輪廓儀非球面接觸測量的核回歸誤差補償算法*

賈 寧

(杭州職業技術學院 信息工程學院，杭州 310018)

0 引言

非球面元件的表面具有更大的自由度、靈活性，矯正能力相當于多枚球面鏡片，有利于簡化系統結構，可以在保證精度和性能的前提下，提高系統的視場及相對孔徑[1-2]。近年非球面的制造工藝和檢測技術快速發展，但由于非球面元件的檢測精度和難度要遠遠大于平面和球面，導致其應用范圍遠不如平面和球面[3-4]。

在非球面元件參數檢測方面，國內外很多學者進行了深入的研究，根據檢測手段的不同，主要分為接觸式和非接觸式。賀俊等[5]使用紅外干涉儀測量非球面面型，測得非球面面形偏差為1.20μm(PV)。文獻[6]使用計算全息圖方法，實現了離軸非球面λ/100的檢測精度。文獻[7]使用子孔徑拼接干涉法測量非球面，PV值的測量精度約為0.5λ。但是非接觸式測量方法通常適用于精密拋光階段的非球面檢測，而接觸式測量具有更高的適用性，目前非球面在細磨與粗拋光階段的主要使用接觸式測量提高測量效率。在非球面接觸式測量方面，李杰等[8]使非球面面形測量中測量點均勻分布來提高測量精度。程顥波[9]通過補償精研磨階段非球面面形測量誤差，有效的提高了非球面精研磨的精度，縮短了進入光學拋光的周期。林長青等[10]使用三坐標測量機解決了離軸非球面精磨階段難于檢測的問題，將非球面元件PV值精磨加工到0.0033mm。

然而，上述非球面接觸式測量方法大多集中在檢測方法方面，在一定程度上可以提高非球面的測量精度，但是對于接觸式傳感器觸頭的研究相對較少。文獻[11]研究了接觸式傳感器測頭對測量精度的影響，但研究對象一般為坐標測量機，針對非球面測量的研究較少。本文針對非球面接觸測量中長度計接觸測量力展開研究，通過對測頭和測桿進行受力分析，得到接觸測量力和長度測量誤差之間的關系。使用核回歸算法擬合非球面測量數據，對由接觸測量力引起的測量誤差進行補償。并將該理論應用于拋物面接觸測量中，進行金屬拋物面工件的曲率、曲面常數、表面輪廓和粗糙度實驗，驗證基于核回歸測量力誤差補償方法可以有效的提高輪廓儀非球面元件接觸式測量的測量精度。

1 長度計接觸測量力分析

接觸式輪廓儀一般通過長度計測量非球面工件矢高，擬合非球面工件的矢高，得到非球面工件的曲率、曲面常數、表面輪廓和粗糙度等參數。由于接觸測量力的影響，長度計測頭會產生局部接觸形變，長度計測量桿會產生彎曲形變，極大的降低了輪廓儀長度計的矢高測量精度。為了補償非球面接觸測量中由接觸測量力引起的誤差，分別對長度計測頭局部接觸形變和長度計測桿彎曲變形進行分析和建模。

1.1 局部變形模型

非球面接觸測量的接觸形式為球對球的接觸，如圖1所示。若長度計測球半徑為r1，被測非球面工件的曲率半徑為r2，由于被測非球面元件的曲率半徑r2>>r1，可以將其視為平面，球對球接觸所引起的局部形變誤差可以近似為球對平面接觸所引起的誤差，通過Hertz方程[12]可知相對曲率半徑r為：1/r=1/r1+1/r2，當r2>>r1時：r=r1。

圖1 測球與被測件局部接觸變形示意圖

由Hertz方程可知接觸面半徑c和局部接觸變形總量為：

(1)

(2)

(3)

其中，c為接觸面半徑；δc為局部接觸變形量；F為接觸測量力；r為紅寶石測球半徑；E1、E2為長度計接觸測頭與被測件彈性模量；μ1、μ2為接觸測頭與被測非球面工件的泊松系數，θ為被測非球面元件斜率。

由式(2)和式(3)可知，隨著非球面工件斜率的增加，接觸變形量也逐漸增大。本文選用輪廓儀長度計接觸測頭為紅寶石材質，彈性模量E1=375(GN/m2)；泊松系數μ1=0.22；當被測非球面元件為鑄鐵材質時，其彈性模量E2=155(GN/m2)；泊松系數μ2=0.25。紅寶石測球半徑R1=1.6mm，長度計的接觸測量力F=3.2N，代入上述參數得出局部接觸變形量δc與非球面斜率間的關系如圖2所示。

