卡爾曼濾波在變形監測應用中的探討

劉瓊瓊 張洪勝

（周口市規劃建筑勘測設計院，河南 周口 466000）

20世紀60年代，美籍匈牙利數學家卡爾曼首先提出了用一個狀態方程和一個量測方程來完整描述線性動態方程，即卡爾曼濾波方程，采用時域法及狀態方程為其數學工具，以多變量控制、最優控制與估計以及自適應為主要內容。這是一種動態進行實時數據處理的有效方法，無需存儲不同時刻的觀測數據。在實際應用中，如何選擇濾波模型，選擇濾波初值、精度評定，本文將進行介紹，并結合應用實例說明。

1 卡爾曼濾波基本原理

卡爾曼濾波屬于軟件濾波方法，是以最小均方誤差為最佳估計準則，采用信號與噪聲的狀態空間模型，利用前一時刻的估計值和當前時刻的觀測值來更新對狀態變量的估計，求出當前時刻的估計值，根據建立的系統方程和觀測方程對需要處理的信號做出滿足最小均方誤差的估計[1]。最初的卡爾曼濾波算法適用于解決隨機線性離散系統的狀態或參數估計問題。

在實際應用中，可以將物理系統的運行過程看成一個狀態轉換過程，卡爾曼濾波將狀態空間理論引入物理系統的數學建模中，其假設系統狀態可以用n維空間的一個向量X∈Rn來表示。為了描述方便，可以作以下假設：物理系統的狀態轉換過程，描述為一個離散時間的隨機過程。系統狀態受控制輸入影響；系統狀態及觀測過程受噪聲影響；對系統狀態是非直接可觀測的[2]。在假設前提下，定義系統狀態變量為X∈Rn，系統控制輸入為UK，系統過程激勵噪聲為WK，得出系統的狀態隨機差分方程：

定義觀測變量Zk∈Rm，觀測噪聲為Vk，得到量測方程：：

假設Wk、Vk為相互獨立，正態分布的白色噪聲，過程激勵噪聲協方差矩陣為Q，觀測噪聲協方差矩陣為R。A、B、H統稱為狀態變換矩陣，是狀態變換過程中的調整系數，是從建立的系統數學模型中導出來的，假設它們是常數，得出卡爾曼濾波迭代的五個公式如下：

時間更新方程：

狀態更新方程：

式中， A是作用在Xk-1上面的n×n狀態變換矩陣；B是作用在控制向量Uk-1上的n×1輸入控制矩陣；H是m×n觀測模型矩陣，把真實狀態空間映射成觀測空間；為n×n先驗估計誤差協方差矩陣；Pk為n×n后驗估計誤差協方差矩陣；Q是n×n過程噪聲協方差矩陣；R是m×m過程噪聲協方差矩陣；I是n×n階單位矩陣；Kk是n×m階矩陣，稱為卡爾曼增益或混合因數，可使后驗估計誤差協方差最小。

上述給出的是離散卡爾曼濾波的時間更新方程和狀態更新方程（-代表先驗，代表估計）。卡爾曼濾波主要分兩步進行，先預測后修正，對應兩個方程，預測方程（1）和修正方程（2）。預測方程功能：由系統上一狀態最優估計狀態推算出系統當前狀態，即當前狀態預測值＝系統狀態轉移系數（A）×系統上一狀態的最優估計值＋狀態估計噪聲。修正方程功能：由系統當前狀態的預測狀態和實際觀測值求取當前狀態的最優估計狀態，即系統當前狀態的最優值＝當前狀態預測值＋修正系數（K）×（實際觀測量－當前狀態預測值）。這個過程是預估－校正過程，對應的這種估計稱為預估－校正算法。

2 濾波模型的選擇

卡爾曼濾波模型誤差的影響是卡爾曼濾波發散的重要原因之一。為了避免模型誤差造成的不良影響，測量工作者要嚴格按照規定進行觀測，保證觀測過程的合理性和準確性，盡量給出接近實際的模型[3]。

在變形測量實時監測項目中，常用的卡爾曼濾波模型為位置、速度模型和位置、速度、加速度模型，這些是將監測點的變形位移看成一個隨機過程。位置速度濾波模型認為在變形測量中，監測點位移速度的均值不變，在濾波中將監測點的位置、移速度作為狀態量，將位移加速度視作動態噪聲，其狀態方程為：

