考慮工程設(shè)施約束的海上油田群產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型及其應(yīng)用*

王守磊 安桂榮 耿站立 張 偉

(1. 中國地質(zhì)大學(xué)(北京) 北京 100083； 2. 中海油研究總院有限責(zé)任公司 北京 100028)

區(qū)域聯(lián)合開發(fā)是海上油田群一種重要的開發(fā)模式[1-3]，已廣泛應(yīng)用于南海油田群的開發(fā)。南海油田群主要為海相沉積，天然能量充足，單井產(chǎn)液量高，進(jìn)入高含水期后需要提高單井產(chǎn)液量維持油田群穩(wěn)產(chǎn)，而油田群的工程設(shè)施能力有限，不能滿足所有油井的提液要求，同時工程設(shè)施擴(kuò)容改造成本大，因此，需要在現(xiàn)有工程設(shè)施約束下合理分配油井產(chǎn)液量，優(yōu)化油田群產(chǎn)液結(jié)構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)油田群的高效開發(fā)。目前產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化研究中多以考慮地質(zhì)油藏因素為主，涉及工程設(shè)施約束較少[4-5]。雖有部分學(xué)者對考慮工程設(shè)施約束情況下的產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化進(jìn)行了研究，但局限于單個時間步內(nèi)的優(yōu)化，限制了礦場實(shí)際應(yīng)用[6-8]。

本文考慮各個平臺及整個油田群生產(chǎn)設(shè)施處理和外輸能力，建立了海上油田群產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型，通過增廣拉格朗日函數(shù)法和G-SPSA算法，實(shí)現(xiàn)了海上油田群產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型求解，并在實(shí)際油田群礦場應(yīng)用中取得了良好效果。

1 海上油田群產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型建立

1.1 單井開發(fā)指標(biāo)預(yù)測

產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程中根據(jù)單井的產(chǎn)油量和產(chǎn)水量等數(shù)據(jù)計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值，所以產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化的關(guān)鍵問題是單井開發(fā)指標(biāo)預(yù)測。單井開發(fā)指標(biāo)預(yù)測方法主要有油藏工程方法和油藏?cái)?shù)值模擬方法，其中油藏工程方法因操作簡單、計(jì)算效率高而被廣泛應(yīng)用。水驅(qū)特征曲線是一種常用的預(yù)測開發(fā)指標(biāo)的油藏工程方法[9-12]，張金慶提出的廣適水驅(qū)特征曲線能夠表征各種類型油藏含水率上升規(guī)律，適用于油藏開發(fā)的全過程[13-14]。本文采用廣適水驅(qū)特征曲線對單井開發(fā)指標(biāo)進(jìn)行預(yù)測，其表達(dá)式為

(1)

式(1)中：Np為累積產(chǎn)油量，104m3；Wp為累積產(chǎn)水量，104m3；a、q和NR為廣適水驅(qū)特征曲線參數(shù)，通過擬合歷史生產(chǎn)數(shù)據(jù)可以得到。

單井開發(fā)指標(biāo)預(yù)測主要分為兩步：①選取具有代表性的歷史生產(chǎn)數(shù)據(jù)，確定廣適水驅(qū)特征曲線；②基于廣適水驅(qū)特征曲線，預(yù)測不同時間步的產(chǎn)油量和產(chǎn)水量。這里主要介紹第2步的方法原理。

1) 給定一個累產(chǎn)油量增量ΔNp，則此時的累積產(chǎn)油量為

Np=Np0+ΔNp

(2)

2) 利用下式計(jì)算對應(yīng)的累積產(chǎn)水量：

(3)

得到相應(yīng)的累積產(chǎn)水量增量ΔWp為

ΔWp=Wp-Wp0

(4)

3) 計(jì)算累積產(chǎn)液量增量ΔLp為

ΔLp=ΔNp+ΔWp

(5)

重復(fù)以上步驟即可得到不同油井在不同時間步的產(chǎn)油量和產(chǎn)水量。

1.2 產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型建立

海上油田群產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化就是在給定的調(diào)控時間步數(shù)內(nèi)，在平臺處理和外輸能力一定的情況下，通過優(yōu)化調(diào)整各油井的產(chǎn)液量，使得油藏的累積產(chǎn)油量或者凈現(xiàn)值最大化。以凈現(xiàn)值(NPV)最大化作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，即

