CTOD尺寸效應的概率描述研究

陳春君,苗張木

(武漢理工大學 交通學院, 武漢 430063)

隨著經濟的發展、技術的進步,鋼結構建筑朝著更高、更大、更厚的方向發展．結構越厚,內部出現缺陷(細小的孔洞和微裂紋)的可能性越大．這些缺陷在結構外載荷的作用下,會逐步演化成宏觀裂紋,并極大地縮短建筑結構的使用壽命[1]．要保證結構不因裂紋問題而提前退役,就必須在設計階段考慮材料抵抗裂紋擴展的能力．衡量材料抗斷裂性能的指標有很多,如斷裂韌度KC、G、CTOD、J．在這4個韌度指標中,裂紋尖端張開位移(CTOD)物理意義清晰、測試方法簡單,應用比較廣泛[2]．

在工程中,常常會遇到這樣的問題:在設計階段,需要對比不同建筑材料在設計厚度下的斷裂韌度,并從中選出最合適的材料．在缺少實驗數據的情況下,最穩妥的方法是測試所有備選建材在設計厚度下的斷裂韌度值,用實驗結果作為選擇材料的依據．顯然,這種方法不僅會增加設計成本,還會延長設計周期．若是能找到材料斷裂韌度與厚度的關系式,并用已有的實驗數據擬合出曲線,再在擬合得到的曲線上找到設計厚度下的韌度值,就能大幅度減少設計成本,并縮短設計周期[3]．

已有的研究發現,材料斷裂韌性與試件厚度的關系,可用數學公式描述[4]．前人在使用該公式時,沒有考慮韌度值的離散性,對實驗數據粗糙地作均值處理,顯然是不合理的．文中用概率論與數理統計的方法,對CTOD值的離散性進行研究,找到韌度值的合理分布模型,并從概率的角度,對尺寸效應作新的描述．另外,尺寸效應的原有公式在擬合精度上,有一定的提高空間．利用改進的公式,進一步提高了擬合性能．

1 尺寸效應公式

1.1 現有公式的改進

已有研究表明,當試件厚度較小時,斷裂韌度與試件厚度成正比,試件越厚,韌度越大．當厚度繼續增加,超過某一界限后,材料的斷裂韌度會隨著厚度增加而減小,并最終趨于常數,如圖1[5-7]．

圖1 斷裂韌度與厚度關系Fig.1 Relationship between fracture toughness and thickness

文獻[8]利用格里菲斯表面能理論和巴林布拉特吸附力理論,推導出了斷裂韌度KC關于試件厚度的數學表達式:

KC=ξt1/2e-kt+KIC(1-e-kt)

(1)

式中:ξ,k,KIC為材料常數；t為試件厚度．為了驗證上式的合理性,用LY12CZ(L-T)板材和TC4(L-T)板材的實驗數據[9],采用最小二乘法進行曲線擬合．計算結果顯示,LY12CZ(L-T)板材擬合曲線的最大誤差為6.58%,TC4(L-T)板材的最大誤差為2.41%．文獻[10]用X140套管鋼進行系列厚度的斷裂韌度試驗,并用上式擬合,誤差同樣很?。纱丝梢?式(1)能較好地描述斷裂韌度KC的尺寸效應,且對于不同的材料均適用．

由KC與CTOD的關系[11],從式(1)推出了斷裂韌度CTOD的尺寸效應公式:

δ=ξte-kth+δm(1-e-kth)

(2)

式中:ξ,k,δm為材料常數；h為調節參數．以20 ℃下,14MnNbp母材的CTOD試驗數據為基礎,用該式進行擬合,最大誤差為15.6%,可見用式(2)描述CTOD的尺寸效應雖然合理,但其擬合性能有待提高．

δ=ξte-k1th+δm(1-e-k2th)

(3)

式中:ξ,δm為材料常數；k1,k2為調節系數．在曲線擬合時,其值由最小二乘法計算得到．改進公式使用時,有一個適用的厚度范圍,該范圍依賴于已知的數據．例如,已知某種材料在一系列厚度下的韌度值,將這些厚度按從小到大排列,可構成向量[t1,t2,t3…tn]．按式(3)進行擬合,則得到的曲線在區間[t1,tn]中,能保證結果的可靠,并且數據點越密,結果越有效．在該區間之外,因為缺少數據對曲線的約束,雖然擬合出的曲線經過該區域,但該段曲線是不能用來作韌度預測的．因此,改進公式在使用時,其適用范圍是區間[t1,tn]．

1.2 CTOD的分布模型與K-S檢驗

大量試驗結果顯示,材料斷裂韌度具有離散性．CTOD試驗符合隨機現象試驗的特征,故而可用概率論與數理統計的方法對其進行研究．

文獻[12]研究系泊鏈鋼CTOD實驗結果后,與正態分布發現相比,用威布爾分布對其進行描述更合適．文中假設韌度試驗結果服從威布爾分布,分布函數如下:

F(x|a,b)=1-e-(xa)b

(4)

式中：a為尺度參數,b為形狀參數．考慮到樣本均值X是總體均值μ的無偏估計,樣本方差S2是總體方差的無偏估計,聯立

(5)

(6)

