膠的物理參數以及位置參數、揮舞橡膠的物理參數和位置參數等，根據1.2節的動力學分析，下文將進行具體的分析計算，并分析各參數對固有頻率的影響。

2.1 揮舞方向固有頻率計算與分析

將參數代入揮舞固有頻率計算公式，得到揮舞方向結構固有頻率為2.4378 Hz。揮舞方向各參數對旋翼固有頻率的影響分析結果如圖5 ～圖9 所示。

根據同樣的思路，將參數代入擺振固有頻率計算公式，得到擺振方向結構的固有頻率為2.9326 Hz。同樣也可以得到擺振方向各參數對旋翼固有頻率的影響結果。

圖5 揮舞橡膠剛度系數k1 影響

圖6 槳葉質量m 的影響

圖7 槳轂質量mhub 的影響

圖8 揮舞橡膠的垂向位置h 的影響

圖9 擺振鉸外伸量q 的影響

2.2 揮舞角大小對哥氏力的影響

設旋翼的揮舞角為10°，在以上參數情況下，計算一個旋轉周期內的揮舞角、重心位置、重心徑向速度以及哥氏力等參數的變化情況，計算結果如圖10 所示。

由計算結果可得得，在揮舞角為10°的情況下，槳葉受到交變哥氏力的作用，其峰值為745 N（76.07 kg），周期為0.047 s，即頻率為21.28 Hz，為旋翼轉速的2 倍。

改變揮舞角的大小，分析哥氏力幅值與揮舞角的關系，如圖11 所示。

圖11 所示，單片槳葉哥氏力的大小隨揮舞角的增大而迅速增大。而蹺蹺板式旋翼左右槳葉的揮舞運動始終是同步的，即對于整副旋翼，其受到的哥氏力在頻率不變的情況下，幅值為單片槳葉的2 倍。算例中哥氏力的幅值量級已經和直升機的起飛重量相當，如果不經過減振，將引起直升機各部件劇烈的振動。

2.3 簡諧激勵下的揮舞運動

圖10 取槳葉旋轉一周（1 個揮舞運動周期）的計算結果

圖11 揮舞角與單片槳葉哥氏力的關系

設存在四階揮舞激振力[3]，大小分別為F1=500 N，F2=200 N，F3=100 N，F4=50 N，對應頻率分別為ω、2ω、3ω、4ω，其他參數的初始值與上文所述保持一致。計算結果如圖12 所示。

圖12 揮舞運動時域響應計算結果

由以上結果可得，旋翼在激振力的作用下，最后達到穩定振動狀態，揮舞橡膠的振動幅值約為0.53 mm，對應的加速度幅值約0.3 g。下面將進行頻譜分析。

設我們關注的最高頻率為10.8Hz×4=44Hz，根據采樣定理，設采樣頻率為100 Hz。我們希望得到的頻率之間的間隔≤0.25 Hz，則取最小采樣長度為N=00/0.2=500。對時域結果進行傅里葉分析。結果如圖13 所示。

圖13 揮舞運動頻譜分析結果

計算結果共得到5 個頻率值，分別是2.4 Hz（結構揮舞固有頻率）、10.8 Hz（1 階激振頻率）、21.6 Hz（2 階激振頻率）、32.4 Hz（3 階激振頻率）、43.4 Hz（4 階激振頻率），縱坐標表示各階頻率振動的幅值大小情況。

保持k1=50 000 N/m，c1=1 000 N·s/m 不變，分析h 對振動幅值的影響，計算結果如圖14，圖15 所示。

圖14 橡膠垂向位置h 對10.8 Hz 的振幅影響

圖15 橡膠垂向位置h 對21.6 Hz 的振幅影響

由以上計算結果可知，揮舞振動幅值與揮舞橡膠的位置基本是線性關系，橡膠距離揮舞角越遠，振動幅值越大。在實際的旋翼設計中，直升機的操縱靈活性與槳轂力矩有很大關系，如果揮舞方向完全自由，無揮舞橡膠的約束，則旋翼操縱時，機身完全依靠旋翼氣動力的改變來實現運動狀態的改變，而揮舞橡膠的存在使得槳轂對機身產生了揮舞方向上額外的槳轂力矩，從而使直升機的操縱靈活性得到提高[5]，然而揮舞力矩過強時，槳轂以及槳葉所受的揮舞力矩會非常大，同時揮舞振動也更多的傳遞到主軸上，這樣就對槳轂、槳葉以及主軸的強度和疲勞壽命提出了更高的要求。在實際的設計中，應綜合考慮h 的取值。

