雙螺桿壓縮機多頭變螺距螺桿轉子數字化建模研究*

□董朋莎 □孫會來 □孫建軍 □茍向鋒

天津工業大學 機械工程學院 天津 300380

1 研究背景

雙螺桿壓縮機以結構簡單、維護方便及適應性強等優點，被廣泛應用于氣動、制冷及石化等工業領域[1-2]。雙螺桿壓縮機中最核心的零部件是一對相互嚙合的螺桿轉子，轉子的設計水平和加工質量直接決定壓縮機的性能水平[3]。

螺桿轉子的設計分為型線設計和螺旋線設計，型線設計分為正向設計和反向設計兩種[4-6]。型線的正向設計理論較為成熟，是目前廣泛應用的一種方法。當前國內外學者對于變螺距螺桿轉子的研究多集中在單頭螺桿轉子，主要應用于螺桿真空泵[7-8]，而對于雙螺桿壓縮機中多頭變螺距螺桿轉子的研究則較少。

筆者介紹多頭變螺距螺桿轉子型線和螺旋線的設計過程，最終得到陰陽轉子的精確數學模型，為基于離散點的變螺距螺桿轉子加工刀具設計及加工方法的制訂奠定了理論基礎，在變螺距螺桿轉子的實際生產和應用方面具有現實意義。

2 型線設計

雙螺桿壓縮機的轉子通常為多頭型線，由多段組成齒曲線組合而成。筆者基于轉子型線的正向設計理論，預先定義陰轉子的齒曲線組成形式，通過坐標轉換和包絡條件得到陽轉子型線的對應各段組成齒曲線的參數方程[9]。

2.1 坐標系

為了用數學方程描述陰陽轉子型線中的各段組成齒曲線，建立如圖1所示四個坐標系：陽轉子靜坐標系X1O1Y1、陰轉子靜坐標系X2O2Y2、陽轉子動坐標系x1O1y1、陰轉子動坐標系x2O2y2。

圖1 坐標系示意圖

由于雙螺桿壓縮機的陽陰轉子之間為定傳動比嚙合，因此其傳動比i為：

式中：z2、z1分別為陰陽轉子的齒數；n2、n1分別為陰陽轉子的轉速；φ2、φ1分別為陰陽轉子的轉角；R2b、R1b分別為陰陽轉子的節圓半徑；ω2、ω1分別為陰陽轉子的角速度；A為陰陽轉子的中心距。

根據圖1所建立的坐標系，很容易得到陰轉子動坐標系x2O2y2和陽轉子動坐標系x1O1y1的坐標變換關系[4]：

2.2 包絡條件式

設陰轉子在動坐標系下某段組成齒曲線的參數方程為：

θ為陰轉子齒曲線的參數，稱為曲線參數。坐標x2和y2都是參數θ的函數，而參數θ的起點θu和終點θv決定了該段組成齒曲線的起點u坐標（x2（θu），y2（θu））和終點v坐標（x2（θv），y2（θv））。

將該段齒曲線的參數方程代入坐標轉換式（4），可以得到對應曲線簇方程：

由包絡線和曲線簇曲線在公切點處公切線的斜率相等，可以得到包絡條件式：

φ1為陽轉子的轉角，決定了陽轉子的位置，稱為位置參數。

包絡條件式（8）的隱函數表達式為f（θ，φ1）=0，移項化簡可以得到由曲線參數θ表示的位置參數φ1函數表達式φ1=f（θ）。

2.3 端面型線

通過對新的不對稱經典型線的分析，預先定義陰轉子型線的一段齒曲線，如圖2所示。陰轉子齒曲線的組成形式見表1。

圖2 陰轉子齒曲線

表1 陰轉子組成齒曲線

設陰轉子上某段圓弧的圓心坐標為（x0，y0），半徑為r2，則其參數方程為：

將式（9）代入坐標轉換式（4），合并化簡可以得到對應曲線簇的方程：

于是有：

將式（11）代入包絡條件式（8），可以得到曲線參數θ和位置參數φ1之間的關系為：

移項化簡，得到φ1-θ形式的包絡條件式：

將上述包絡條件式（13）代入式（10），可以得到陽轉子在動坐標系下對應曲線段的參數方程，其參數范圍仍由式（9）中θ的參數范圍確定。

因此得到陰陽轉子的端面型線，如圖3所示。

3 螺旋線設計

圖3 轉子端面型線

為了提高壓縮機的壓縮性能，陰陽螺桿轉子采用三段式設計。吸氣端采用大螺距設計，以提高吸氣能力。排氣端采用小螺距設計，以保證空氣的壓縮比，而中間過渡部分則采用漸變式螺距設計[10]。考慮到變螺距螺桿轉子的加工難度，三個部分連接的曲面要求平滑過渡。