計算參數a,b的估計值,代入式(4)中得到分布函數的具體形式．

樣本是否可用剛剛得到的分布函數描述其分布,需用假設檢驗來判定．由于試驗所得的樣本點少,特選用適合小子樣的K-S檢驗方法來做判定．K-S檢驗是將變量的累計分布函數與假設分布進行比較．用Ai表示假設分布每個類別的累積相對頻數,Oi表示樣本頻數的相應值,定義統計量k=max|Ai-Oi|．若每次抽樣研究中,k值在0附近,則說明樣本服從假設分布;若k值很大,就可以做出拒絕假設的判定．當判定接受原假設,就用假設的威布爾分布描述斷裂韌度的分布．當判定拒絕原假設時,用最大似然估計得到參數a,b置信度為95%的置信區間,在置信區間內另找兩點a2和b2,再進行K-S檢驗,如此反復,直到找到合適的參數a,b使得檢驗通過．

1.3 尺寸效應的概率描述

描述某種材料斷裂韌度的尺寸效應,傳統的做法是取系列厚度試件做試驗,每種厚度下至少作3個試樣,取結果的平均值,再用式(1)、(2)對數據點進行擬合,得到韌度隨厚度的變化曲線．該曲線可以直觀地觀察韌度變化趨勢．傳統方法在韌度值離散性小時,是合理的．當離散性較大,得到的曲線只能反映韌度值的大致變化趨勢,用于韌度值預測時會產生很大的誤差．

為了在離散性大的情況下,也能實現韌度值的有效預測,文中提出尺寸效應的概率描述方法．具體做法是:對每一厚度下的數據,計算得到δa、δb,再用δa和δb的數據分別按式(3)進行擬合,得到上下的兩條曲線．兩曲線的中間區域,即韌度值出現概率為P的區域．當韌度值離散性小時,此法得到一條窄帶,與用均值擬合出的曲線近似;當離散性大時,得到一條寬帶,P值設置越大,實驗值落在其中的概率就越高．

2 試驗驗證

2.1 試驗方法

采用20 ℃下,14MnNbq鋼母材試件和16Mnq鋼焊縫試件的實驗數據[13],驗證改進公式(3)的擬合性能．試驗采用標準三點彎曲試件(尺寸比例如圖2),共有5種厚度(10、14、22、30、40 mm),每種厚度下做3個試件．

圖2 三點彎曲試件尺寸圖Fig.2 Dimensional drawing of three-point bending test piece

CTOD試驗依照GB/T 2358-1994進行．試驗前,在INSTRON1603高頻疲勞試驗機上預制疲勞裂紋,并保證初始裂紋總長占試樣寬度的一半．主體試驗在CSS2220萬能試驗機上進行,加載速度設為20 mm/min,當加載到最大荷載或著試件脆斷時停機．試驗結束后,用工具顯微鏡讀取試件的初始裂紋長度a,在記錄的P-V圖中,讀取最大荷載P和塑性位移分量VP．將a、P、VP和試件的尺寸代入規范所給公式,即可求出材料的CTOD值．

2.2 數據處理與曲線擬合

對每種材料,用δa、δb數據和均值數據分別按式(3)擬合曲線．擬合算法為最小二乘法,在Matlab平臺上編程實現．擬合14MnNbq鋼母材的數據時,只用10、14、30、40 mm處的值擬合曲線,22 mm處的值留下來驗證改進公式預測韌度的準確性．擬合16Mnq鋼焊縫的數據時,同樣留下22 mm處的數據作驗證．擬合得到的曲線如圖3、4,擬合曲線在數據點處的誤差見表1、2．

圖3 14MnNbq鋼母材試件擬合結果(20 ℃)Fig.3 Fitting results of 14MnNbq steel base metal specimens (20 ℃)

圖4 16Mnq鋼焊縫試件擬合結果(20 ℃)Fig.4 Fitting results of 16Mnq steel weld specimens (20 ℃)

從表1、表2看到,改進公式的擬合誤差與預測誤差均在10%以內．與原公式的最大擬合誤差15.6%相比,擬合性能有明顯提高,說明公式的改進方法有效．將改進公式用于兩種不同材料的數據擬合,均得到良好的效果,說明新公式具有普適性．從兩種材料在22 mm處的預測結果看到,改進公式在其適用的厚度范圍內,韌度預測結果準確度較高．因此,在工程中用文中所提公式進行韌度預測,是一種能有效節省人力物力成本的切實可行的方法．

表1 14MnNbq鋼母材試件擬合誤差(20 ℃)Table 1 Fitting deviation of 14MnNbq steel base metal specimens (20 ℃)

表2 16Mnq鋼焊縫試件擬合誤差(20℃)Table 2 Fitting deviation of 16Mnq steel weld specimens (20 ℃)

3 結論

(1) 修改現有的CTOD尺寸效應公式,給出改進公式．新公式在描述14MnNbq鋼母材試件和16Mnq鋼焊縫試件的尺寸效應時,均表現出良好性能,表明改進方法合理且具有普適性．

(2) 通過K-S檢驗,證明了兩種材料的CTOD值分布模型可用雙參數威布爾分布描述．考慮斷裂韌度值的離散性,用區間[δa,δb]表征其最有可能出現的范圍,并提出了尺寸效應的概率描述方法．此法彌補了傳統方法在斷裂韌度離散性大時,韌度預測誤差大的缺點．在工程應用中,求得一個韌度值可能存在的區間比均值更有意義．