位置、速度、加速度濾波模型認為在變形測量中，監測點位移加速度的均值不變，濾波中將監測點的位置、移速度和加速度都作為狀態量，將加速度變化率視作動態噪聲，，其狀態方程為：

式中 xk、、分別為監測點的坐標、位移速度和加速度，Ωk-1為動態噪聲，t表示時間。

觀測噪聲通過模擬觀測實驗獲得。取若干期監測數據，計算監測點各期坐標及對應的速度、加速度，對速度和加速度作圖分析。當各期速度在其平均速度的兩側波動變化，無明顯增、減速跡象時，采用位置、速度模型；當各期速度有增、減速跡象，而其加速度無明顯增、減速跡象時，采用位置、速度、加速度模型，最后根據各期加速度的變化率估算狀態方程的動態噪聲的方差。

3 模型精度的評定

當精確已知觀測噪聲和動態噪聲的隨機模型時，不需要專門進行精度評定，但實際應用中，所采用的先驗系統狀態誤差協方差陣Q和量測誤差協方差陣R與其實際值可能不完全一致，這時Q和R的含義與其說是協方差矩陣不如說是權逆矩陣更適當，式（7）中的Pk就是系統狀態量的權逆矩陣，因此要計算單位權方差的估計值，以獲得狀態參數估計的協方差矩陣[4]。

對于第k期濾波，單位權方差σ2，可按照下式估計：

式中，nk為第k期濾波觀測值的個數，為ξk預測殘差向量的權逆矩陣，這時狀態參數向量濾波值得協方差：

在施工變形測量中，nk往往較小，這時按式（10）求得的可能不穩定。理想方法是通過平滑的各期狀態參數向量的平滑值，根據平滑后的殘差向量來估計，但平滑計算較復雜，計算量也很大。為了化簡計算，同時消除值的不穩定性，可將式（10）計算的各期值，按權（各期觀測值的個數）取平均值近似地計算的估值，若以Nk表示第k期以前（包括第k期）各期觀測個數之和，Wk表示第k期以前（包括第k期）各期之和，經推導可得下列公式：

用卡爾曼濾波法處理數據的一般步驟是：首先，獲取部分對象的監測數據來確定系統狀態量模型。其次，提取建立卡爾曼濾波模型所需的預測噪聲量和量測噪聲量，確定系統狀態量初值。再次，建立系統卡爾曼濾波模型，處理觀測數據[5]。其中，根據對監測數據的分析選擇合適模型，提取相應的預測噪聲量和量測噪聲量是關鍵，需要根據具體工程數據分析獲得。

4 應用實例

以濱州大橋運行監測項目為例。獲得采用動態RTK模式解算的大橋監測三維坐標數據，經過統計分析，此處采用位置、速度、加速度模型，設t為監測周期，設某時刻觀測點的位置為Xk，其瞬時速率為，瞬時加速度為，將加速度的瞬時變化看作隨機干擾（動態噪聲）。記此點的狀態向量為：為9×1的矩陣，I為3×3的單位陣，系統狀態方程為：

可得系統狀態方程：

Lk+1為3×1觀測值矩陣，Bk+1為3×9觀測模型矩陣，為觀測噪聲，可得卡爾曼濾波迭代的五個公式：

三維坐標數據處理采用卡爾曼濾波處理結果（如圖1所示），綠色曲線為濾波后結果，紅色曲線為實測數據，濾波效果明顯，數據波動符合實際監控情況。

圖1 觀測數據濾波效果

濾波數據單位權中誤差會發生變化，濾波值的中誤差越來越小，精度逐步提高，趨于穩定值。有關結果如表1所示（這里僅列出10組數據）。

由表1看出，監測值與濾波值之間殘差的最大值為-4.588mm，最小值為0.377mm，殘差有正有負，有很強的隨機性，預測誤差為1.08cm，對采用動態RTK模式解算數據而言，預測效果較好。

表1 變形監測值與相應的濾波值

5 結束語

本文詳細探討了卡爾曼濾波在監測應用中如濾波模型的選擇，模型初值的設定和精度評價方法，并結合具體的工程實例，論證了該方法在動態變形監測中的可行性，濾波解算結果具有較高的精度。卡爾曼濾波適合估計線性隨機差分方程描述的隨機過程的狀態變量，在變形監測工程領域有廣泛的應用前景。