炮彈發射彈道目標精度校正估計仿真*

吳清怡， 吳中紅

(海軍工程大學 電子工程學院， 武漢 430033)

準確、實時的彈道估計可大幅度提高炮彈觀測與校正的精確度，優化武器系統的作戰效能.在實際彈丸定位過程中，常采用傳感器[1-2]、全球定位系統[3-4]和雷達[5]等無線定位手段，以實現彈道的估計.但這些定位技術仍存在易受大氣和噪聲等環境因素影響，抗干擾性弱，測量實時性較低，不能對記錄目標進行準確標記等問題.因此，本文采用超寬帶(ultra-wide band，UWB)技術，利用該技術不易受環境因素影響、抗干擾性強、啟動時間短、體積小、易安裝和多條數據同時記錄等優點，可有效解決上述問題.

文獻[6-12]對幾種彈道估計的濾波方法進行了分析對比.文獻[6]提出了一種基于空域追蹤的修正算法，通過非線性濾波器從原始信號中粗提出基線信號，利用多步迭代微分算子消除噪聲誤差；文獻[7-8]采用擴展卡爾曼濾波(EKF)降低目標定位誤差；文獻[9-10]使用無跡卡爾曼濾波(UKF)，通過提高濾波的收斂速度來實現優化估計精度的目的；文獻[11]提出了引入積分預測算法來減少離散卡爾曼濾波器一步預測的誤差；文獻[12]采用方差補償方法建立自適應卡爾曼濾波算法完成目標跟蹤.其中，EKF由非線性方程進行泰勒展開保留一次項得到，由于其忽略了高次項使得精度降低，且EKF對初始值較敏感，設置不當易造成濾波發散，需要計算雅克比矩陣，復雜度較高；UKF是一種求采樣點的非線性濾波方法，計算精度可達到二階或三階的泰勒展開精度，性能優于EKF，但當非線性系統維度大于3時，該方法很有可能受到非正定協方差的影響，造成濾波發散，使估計精度大大降低.

為了避免出現非正定協方差，本文采用平方根無跡卡爾曼濾波(square root unscented Kalman filter，SRUKF)進行彈道估計，仿真結果表明，EKF具有較低的復雜度，但估計精度明顯低于SRUKF和UKF，且SRUKF與UKF相比具有較強的穩定性.綜上所述，在針對六維彈道估計問題上，EKF、UKF、SRUKF三種濾波方式中，SRUKF具有最優越的綜合性能.

1 模型建立

本文以質點彈道方程為依據建立模型，坐標系中Y軸與地面相垂直，彈丸質點坐標為(xk，yk，zk)；各定位基站坐標分別為(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)，…，(xk，yk，zk)，定位基站i相對于彈丸目標的俯仰角為αi，方位角為βi，定位系統模型如圖1所示.

圖1 定位系統模型Fig.1 Model for location system

1.1 系統狀態方程

為了簡化定位算法的復雜度，以質點彈道方程為依據建立系統狀態方程，現假設彈丸為一質點，該質點的位置坐標與各方向上的速度表示為[x，y，z，Vx，Vy，Vz]T，則質點彈道方程組[13]可表示為

(1)

當y≤10 000 m時，空氣密度函數依據經驗公式[13]可表示為

(2)

空氣阻力函數表達式[13]為

(3)

G(Vx)=4.737×10-4VCXONVx/Cs

(4)

綜上所述，選取彈丸位置、速度(x，y，z，Vx，Vy，Vz)為狀態變量，設X=[x1，x2，x3，x4，x5，x6]T，則離散狀態方程可表示為

Xk+1= f(Xk)+wk=

(5)

式中：f()為狀態轉移函數；ΔT為抽樣時間間隔；wk為過程噪聲，其均值為零，協方差為Qk.該方程在計算過程中必然會存在受各種因素影響所產生的誤差，因此需要對誤差進行補償處理.

1.2 系統測量方程

系統采用測量到達時間差與到達角度的方法建立系統測量方程.將1號定位基站設為參考基站，系統需要測量相對于參考基站各基站接收目標信號所需要的時間差Δti1，以及各個基站接收目標信號的俯仰角αi與方位角βi.

1.2.1 基于到達時間差的測量方程

基于到達時間差測量方程的表達式為

(6)

(7)

(8)

式中：ri為定位基站i與目標彈丸的距離；ti為第i個基站接收目標信號所需時間；t1為第1個基站接收目標信號所需時間；r1為第1個基站與目標的距離；c為電波傳播速度.由式(6)～(8)可得基于TDOA算法的測量方程，即

vk-TDOA

(9)

式中，vk-TDOA為測量到達時間差的測量噪聲.

1.2.2 基于角度的測量方程

設第i個基站測得目標俯仰角為αi，方位角為βi，則有

(10)

由式(10)可得，基于AOA方法的測量方程為

vk-AOA

(11)

式中，vk-AOA為測量角度時的測量噪聲.

