《復變函數與積分變換》課程教學與MATLAB應用

徐幼專，周后卿

（1.邵陽廣播電視大學，邵陽 422000；2.邵陽學院理學院，邵陽 422000）

0 引言

眾所周知，《復變函數與積分變換》是工科類較為重要的基礎課程之一，其重要的原因不僅在于可以學到一些復變函數知識，為其他專業課程的學習打好基礎，如《電子電路》、《自動控制原理》、《信號處理》等，都是以該課程的數學方法為解決問題的重要工具。通過這門課程的學習目的是提高學生的數學素養，培養解決問題的能力。數學能力是在學習數學的過程中發展起來的，并且主要是在數學學習活動中表現出來的比較穩定的心理特征。然而隨著高校擴招，生源質量參差不齊，給班級教學造成許多困難。就《復變函數與積分變換》而言，由于學生沒有學好高等數學，所以在學習這門課程時感到很艱難，使得這門課的掛科率居高不下。怎樣才能激發學生學習數學的熱情，提高復變函數與積分變換的教學質量，許多教育工作者做了深入的研究，他們從各個方面進行了探討（參考文獻[1-7]），并且形成了一些共同的認識；對于《復變函數與積分變換》課程的改革，也是見仁見智（參考文獻[8-10]）。然而，教學探索和改革是一個永恒的話題，永無止境。結合自己多年的教學實踐，談談個人對這門課程的一些看法。

1 對《復變函數與積分變換》課程的新認識

目前，有相當一部分教師，在講授《復變函數與積分變換》時，教學模式還是側重以理論推導為主，附帶講積分方法應用。忽視了這門課的具體應用背景，容易導致學生學習目的不明，不知如何利用《復變函數與積分變換》的方法解決工程技術中的問題，因而容易喪失學習興趣和信心。

在教學時候，要強調《復變函數與積分變換》課程的實用性。復變函數與積分變換的理論和方法在數學中有著獨特的作用，例如，在《高等數學》的曲線積分這個章節，積分什么時候與路徑L無關，只與曲線L的起點、終點有關？高數教材介紹了一個定理，即當時，積分與路徑無關。而在復變函數中同樣有類似的性質，當函數在這個曲線L所圍的單連通區域內解析時，曲線積分與路徑L無關，只和L的起點、終點有關。因此，在高等數學中遇到求積分的問題時，可以把這個實積分轉化求復積分，特別是當積分路徑為圓時，用復積分方法顯得更為簡單。再則，自然科學和工程技術中的一些問題，例如流體力學、電磁學、熱學、彈性理論中的平面問題，等等，也可以用復變函數中的方法去解決。在信號處理、模擬電路等內容中，更多地利用傅里葉變換與拉普拉斯變換來解決。

這門課程雖然重要，但對于不同專業的學生來說，要求不盡相同。因此，教學內容的改革要貫徹“必需”和“夠用為度”的原則。從應用技術性人才培養目標出發，要以應用為目的，以必須夠用為“度”，把培養學生應用數學解決實際問題的能力與素養放在首位。為此，需要對這門課程的內容進行適當的取舍與更新。教學內容上必須緊緊結合專業培養目標，但要保證教學內容的系統性和嚴謹性，教學上不能過分形式化。

2 對《復變函數與積分變換》課程改革的思考

2.1 激發學生的學習興趣

學習的敵人是驕傲、是滿足、是厭惡。許多學生數學成績不好，不是由于智力上的原因，而是主觀因素造成的，也就是沒有主動學習的愿望，對學習數學缺乏興趣。研究表明，興趣是最好的老師，學習興趣是學生學習的強大內驅力。學生一旦有了學習興趣，注意力就高度集中持久，思維就會異常活躍，學習活動就會隨之變得愉悅，就能高效率地掌握知識技能；在某種意義上說，學生的學習興趣比智力因素作用更大。反之，學生對學習不感興趣，就會導致學習動力缺乏或動力水平降低，甚至厭學。試想，一個人本來對數學興趣不大，甚至感到厭惡，上課將它棄之一邊，置之不理，不屑一顧；課余更不會花時間和精力去看書、去思考，這種狀況還能學好數學嗎？加之大學階段的學習方法有別于中學，強調學生自學為主，側重于對數學概念、數學原理以及思想方法的理解和掌握；教師只是在上課時將問題提出，并適當地指出解決問題的方式途徑，回頭復習的機會是很少的。因此，如何引導學生主動參與，激發學生的學習興趣，發揮學生的主觀能動性，是每位教師不能不思考的問題。學生的厭學情緒倒逼我們教師必須采取有效的教學方法，改變傳統教學模式，運用現代教育技術手段，采用探究、情境、合作等多種教學形式，吸引學生的注意力。

