奇妙的數王國

石無魚

我們一輩子都少不了要跟數打交道。我們對數的認識也隨著知識的增長不斷擴大，從自然數到整數、有理數，再到實數、復數。

雖然數有無窮無盡個，但并不是所有的數的重要性和知名度都是等量齊觀的。比如，相較其他一些數而言，圓周率π就比較特殊，對于我們也更重要些。

那么，在數的王國里，除了π還有哪些也比較特殊呢？特殊在哪里？為了讓你“嘗一臠而知一鑊之味”，我們將從中揀出幾個，作簡單介紹。

零：一個不是數的數

零當然是數，但要是較真起來，也可以說它不是數。為什么這么說呢？你不妨試想：數最早發明出來是用于數東西的；數為零，意味著沒東西；既然連東西都沒有，你還數什么呢？

有證據表明，人類在五千年前就學會計數了，但零的歷史卻要到公元前1800年的巴比倫人手里才開始。對于巴比倫人，零還不是一個獨立的數，它僅是一個占位符。比如說101和11，要是中間沒個0占位，就區別不開來。對巴比倫人，零的作用僅止于此。當時，他們用兩個斜對角的箭頭來表示零；我們后來熟悉的卵圓形符號“0”要到公元800年左右才出現。

零作為一個獨立的數，要歸功于古印度數學家，是他們第一個意識到，獨立于計數的具體對象，數可以作為抽象物而存在。撰寫星相學文獻《婆羅門笈多》的古印度天文學家，在書上畫了一條數字線，上面就包含了正數、負數和零。

零是一個獨立的數的想法，在西方很晚才被接受。被接受的部分原因是，零是通向負數的必經“門戶”，而負數在記賬的時候（比如記欠賬或虧損）是無論如何繞不開的。到了19世紀末，當西方數學家對數學的基礎感興趣的時候，零作為數的地位就更鞏固了。在意大利數學家皮亞諾建立的算術體系中，他的第一個公理是：零必須是一個數。因為零是劃分正負數的“界線”，要是零不是一個數，你如何能跨越這個界線，對一個正數和一個負數執行運算呢？

零作為數的地位確定下來后，在定義“數是什么”這個問題上，它還扮演了更大的角色。數是什么？這個問題真好比“你不問的時候，我知道，你一問，我就糊涂了”。但數學是講求精確和嚴格的。目前，對這個問題最滿意的回答來自集合論。集合的概念首先是由康托在1874年提出來的。一個集合就好比一個抽象的數學“容器”，里面可以“裝”各種“元素”。比如說，一個包含有7個元素的集合，里面的元素既可以是《白雪公主》里的7個小矮人，也可以是一星期的7天。但數學家問的問題總是怪怪的，他們不問里面裝了什么東西，他們現在問：數7是什么意思？如何嚴格地定義數？

結果，他們還真找到了一個妙招。至于這個錦囊妙計是什么，我們把它留在拓展閱讀里。

歐拉數：為什么利息不會無止境地增加？

你在銀行里存1元錢，如果年利率是100%，那么一年后你將得到2元。這很簡單吧。但是，假如銀行不是在年底一次性結算利息的，而是逐月或逐日，甚至逐秒計息的呢？你會不會以為，由此一來你一年內得到的利息將大到無窮無盡，讓你一輩子花不完？天下當然沒這么美的事！這里涉及到數學上另一個最重要的數——自然對數的底數e。

假設銀行每年付兩次息，這樣，半年的利息降到了50%。這會使你的1元錢在6個月后變成1.5元；后半年，你的本金就不再是1元，而是1.5元了，到年底你將掙得后半年的利息0.75元；最后結算，你的1元錢一年之后變成了2.25元。如果你有興趣按逐月復利遞投的方式計息，你最終會得到2.61元。要是逐日復利遞投呢，將得到2.71元。如果按逐小時、逐分、逐秒計息，收益雖然會不停增加，但增加的幅度越變越小，最后將停留在2.71828……左右。

這個數實際上是一個無理數，就像π一樣，小數點后面跟著無窮多個數字，而且不可循環。該數以瑞士數學家歐拉的名字命名，稱為歐拉數，簡稱e。

歐拉數并不僅僅在計算復利時才出現。例如，與虛數i一起用，你可以得到一個有史以來最著名的方程——歐拉等式：eiπ + 1 = 0。這個等式中，塞進了五個最重要的數0、1、e、π、i，數學家對它的美至今贊嘆不已。