1.2.3 到達時間差與角度聯合的測量方程

基于到達時間差與角度聯合的測量方程所需測量值為z=[ri1，α，β]T，則測量方程為

(12)

2 SRUKF濾波算法

無跡卡爾曼濾波算法(UKF)通過選取一組采樣點(sigma點)來計算系統的協方差，有效提高了估計精度，降低了算法復雜度，在解決非線性問題中具有廣泛的應用[14].但是，該方法在使用過程中可能會出現非正定協方差，導致濾波不穩定甚至發散.為了解決這一問題，Steven等[15]于2008年提出平方根無跡卡爾曼濾波.SRUKF建立在UKF的基礎上，直接利用協方差矩陣的平方根參與遞推運算，避免了協方差的非正定性，能有效提高濾波穩定性.

使用SRUKF算法，首先需要建立非線性的狀態方程與測量方程[16]，即

(13)

具體步驟如下：

1) 初始化，其表達式為

(14)

(15)

式中，Xa為擴充狀態向量，Xa=[XT，WT，VT]，XT為狀態變量，WT為系統噪聲，VT為觀測噪聲.

2) 選取權值，即

(16)

3) 取sigma點，即

(17)

4) 預測誤差協方差，其表達式為

(18)

式中：qr表示QR分解；cholupdate表示choleskey一級更新.

5) 預測互協方差平方根，計算一步預測、方差以及互協方差平方根，其表達式為

(19)

6) 計算狀態誤差方差平方根，即

(20)

結合式(14)～(20)，通過UWB設備中定位基站測得的炮彈坐標為系統提供采樣點，則可實現基于平方根無跡卡爾曼濾波算法的彈道估計.

3 算法仿真及結果分析

在實彈試驗中設置坐標系，將發射起點布設在X0=[20 000，0，80，-879，190，-12]T坐標點上，定位基站分別布設在坐標原點、(50，0，0)、(-50，0，0)三個坐標點上，發射后，通過高清攝像和UWB設備可得兩組軌跡，如圖2所示.由高清攝像所得軌跡為炮彈實際運動軌跡，通過UWB設備所得軌跡為炮彈測量軌跡.由圖2可知，UWB測量軌跡相對誤差較大，需對其測量結果作進一步校正.在上述試驗的基礎上，使用EKF、UKF、SRUKF三種濾波算法對UWB測量軌跡進行仿真處理，并分析仿真結果.首先設狀態變量X=[x，y，z，Vx，Vy，Vz]T的初始值為X0=[20 000，0，80，-879，190，-12]T；測量TDOA的定位基站坐標分別為BS1(50，0，0)、BS2(-50，0，0)；測量方位角與俯仰角角度的定位基站坐標為BS3(0，0，0)；ΔT為0.25s；縱風Wx為10m/s；橫風Wz為10m/s；過程噪聲方差q=1；距離測量噪聲標準差σr=50m；角度測量噪聲標準差σα=σβ=0.5°.

圖2 彈道運動軌跡與測量軌跡Fig.2 Motion and measurement trajectories

現以均方根誤差(root mean square error，RMSE)為評判依據，對EKF、UKF、SRUKF三種濾波的性能進行仿真與分析，即

(21)

根據設置初始條件和參數，進行300次Monte-Carlo仿真，其中，UKF算法在運行過程中由于出現非正定協方差矩陣將仿真次數縮減為200次，EKF、UKF、SRUKF三種濾波算法所得目標位置與速度的誤差對比曲線如圖3、4所示，誤差均值對比如表1所示，200次Monte-Carlo仿真運行時間對比如表2所示.

圖3 三種濾波方式的位置均方根誤差Fig.3 RMSE of position for three filtering ways

由圖3、4可以看出，在三種濾波方式中，SRUKF估計精度最高，UKF略低，EKF估計精度明顯低于前兩者.由表1可以看出，SRUKF較EKF和UKF的位置估計精度分別提高了42.11%和9.84%，速度估計精度分別提高了31.13%和7.98%.由表2可以看出，UKF與SRUKF所需時間分別是EKF的2.8和2.4倍，由此可知，EKF復雜度明顯低于UKF和SRUKF，SRUKF由于直接使用協方差的平方根進行遞推和計算，其復雜度略低于UKF，運行時間是UKF的86%.

圖4 三種濾波方式的速度均方根誤差Fig.4 RMSE of speed for three filtering ways 表1 各算法精度對比Tab.1 Comparison in accuracy of each algorithm

表2 三種濾波方式運行時間Tab.2 Running time of three filtering ways

4 結 論

通過仿真試驗表明，采用SRUKF進行濾波估計能較好地克服UKF的協方差非正定和復雜度較高等問題，且估計精度較EKF與UKF相比均有所提高，保證了彈道估計的高效性、穩定性及精確度.但在試驗過程中發現，該方法在使用的過程中，基站的布設以及噪聲的不確定性對定位精度仍具有較大的影響，需要做出進一步的研究和改進.