MaximizeJ(u)=

(6)

1.3 約束條件

海上油田群采用區(qū)域聯(lián)合開發(fā)時，油井產(chǎn)出液經(jīng)過自身平臺的外輸管線先輸送到中心平臺進(jìn)行液處理，中心平臺再將處理后的原油通過管線外輸?shù)疥懙亍Ｓ捎谏a(chǎn)設(shè)施能力的局限性，海上油田群開發(fā)時受到的約束條件包括以下幾類。

1) 單井邊界約束。

油田實(shí)際生產(chǎn)過程中，由于泵排量限制，單井的產(chǎn)液量受到一定的約束，這屬于邊界約束。

(7)

處理邊界約束最常見的方法包括截?cái)喾ê蛯?shù)變換法，此次研究主要采用對數(shù)變換法。通過對數(shù)變換，可使邊界約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，其變換公式為

(8)

式(8)中：xi為變換后控制變量。

求解過程中，優(yōu)化方法每次迭代都是在變換后的對數(shù)域上進(jìn)行。當(dāng)計(jì)算目標(biāo)函數(shù)時，需要將控制變量轉(zhuǎn)換到原域，其變換公式為

(9)

2) 平臺外輸約束。

采油平臺上油井產(chǎn)液量受外輸管線約束，存在一定上限。對于任意一個平臺上的油井，其產(chǎn)液量之和要小于平臺的外輸能力，即

(10)

3) 中心平臺液處理約束。

采出液通過采油平臺外輸?shù)街行钠脚_，由于中心平臺的液處理設(shè)施能力是有限的，因此所有油井的產(chǎn)液量之和要小于中心平臺的液處理能力，即

(11)

第2類和第3類約束的實(shí)質(zhì)是等式約束或者不等式約束，因此，海上油田群產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型可以表示為

MaximizeJ(u)

(12)

s.t.

(13)

ei(u)=0i=1,2,…，Ne

(14)

ci(u)≤0i=1,2,…，Nc

(15)

式(14)～(15)中：ei(u)表示第i個等式約束；ci(u)表示第i個不等式約束；Ne為等式約束個數(shù)；Nc為不等式約束個數(shù)。

2 海上油田群產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型求解

2.1 求解方法

由上述分析可知，當(dāng)考慮工程設(shè)施約束時，海上油田群產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題為約束優(yōu)化問題。對于約束問題，其求解思路一般是先利用增廣拉格朗日函數(shù)法轉(zhuǎn)化為無約束問題，然后利用優(yōu)化算法對無約束問題進(jìn)行求解。增廣拉格朗日函數(shù)法是求解約束問題的一種常用解法，其思路是將原約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列無約束優(yōu)化子問題，并以此一系列無約束優(yōu)化子問題的解去逼近原約束優(yōu)化問題的解[15-19]。

在增廣拉格朗日函數(shù)法中，將等式約束、不等式約束作為懲罰項(xiàng)與目標(biāo)函數(shù)結(jié)合在一起構(gòu)造增廣拉格朗日函數(shù)，其表達(dá)式為

L(u,λ,μ)=J(u)-

(16)

其中

(17)

式(16)、(17)中：μ是懲罰因子；λe,i和λc,j分別為第i個等式約束和第j個不等式約束的拉格朗日乘子。

當(dāng)拉格朗日乘子和懲罰因子確定時，此時優(yōu)化模型為

MaximizeL(u)

(18)

使用增廣拉格朗日函數(shù)法進(jìn)行求解時，主要分為外循環(huán)和內(nèi)循環(huán)兩個過程。外循環(huán)中主要根據(jù)約束違反情況來更新拉格朗日乘子和懲罰因子，從而確定增廣拉格朗日函數(shù)；內(nèi)循環(huán)中主要采用G-SPSA算法來最大化增廣拉格朗日函數(shù)。

具體計(jì)算步驟如下：

1) 確定拉格朗日乘子、懲罰因子等相關(guān)參數(shù)初始值。外循環(huán)迭代步l=1。

2) 建立增廣拉格朗日函數(shù)，進(jìn)入內(nèi)循環(huán)。利用G-SPSA算法最大化增廣拉格朗日函數(shù)，直至滿足如下收斂條件。

(19)

(20)