歐拉數的實際應用也非常廣。例如，實驗人員經常要用X射線衍射來揭示分子結構（歷史上DNA的雙螺旋結構就是通過這種辦法發現的），對衍射圖案的分析需要用到一項稱作“傅里葉分析”的數學技術，而傅里葉分析又離不開歐拉數。

此外，還有一點是非常特殊的：對函數ex進行積分或微分，你得到的依然是它本身ex。這在函數里是絕無僅有的。

黃金分割數：

它真的是最美的數嗎？

你可能已經聽說過斐波那契數列，即數列中下一個數是前兩個數之和的數列：1， 1， 2，3， 5， 8，13……。這里有一點有意思的東西：每個數和它前面一個數的比值，將越來越趨近一個特定的值，它最初的幾位是1.618。

這個數叫黃金分割數。你還可以通過其他辦法得到它。比如畫一條正五邊形的對角線，對角線與邊長的比值，也是黃金分割數。

你要是到網上搜索一下，會發現圍繞這個數有很多似是而非的說法，比如有人聲稱古希臘的建筑就展現了這樣的比例；還有人說，人的臉部比例要是符合黃金分割，會更好看。

是不是真這樣呢？古希臘的建筑師或許已經發現黃金分割，并在建筑時有意識地加以利用，但后人要確鑿地證明這一點并不容易。你或許會說，去測量一下古希臘建筑的遺跡不就知道了嗎？但是，一座建筑的部位有那么多，你打算測量哪個呢——你要是絞盡腦汁找這個比例，你總是能找到的，但這說明不了問題。

臉部線條趨近黃金分割比例是否一定比偏離黃金分割比例更美？這也不好妄下結論。因為美是無法嚴格定義的，而且怎樣才算美，在歷史上也不是一成不變的。

葛立恒數：

大到全宇宙都寫不下

數有無窮多個，我們一般只跟它們中較小的打交道，對于絕大多數數，人類恐怕從來沒有接觸到過。

但在上世紀70年代，美國數學家羅納德·葛立恒所從事的一項工作后來證明與之打交道的數非常大。他試圖解決一個與更高維度的立方體有關的問題，當他最終得到解答的時候，發現答案涉及到的數如此之大，以至我們沒法將它寫下——假如按A4紙的厚度，一頁寫2000個數字的話，整個宇宙空間都不夠寫！

不過，還是有方法讓你略知這個數是多少的。例如，對于3×3×3，一種更簡潔的寫法是33（或3^3），意思是“3個3的乘積”，結果是27。

我們還可以用箭頭記號↑來表示，把3^3記作3↑3。3↑↑3表示3^（3^3），即327。這個數大約是7.6萬億。

如果再添加一個箭頭，3↑↑↑3（即3的327次方），冪上有冪的結果是讓這個數大到難以置信的地步。而所謂的葛立恒數，是3↑↑……↑3，中間有64個箭頭。它大到整個宇宙都不夠寫的程度！我們只知道它的個位數字是7。

274，207，281-1：

密碼學上用到的數

2的74207281次方減1，這是目前已知的最大素數。這個數有2200多萬位。它不僅是素數，還是一個梅森素數。所謂的梅森素數就是可以表達成2 n-1的素數。

其他的梅森素數還有3和31，但找到更大的梅森素數并不是一件容易的事。迄今，我們只找到49個梅森素數。盡管數千年前，人類就知道素數有無窮多個，但梅森素數是否也有無窮多個，我們至今還不清楚。

你也許會說，這都是些數學家們的游戲，跟我們毫不相干。錯了，如果沒有這些非常大的素數，這個世界會很不一樣。因為目前金融交易的加密技術都有賴于素數；沒有可靠的加密技術，人類的經濟活動將受到嚴重干擾。

用素數加密的步驟是，接收方將兩個大素數相乘，然后用這個積經過一套復雜的處理，得到2個被稱為“公鑰”的數。接收方把公鑰傳給發送方。發送方用公鑰對信息進行加密，再傳回接收方。接收方收到密文后，須用原先相乘的那兩個素數（它們本來就是接收方提供的）來解密破譯。