圖2 局部變形量與接觸測量力關系

1.2 測桿彎曲變形模型

在非球面的測量過程中，長度計沿非球面的母線方向移動，接觸測頭垂直于XY平面，即被測非球面工件表面法線方向存在夾角，測桿在接觸測量力的作用下會產生彎曲變形，使得測量出坐標位置偏離了理論坐標位置，會引入較高的矢高測量誤差。長度計測桿彎曲變形如圖3所示。

圖3 長度計測桿彎曲變形

圖中L為測桿的長度，D為測桿直徑，Fy和F分別是Fb在XY平面和XZ平面的投影，θ為接觸測量力F與Y軸的夾角。在測量力F的作用下，測桿發生彎曲變形，在Y和Z方向分別產生橫向位移δy和軸向壓縮位移δz：

(4)

(5)

(6)

式中，E為測桿的彈性模量；J為測桿截面的慣性力矩。L=80mm為長度計測桿長度，長度計測桿直徑D=3mm，測桿材質為合金，E=186GN/m2。帶入公式分別得到長度計測桿的軸向形變δz=0.6μm，以及接觸測量力對測桿橫向位移與軸向位移影響與非球面斜率間的關系如圖4所示。

圖4 接觸測量力對橫向形變關系

由式(4)和式(5)可得：

(7)

根據式(7)及圖4可知：長度計測桿在非球面斜率為45°時橫向變形是軸向壓縮變形的2000倍，對于大小為3.2N的接觸力產生的橫向位移誤差約為100μm。因為輪廓儀長度計為增量式傳感器，而軸向壓縮位移δz僅為恒定的0.6μm，所以認為軸向壓縮位移不影響非球面測量精度，得到長度計測桿彎曲變形誤差為：

(8)

1.3 基于核回歸的測量力誤差補償

由于接觸測量力導致的形變誤差與非球面元件的斜率相關，而粗加工階段的非球面元件表面通常凹凸不平，使用全局的曲線擬合算法如：最小二乘法、最小區域法、線性回歸法等均為最小均方誤差的無偏估計，受非球面元件表面粗糙度影響較大，容易導致欠擬合，使斜率計算誤差較大。而核回歸方法允許在估計中引入一些偏差，對局部的數據進行加權線性回歸，可以有效的降低預測的均方誤差[13]。由于核回歸方法局部加權的特性，使其在回歸預測分析中通常可以得到比全局擬合算法更好的效果，并廣泛的應用于機器學習領域。

核回歸算法在傳統的全局曲線擬合算法損失函數的基礎上引入權重函數w(i)：

J(α)=∑iw(i)(y(i)-αTx(i))2

(9)

式中，x(i)和y(i)為數據集樣本點；α為擬合多項式系數，權重函數根據要預測的點與數據集中的點的距離來更新數據集中的點權值，常用的權重函數為高斯衰減函數：

(10)

式中，k為波長；x為預測點。指數衰減函數曲線見圖5。

圖5 權重函數

如圖5所示，樣本點距離預測點越遠，其權重越小，波長越大，權重衰減越慢。

核回歸算法對每個預測點x賦予一定的權重，然后在子集上基于最小均方誤差進行線性回歸，為了提高計算回歸系數的效率，使用標準方程法計算其線性回歸系數：

α=(XTWX)-1XTWy

(11)

式中，X為數據集，W為權重函數集。

利用核函數算法對含噪的表面粗糙度較高的非球面元件輪廓矢高測量數據進行擬合，得到如圖6所示的擬合效果圖。

圖6 核回歸擬合輪廓

如圖6所示，當k=0.1時納入了過多的噪聲點，使擬合輪廓與數據點過于貼近；當k=0.5時擬合輪廓效果最佳，得到了數據的潛在模式；當k=1時權重很大，近似將所有的數據視為等權重，得出的最佳擬合輪廓忽略了非球面表面粗糙度對斜率的影響，不利于接觸測量力誤差補償。

根據式(11)得到的回歸系數，得到非球面矢高的回歸模型：

(12)

當非球面斜率較小時，局部接觸變形誤差在水平方向的分量δbsinθ≈0；當非球面斜率較大時，測桿彎曲變形δc>>δbsinθ；所以認為接觸測量力引起的誤差約為測桿彎曲變形誤差，對式(12)求導，帶入式(8)得到補償模型：

(13)