式(19)、(20)中：k為內(nèi)循環(huán)迭代步數(shù)；ξ1和ξ2分別為內(nèi)循環(huán)中目標(biāo)函數(shù)和控制變量的收斂值。

3)根據(jù)約束違反變量cv和允許約束違反值ηl來更新拉格朗日乘子和懲罰因子。

約束違反變量cv表達(dá)式為

(21)

若cv≤ηl，則有

(22)

ηl+1=max{ηlmin[(μl)0.2,0.5],η*}

(24)

式(24)中：η*為最小允許約束違反值。

若cv>ηl，則有

μl+1=τμl=0.1μl

(25)

ηl+1=max{ηlmin[(μl)0.1,0.5],η*}

(26)

4) 比較約束違反變量cv和最小允許約束違反值η*。如果cv≤η*，則表示所得的最優(yōu)解滿足約束條件，算法停止；否則，外循環(huán)迭代步l=l+1，返回步驟2，重復(fù)以上求解過程。

在內(nèi)循環(huán)中，采用G-SPSA算法來最大化增廣拉格朗日函數(shù)。G-SPSA算法是一種無梯度優(yōu)化算法，僅需對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，不需要梯度的求解，已廣泛應(yīng)用于實(shí)際油藏問題中[20-23]。優(yōu)化算法的本質(zhì)就是確定新的搜索方向，生成新的控制變量，直到達(dá)到收斂條件,得到最優(yōu)解。利用G-SPSA算法來確定新的搜索方向的具體步驟如下。

1) 采用球形模型產(chǎn)生協(xié)方差矩陣Cu。協(xié)方差矩陣中任一元素Cp,q為

(27)

式(27)中：p和q分別表示第p、q個調(diào)控時間步；σ代表標(biāo)準(zhǔn)差；t表示相關(guān)聯(lián)的時間步數(shù)。

2) 生成M個隨機(jī)控制變量uk,i，其表達(dá)式為

uk,i=uk+εkCu1/2Zk,ii=1,2,…，M

(28)

式(28)中：uk是內(nèi)循環(huán)中第k步最優(yōu)控制變量；εk是擾動步長；Cu1/2為Nu×Nu維下三角矩陣，通過對Cu進(jìn)行Cholesky分解得到；Zk,i為服從高斯分布的擾動向量，Zk,i～N(0,I)，其中I是Nu×Nu維單位矩陣。

3) 計(jì)算搜索方向dk，其表達(dá)式為

(29)

其中

(30)

4) 生成新的控制變量uk+1,其表達(dá)式為

(31)

式(31)中：αk為搜索步長，可通過一維搜索方法來確定。

2.2 求解流程

圖1 海上油田群產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化計(jì)算流程

海上油田群產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型的求解流程如圖1所示,主要包括以下幾個步驟：①首先根據(jù)單井歷史生產(chǎn)動態(tài)，選取具有代表性的擬合段得到反映單井生產(chǎn)特征的水驅(qū)特征參數(shù)。②設(shè)定控制變量、懲罰因子和拉格朗日乘子的初始值，建立增廣拉格朗日函數(shù)，開始外循環(huán)。③進(jìn)入內(nèi)循環(huán)，調(diào)用G-SPSA算法更新控制變量，根據(jù)控制變量，利用廣適水驅(qū)特征曲線預(yù)測單井開發(fā)指標(biāo)，從而計(jì)算拉格朗日函數(shù)值。④判斷是否滿足內(nèi)循環(huán)收斂條件，滿足收斂條件，則跳出內(nèi)循環(huán)，進(jìn)入外循環(huán)；否則，繼續(xù)下一個內(nèi)循環(huán)；⑤判斷是否滿足外循環(huán)收斂條件，滿足收斂條件，則停止；否則，根據(jù)約束違反情況，更新懲罰因子和拉格朗日乘子，進(jìn)入下一個外循環(huán)。

3 模型的應(yīng)用

3.1 基本參數(shù)

以海上LP油田群為例進(jìn)行產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化。該油田群包括XA、XB、XC等3個油田，3個油田均處于特高含水階段，對應(yīng)有3座平臺，其中PA和PB平臺為采油平臺，PC平臺為中心處理平臺。2個采油平臺的采出液外輸能力分別是10 000 m3/d和20 000 m3/d，中心平臺的液處理能力為50 000 m3/d。該油田群儲層以三角洲前緣的河口砂壩及三角洲平原的分流河道砂體為主，孔隙度為21.5%～31.5%，滲透率為1 256～6 043 mD，地層原油黏度為5.8～21.7 mPa·s，邊底水能量充足，無注水井，3個油田的油井?dāng)?shù)分別是4口、7口和10口。每口油井每180 d調(diào)控一次，調(diào)控步數(shù)是6，總的調(diào)控時間是1 080 d。控制變量的個數(shù)是(4+7+10)×6=126。