2.2 講清概念原理

中學數學的教學過程中，教師往往對教學的方法是非常重視的，他們用非常生動而且形象的語言吸引學生，從而激發他們學習數學的興趣。課堂上采取邊講邊練的方式，每堂課的教學內容并不多，目的就是讓學生充分掌握所學的知識。而在大學的數學課堂上,每堂課的教學內容很多，又多采用“滿堂灌”的教學方法。教師并不要求學生立即掌握所學的知識，而是注重對學生邏輯思維能力和綜合運用能力的培養。正是這種差異,許多新生不能夠馬上適應大學的數學學習，在學習中遇到了較大的困難。所以，在復變函數課程教學時，教師也要注重教學方法。例如講解概念時，盡量從學生熟悉的生活實例或與專業相結合的實例中引出，使學生建立正確的數學概念。側重解題思路、解題過程的教學，引導學生分析、歸納、推理、類比，構建知識的遷移渠道，拓展學生的思維，提高教學的整體效果。

2.3 注意類比法，對比法，減少不必要的理論推導

由于《復變函數與積分變換》中的許多定理證明，推導比較繁瑣，需要一定的技巧。因此，我們在定理教學時需要把握一個原則：怎樣深入淺出、化難為易。更要把握好一個度，不能一節課的時間都用在定理的證明上。由于這門課程的許多定義、定理的結論是高等數學內容的一個推廣，因此，在學習時要注意類比。例如，復變函數的級數理論中，很多結論與高等數學中的相類似，如冪級數、解析函數的泰勒展開。再者，要利用對比法來學習，特別要注意兩門課程不同的地方（見表 1）。

表1 《高等數學》與《復變函數與積分變換》部分知識點的不同之處

復變量函數中許多問題與實變量函數可以對比、類比，從保留、增加、推廣的角度去研究，如復數保留了實數的四則運算、運算規律。也增加了一些新的東西，正如表1所列出的那些知識點，也是實數域與復數域不同的地方。在學習時要將對比、類比法的思想方法，自始至終貫穿在教學的全過程中，引導學生找出彼此的共同點，弄清彼此的不同點，深刻理解、靈活運用。

2.4 利用計算軟件簡化運算，降低教學難度

教學的首要任務是指導學生學會思考，怎樣去分析、歸納、類比、推理。大學的學生應能夠熟練的掌握類比法、分析法、歸納法、變量替換法、恒等變形法以及數學模型法等常用的數學思維和解決實際問題的方法，對于在處理問題時常用的數學技巧也應熟練的掌握。學生們在學習定理、公式、法則時,要注意已經成立的條件并理解它們存在的作用，從這些已經成立的條件開始分析問題，這樣才能夠得到正確的結論。

高校教師還應不斷的學習先進的教學理念，要緊密結合工程應用，要以現代工程技術實例為引導，以積分變換理論為基礎，實例分析和理論分析相互交叉。不斷改進傳統教學手段、教學方法；更加重視思維方法以及基本概念的教學工作，因材施教,盡量將一些復雜問題簡單化,將一些抽象概念具體化。充分利用現代教育技術和手段，將數學實驗用到課堂教學中，使得教學更加直觀化、可視化，這樣學生更容易接受。例如，利用MATLAB軟件畫出函數的圖在孤立奇點處留數。

分析：如果用常規方法計算，首先要確定函數的孤立奇點，因為可知函數的孤立奇點為 z1=-1(一級極點)，z2=1(二級極點)，然后分別利用留數計算方法，求出函數在z1,z2處的留數。現在如果借助MATLAB軟件，就能輕松求出留數，不必用這么多步驟了,只需寫出源代碼運行即可，一次求出。

當分子分母均為多項式函數，調用格式如下：[R,P]=residue（A,B），其中R是部分分式的系數數組，即留數數組，P是極點數組。參數A是由復變函數的分子的系數組成的向量，參數B是由復變函數的分母的系數組成的向量。

利用MATLAB編程，程序如下：形（見圖1、圖2）。利用MATLAB軟件作圖，既快又好，黑板上是無法畫出那種效果的。像這樣兩個圖形對比，它們的差別一目了然，非常清楚，學生就很容易搞懂。其實，MATLAB軟件在計算、繪圖、設計等方面還有許多用途,如果在復變函數與積分變換教學中，能結合教材內容與實際案例,利用MATLAB探究解決相關問題，那么對學生的自主探索，興趣培養必定會起到積極的推動作用。

運行結果：

圖1 函數f(x)=x2的圖像

圖2 函數 f(z)=z2的圖像

當函數有重極點時，對同一個極點P，存在幾個展開系數R，這幾個R中只有與相同極點中的第一個對應的R是的系數,即與極點P對應的留數，其余的不是留數。本題中，函數在孤立奇點1處的留數為，在孤立奇點-1處的留數為由此看出，利用計算軟件，能達到事半功倍的效果。

3 結語

我們在多年的教學實踐中發現，有效合理利用教育技術手段，能夠激發學生的學習興趣，降低課本難度，教學變得直觀具體，學生易于接受。當然，利用課件、多媒體技術也要有的放矢，不是每堂課都用。《復變函數與積分變換》的教學與《高等數學》有相似之處，也有不同的地方；不管怎樣，只有端正教、學態度，合理組織教學內容，優化教、學方法；改變機械學習狀態，積極思考，勤學好問，掌握方法，才能提高教學質量。教學改革是一個漫長的過程，也是一個永恒的課題。只要我們持之體恒，積極探索，躬身實踐，就一定能找到一個合適的教學方法，就一定會收到成效。