讓兩個素數相乘，對于電腦是很容易的事情，但如果乘積足夠大的話，要把它還原回兩個素數，那計算量就非常大了。竊聽者即使截獲公鑰和密文，但由于他們不知道最初相乘的素數是哪兩個，他們也會一籌莫展。

i：虛數

數學上說，兩個正數的乘積是正數，兩個負數相乘積也是正數。那么，什么數的平方是-1呢？答案是虛數 i。

第一個把負數的平方根稱為虛數的，是法國大數學家笛卡爾。但直到18世紀，數學家才發明用 i 來表示-1的平方根。

虛數無法出現在一般的數軸上，所以數學家另設了一條虛數軸，與原來的實數軸相交于0。這樣，虛數就可以在二維的平面上表示出來。虛數在描述交流電或在量子力學上描述波函數時很有用。

循著數學家發明虛數的先例，1843年愛爾蘭數學家哈密爾頓又發明了四元數，即在復數的基礎上又添加了兩個獨立的維度。四元數一般可表示為a + bk + cj + di，其中a、b、c 、d是實數。如果復數可在二維平面上表示出來，那么四元數需要在四維空間才能表示。按這條思路，其實還可以創造八元數、十六元數……

李雅普諾夫指數：

長期天氣預報之不可能

氣象部門雖然可以預測明天、后天的天氣，但要想預測下個月的天氣，幾乎是不可能的，所以你手機上的天氣預報APP，最多只給你顯示未來一周的天氣。

長期的天氣預報之所以不可能，是因為大氣系統對于初始條件非常敏感。19世紀下半葉，俄國數學家亞歷山大·李雅普諾夫發明了一個指數來衡量一個系統對其初始條件的敏感程度。例如，請想像一下扔一個球。如果你知道扔的角度和速度，就可以計算出球會落在哪里。預測準確度可以好到無需考慮像空氣阻力等次要因素的影響。即使你測量球的出射角度有點偏差，也關系不大。這說明，球的運動對初始條件是不敏感的。這種情況對應的李雅普諾夫指數是0，或者可能是負值。

何種情況算對初始條件敏感呢？還是以扔球為例。倘若在地面上以同樣的速度拋擲一個球，你以30度角拋出去，最高只能拋到一棵樹的高度，但以30.00000001度拋出去，卻拋到太空的高度了（當然，這只是假設）。一億分之一度的微小差異，卻造成如此懸殊的結果。這就是對初始條件敏感的一個例子。數學家把這類系統稱為混沌。

一個系統的李雅普諾夫指數高于零，就是不可預測的。天氣就是一個很好的例子，因為初始條件（例如氣壓或溫度）的微小差異，會隨著時間的推移呈指數式增長，就像美國氣象學家說的，“一只蝴蝶在巴西輕拍翅膀，可以導致一個月后在美國德克薩斯州起一場龍卷風。”而要把初始條件測量絕對準確，又非人力所及，這就讓預測失去了意義。

拉普拉斯極限：為什么我們不會被甩出太陽系？

1609年，偉大的天文學家開普勒出版了一本名為《新天文學》的書。書中的一個結論對當時的世人可謂一枚重磅炸彈：行星繞太陽的軌道不是完美的圓形，而是橢圓形的。

這個結論被隨后的觀測所證實，所以接受起來倒也不難，但做出這一預言的核心——開普勒方程，卻讓很多天文學家暈頭轉向。

該方程描述的是從任意起始點開始，天體運動的坐標與時間的關系。但要求得位置解，卻非常棘手。數學家花了150年的時間才找到解決這一問題的方法。這個費力的過程涉及一長串的數學表達式，稱為“級數展開”。然后，法國數學家拉普拉斯證明，當天體的軌道太扁時，這一方法將會失效。

數學上用偏心率來衡量一個橢圓偏離標準圓有多遠。圓的偏心率為0，偏心率越大，橢圓越扁。拉普拉斯發現，對于偏心率大于0.66的行星軌道（現在稱為“拉普拉斯極限”），該方法求得的解已不再是橢圓，而是開放的曲線。

這意味著偏心率越高，軌道越不穩定。幸運的是，地球軌道的偏心率只有0.02。離太陽越遠的天體，通常具有更高的偏心率，比如冥王星的偏心率是0.25。

對于彗星那樣有著極高偏心率的天體，它們時而靠近太陽，時而扎進太陽系中最冷的邊緣地區。我們當然誰都不想地球也這樣。

無窮大：

與有限性質迥然有別

“億！”

“億億！”