2 非球面接觸式測量實驗

2.1 實驗裝置

為了驗證核回歸對非球面接觸測量力誤差補償的有效性，使用立式輪廓儀作為實驗裝置。輪廓儀矢高測量傳感器為基恩士GT2-H50大量程長度計，量程為50mm，分辨率為0.5μm，接觸測量力為3.2N。長度計固定在立式輪廓儀測量臂上，使用水平定位精度為1.5μm的導軌驅動系統驅動測量臂沿直線度誤差為3μm/1000mm的大理石導軌移動，當水平導軌帶動測量臂沿非球面母線移動時，長度計直接采集待測非球面的矢高，將若干離散的非球面矢高數據擬合后，得到非球面的一條母線輪廓。非球面接觸測量裝置如圖7所示。

圖7 非球面接觸測量裝置

使用該輪廓儀測量一個粗加工階段理論加工參數為：曲率C=0.005，二次系數K=-1，口徑φ=200mm的拋物面矢高，得到構成該拋物面母線的離散點。分別使用最小二乘法、最小區域法、線性回歸法和核回歸對形變誤差進行補償，使用高精度非接觸式輪廓儀測測量結果作為實際值。

2.2 實驗結果及分析

因為殘差可以表征非球面的表面PV值和RMS值，利用文獻[14]的方法，對拋物面矢高進行擬合，得到該拋物面的母線，計算殘差，得到如圖8所示的殘差對比圖。

圖8 誤差補償殘差對比

如圖8所示，因為拋物面是旋轉對稱的，所以殘差變化趨勢對稱分布，并且隨著拋物面斜率增加，接觸測量力所造成的形變誤差越大，誤差補償的提高效果越好，母線擬合的精度越高，殘差越低。可以誤差補償前的最大殘差為27μm，使用全局曲線擬合的誤差補償方法的誤差補償效果略差，最大殘差均為19μm左右，而基于核回歸的非球面接觸測量力補償方法補償效果明顯，經過曲線擬合后的殘差最小，最大僅為12μm，略低于實際值的8μm，顯著的提高了輪廓儀的測量精度。

處理圖7所示的殘差數據，得到如表1所示的無誤差補償，以及經過最小二乘法、最小區域法、線性回歸法和核回歸法誤差補償的非球面母線PV和RMS值對比結果。

表1 誤差補償對比結果

在沒有誤差補償的情況下，PV值和粗糙度約為實際測量值的3倍，測量精度最低，無法滿足實際測量的需求。而由于被測拋物面處于粗加工階段，拋物面表面PV值和粗糙度較高，最小二乘法、最小區域、線性回歸法等全局的曲線擬合算法，對形變誤差擬合效果較差，誤差補償效果為實際值的2倍以上，PV值測量結果均大于30μm，無法為拋物面精磨提高可靠的測量結果。使用核回歸法的誤差補償方法考慮到了拋物面的局部粗糙度，對拋物面的斜率擬合效果最好，所以誤差補償效果最優，只略低于實際值6μm，接近基恩士長度計測量精度3.5μm，可以有效的提高接觸式輪廓儀的測量精度。

完成一條非球面母線測量后，使用圖6所示的輪廓儀的轉臺帶動被測非球面旋轉10°，測量該位置處的非球面母線。轉臺旋轉一周后，完成非球面母線的測量，利用最小區域法，擬合36條母線得到非球面的表面形貌信息。利用輪廓儀對被測拋物面形貌進行重復測量，重復測量5組，每組測量10次，拋物面參數擬合后取平均值，得到表2所示經過核回歸接觸測量力誤差補償的拋物面參數測量結果對比數據。

表2 擬合非球面測量參數

核回歸算法由于權重函數波長的關系，可以對非球面局部進行更好的擬合，有效的提高了非球面斜率的測量精度，從而可以有效的提高輪廓儀對非球面的測量精度。實驗結果表明，曲率測量的最大相對誤差僅為4%，曲面常數測量的最大相對誤差僅為1%，驗證了基于核回歸算法的輪廓儀誤差補償方法的有效性。

3 結論

通過對輪廓儀測量非球面的過程進行分析，發現長度計接觸測量力造成的輪廓儀精度損失最大約為長度計精度的30倍，極大的降低了非球面接觸式測量的測量精度。分析了非球面接觸測量誤差與接觸測量力導致的非球面表面形變誤差和長度計測桿形變誤差間的關系，并提出基于核回歸的接觸測量力測量誤差補償方法。最后通過實驗驗證了核回歸算法相較于全局曲線擬合算法，誤差補償效果更好，可以更有效的提高輪廓儀測量非球面的精度。但是，本文的研究尚有不完善之處，實驗中忽略了導軌直線度的影響，以及測量速度對測桿彎曲形變的影響，致使接觸測量力誤差補償為近似補償，降低了誤差補償精度，沒有充分發揮高精度長度計的優勢，影響了測量精度。下一步工作將針對建立更優秀的誤差補償模型以達到更好的測量精度。