如果k1調整到50 000 N/m 保持不變，分析c1的影響，其主要影響固有頻率幅值的變化，對激振力的幅值影響不大，結果如圖16 所示。

圖16 阻尼c1 對振動幅值的影響

2.4 哥氏力作用下的擺振運動

設哥氏力幅值為1 000 N（約102 kg，對應約12°的揮舞角），根據上文擺振運動方程，將哥氏力作為激振力進行響應計算。由計算結果可得，在哥氏力的作用下，擺振運動最終趨向穩定振動，揮舞橡膠的振動幅值約為0.75 mm，對應的加速度幅值約0.7 g。下面將對擺振運動進行頻譜分析。

已知我們關注的最高頻率為10.8 Hz×2=21.6 Hz，所以設采樣頻率為60 Hz。我們希望得到的頻率之間的間隔≤0.25 Hz，取采樣長度為N=250。將時域信號進行傅里葉計算，結果如圖17 所示。

圖17 擺振運動頻譜分析計算結果

計算得到2 個頻率值，分別是2.88 Hz（結構擺振固有頻率）和21.6 Hz（哥氏力激振頻率），且觀察縱坐標能了解他們的幅值大小情況。

保持阻尼c2=1 000 N·s/m 不變，改變k2的大小，看頻譜響應的變化，如圖18 所示。

隨著k2的增加，旋翼固有頻率逐漸提高，到k2=2 500 000 N/m左右時，哥氏力激振頻率接近旋翼固有頻率，發生共振，位移和加速度都達到最大值，為保證結構安全，實際的結構設計中，k2應在50 000 N/m 以下。

如果k2調整到50 000 N/m 保持不變，分析c2的影響，可得到c2的大小主要會影響固有頻率峰值的改變，而對哥氏力21.6 Hz 的峰值影響不大。如圖19 所示。

當阻尼值很小時，頻譜分析得到2 個峰值，包括固有頻率和激振力的幅值，且兩者的位移幅值基本相當，固有頻率的加速度幅值較小。當阻尼逐漸增加時，固有頻率逐漸消失。因此，結構設計中如果要避免固有頻率的影響，除了直接改變固有頻率的頻率值使其遠離激振頻率以外，還可以增加阻尼值，從而使固有頻率不容易被激振出來，使其影響降到最小，該例中，當c2的值大于500 N·s/m 以上時，固有頻率的影響就不再明顯。

3 結論

通過以上的計算和分析，主要得到以下結論。

首先，揮舞運動的影響系數中，其對固有頻率的影響從大到小分別為剛度系數k1、揮舞橡膠的相對垂向位置h、槳葉的重量m、擺振鉸外伸量p、槳轂重量mhub。擺振運動的影響系數中，其對固有頻率的影響從大到小分別為剛度系數k2、擺振橡膠相對位置q、槳葉質量m 以及擺振鉸外伸量p。

其次，為降低旋翼揮舞和擺振固有頻率，可適當采用重量較大的槳葉，能夠達到適當降低固有頻率的目的。

再次，對于蹺蹺板式旋翼，整副旋翼受到的哥氏力在頻率不變的情況下，幅值為單片槳葉的2 倍，擺振橡膠剛度在不影響結構裝配性的情況下，應盡量選擇剛度系數較小和阻尼系數較大的擺振橡膠。

另外，減震橡膠的剛度變化影響旋翼的固有頻率，如果固有頻率距離激振頻率太近，則容易發生共振。較小的橡膠剛度系數，可使旋翼的固有頻率遠離哥氏力、揮舞氣動激振力以及其各階諧波的影響。減震橡膠的阻尼參數主要影響旋翼固有頻率的響應幅值。

最后，揮舞橡膠剛度系數和相對垂向位置與激振力的響應幅值成正相關的關系，同時也與直升機的操縱靈敏性有關系，在實際的結構設計中，應靈活確定其參數。

圖18 k2 對振動幅值的影響

圖19 阻尼c2 對振動幅值的影響