“無窮大！”

“無窮大加一！”

……

你在孩提時一定跟同伴玩過看誰報出的數最大的游戲。對于我們生活的這個平凡的世界，恐怕沒有比無窮大的存在更離奇、更另類的了。在物理學上，當計算涉及無限大的時候，多半是理論出了問題，令物理學家不得不回頭修改理論。歷史上，量子論的提出就肇始于計算黑體輻射時出現的令人困惑的無限大。

不過，無窮大的事物并不意味著不存在。例如，黑洞中心的奇點，其密度就是無窮大，但黑洞的存在已經越來越成為不爭的事實（當然，也有人一直堅持認為可以通過量子引力理論來消除奇點密度的無窮大，可惜這樣的量子引力理論目前還不存在）。

在數學上，研究無窮大的數學分支是集合論。對無窮大的研究，揭示出它有許多不可思議的特征。

不妨考慮一下德國數學家希爾伯特在1924年提出來的一個讓人頭疼的問題：想象一個旅館里有無窮多個房間，房間里都住滿了人。現在，又來了一群無窮多的新客人。旅館該如何處理？

換成你，或許會打出“本店今日已滿員，恕不接待新客”的牌子，但希爾伯特卻說，依照他的辦法，包你能把所有新客人都安排住下。辦法是這樣：把1號房間的客人挪到2號，把2號房間的客人挪到4號，把3號房間的客人挪到6號，依次類推，把n號房間的客人挪到2n號；這樣下去，所有奇數號房間都空出來了，你就可以把新客人安排住進去。如果再來一群無窮多的客人，你依然可以如法炮制。這意味著，一座有著無窮多房間的旅館，盡管已經住滿了人，卻依然能夠接納無窮多的新客人。

這僅僅只是無窮大不可思議的特性之一。此外，還有諸如“部分可以等于整體”“一些無窮大似乎比另一些無窮大還要大”等等。說實話，對于這些有悖常理的特征，即便使用集合論研究起來也是一頭霧水。

至此，我們已大致領略了數王國里一些特殊而奇妙的數。有些涉及天文，有些涉及金融，有些涉及審美，有些涉及密碼術……其實，倘若結合科學人文的各個領域，那么數王國里幾乎每個數都能找到其不平凡之處，但限于篇幅，我們就不一一細說了。

拓展閱讀

如何定義數？

我們迄今對數的最好描述涉及數學上的集合論，尤其是空集的概念。像一個空文件袋一樣，一個空集意味著里面什么都沒有，所以這是獨一無二的，也是最容易定義的。我們把0定義為空集。

有了空集，就容易定義其它數了。按集合論的觀點，一切數學對象，包括集合本身，都可以成為集合里的元素。我們定義1是這樣一個集合，它的元素只有一個空集，用集合論的符號表示，就是{空集}。定義2是{空集， {空集}}，3是{空集， {空集， {空集}}}……這樣，整個自然數列都可以通過空集構造出來。

本福德定律

本福德定律說的是，一些與自然現象或人類活動有關的數目列表中，從0到9出現的概率有一定的分布規律。比如說，假如你對世界各地河流的流域面積做個列表，或檢查一個公司的賬目，不論采用什么度量單位，你會發現以1開頭的數總是要比以其他數字開頭的數多。然后第二多的是以2開始的數，第三多的是以3開頭的數，如此等等。以1開頭的數占大約30.1%，只有大約4.6%的數是以9開頭的。

這一規律最初是由一位天文學家在19世紀提出來的。他在檢查人們使用的對數表時，意外地發現對數表中所有數以1起首的那幾頁相較其他頁破爛，說明這幾頁人們用得最多，與人類的活動關系最密切。后來，在1930年代，這條規律被美國工程師弗蘭克·本福德重新發現。

為什么會有這樣一條定律，至今還沒有一個滿意的解釋。考慮到自然界中一些隨機的過程，譬如分子、原子的無規則運動，它們所產生的分布曲線是鐘形的，概率最大的往往是那些中間值，那就更奇怪了。

本福德定律雖然只是一條經驗定律，但在某些方面很有用。譬如，美國國稅局曾用它識破了一些公司為逃稅而臨時拼湊的財務賬本上的破綻。2009年在某國的選舉中，一名候選人的得票數計分在很多選區都以7開頭，這引起人們的懷疑，最后查明這次選舉存在舞弊。