優(yōu)化過程中，原油價格為2 500元/m3，水處理費(fèi)為55元/m3，折現(xiàn)率是12%。油井產(chǎn)液量的最小和最大值分別設(shè)定為1 000 m3/d和3 000 m3/d。油井初始產(chǎn)液量為目前生產(chǎn)過程中的實(shí)際產(chǎn)液量。

懲罰因子初始值由下式確定：

(32)

由于約束條件中沒有等式約束，所以等式約束的拉格朗日乘子設(shè)置為零。不等式約束的拉格朗日乘子由下式確定：

初始允許約束違反值η(0)=0.1，最小允許約束違反值η*=0.1η(0)。內(nèi)循環(huán)收斂條件中，分別設(shè)置ξ1=0.01和ξ2=0.01。優(yōu)化算法G-SPSA生成隨機(jī)擾動梯度的樣本個數(shù)M=10。

3.2 優(yōu)化結(jié)果

目前LP油田群中XA和XB平臺上油井的產(chǎn)液量已分別達(dá)到9 000 m3/d和16 000 m3/d，接近平臺外輸能力，XC平臺的液處理能力已達(dá)到上限50 000 m3/d。各油井按照目前產(chǎn)液量繼續(xù)生產(chǎn)作為基礎(chǔ)方案。

在保持平臺外輸和處理能力不變的情況下，利用本文提出的方法對LP油田群基礎(chǔ)方案進(jìn)行優(yōu)化。優(yōu)化結(jié)果顯示，每個時間步內(nèi)，XA和XB平臺上的油井產(chǎn)液量小于外輸能力約束，整個油田群的產(chǎn)液量小于XC平臺液處理能力約束；在油田群相同產(chǎn)液量情況下，優(yōu)化方案累產(chǎn)油174.9×104m3，較基礎(chǔ)方案累產(chǎn)油(166.3×104m3)增幅5.2%。從經(jīng)濟(jì)效益來看，優(yōu)化方案凈現(xiàn)值為12.9億元，較基礎(chǔ)方案凈現(xiàn)值(12.1億元)增幅6.8%。

目前LP油田群中XA、XB、XC等3個平臺的含水率依次增加。如表1所示，優(yōu)化以后，XB和XC平臺上的油井累積產(chǎn)液量有所下降，累積產(chǎn)油量有所上升，起到了穩(wěn)油控水的效果；XA平臺通過增加累積產(chǎn)液量，累積產(chǎn)油量也有所增加，起到了提液增油的效果。可見，優(yōu)化方案通過降低高含水率平臺產(chǎn)液量，增加低含水率平臺產(chǎn)液量，改善了該油田群開發(fā)效果。

表1 海上LP油田群產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果

以XA平臺的4口井為例，目前XA-1、XA-2、XA-3、XA-4等4口井的含水率依次升高，因此，在平臺外輸能力有限的情況下，產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化中應(yīng)盡量提高含水率較低的油井液量，降低含水率較高的油井液量。從表2可以看出，優(yōu)化后XA-3和XA-4井的液量都有所提高，產(chǎn)油量明顯升高，而XA-2和XA-1井的液量有所降低。盡管這2口井的液量降低導(dǎo)致產(chǎn)油量降低，但從整體來看，整個平臺的產(chǎn)油量得到了增加。可以說，在每個平臺內(nèi)部也起到了產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化的效果。

表2 海上LP油田群單井產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果表

4 結(jié)論

考慮平臺處理和外輸能力，建立了海上高含水期油田群產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型，通過增廣拉格朗日函數(shù)法和G-SPSA算法，實(shí)現(xiàn)了海相高含水油田群產(chǎn)液結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型的求解；礦場應(yīng)用結(jié)果表明，本文方法能有效改善油田開發(fā)效果，對海上高含水期油田群挖潛具有一定指導(dǎo)意義，有較為廣泛的應(yīng)用前景。