端面型線的軸向引導線是圓柱螺旋線，其參數方程可以表示為：

式中：R為圓柱螺旋線半徑；τ為螺旋線的纏繞角度；Pn（τ）為圓柱螺旋線軸向參數方程，其導數P′n（τ）為螺距變化的參數方程。

考慮雙螺桿壓縮機的相關性能指標和簡化計算，吸氣端和排氣端為等螺距設計，即圓柱螺旋線軸向參數方程P1（τ）和P3（τ）的螺距曲線為線性變化。

式中：p為排氣端的螺距，是變螺距計算的參考值；c為吸氣端的螺距因子，即螺桿內部空氣體積的壓縮比。

轉子吸氣端和排氣端的螺旋線軸向參數方程為：

式中：m為表示中間過渡部分軸向長度的參數，即mp為中間過渡部分的軸向長度。

為了使螺距連續變化，得到平滑過渡的連接曲面，三段螺旋線必須滿足如下條件：

在（τ1，P1（τ1））和（τ2，P3（τ2））兩點處，根據二節點帶有二階導數約束條件的拉格朗日型埃爾米特插值多項式理論[11]，設一個函數f（τ），τ1和τ2為函數定義域上的兩點，且 τ1＜τ2，有：

聯立式（17）和式（18），可得到Pn（τ）滿足的插值條件為：

則P2（τ）的插值多項式為：

聯立式（19）和式（20），可求得圓柱螺旋線軸向參數方程P2（τ），進一步求導，可得到表示螺距變化的參數方程P′2（τ）。

最終得到陰陽轉子的變螺距螺旋線，如圖4所示。

4 轉子三維數學模型

陰轉子或陽轉子端面型線的參數方程可表示為：

圖4 轉子變螺距螺旋線

轉子的端面型線繞各自的中心軸作螺旋運動，當端面型線相對于原始位置轉過τ角時，軸線前進距離為z，則陰轉子左旋螺旋面的參數方程為：

陽轉子右旋螺旋面的參數方程為：

已知陰陽轉子端面型線和變螺距螺旋線的參數方程，根據實際所用設備和軟件的精度限制，選取合適的變量步長，編程得到一個包含陰陽轉子螺旋曲面上大量三維坐標點的點云文件，將其導入Origin繪圖軟件，可以得到變螺距陰陽螺桿轉子三維數學模型，如圖5所示。

筆者所研究的陰陽轉子均屬于異型螺桿范疇，異型螺桿的加工一直是制造業中的一個難題，其表面質量由螺桿幾何參數、刀具參數和加工參數等共同決定[12-13]?？臻g無瞬心包絡銑削法由于高效率、高精度等優點被廣泛應用于異型螺桿的加工。以陰轉子為例，其加工原理如圖6所示。在滿足不干涉的條件下，對螺桿的旋轉運動C、X、Y等軸進行插補運動，實現刀具加工螺旋槽時逐點嚙合的運動關系，加工出螺旋槽的第一個截面。C、Z兩軸插補形成刀具沿螺旋線方向的進給，然后螺桿反向旋轉，由C、X、Y軸再插補加工出螺桿另一側的第二個螺旋槽截面。循環以上步驟，即可將螺旋槽加工完畢。

圖5 轉子三維數學模型

圖6 陰轉子空間無瞬心包絡銑削法加工原理

5 結論

筆者設計了一種由圓弧及其包絡線構成的多頭變螺距陰螺桿轉子端面型線，結合齒輪嚙合原理，推導出與其正確嚙合的陽螺桿轉子端面型線參數方程，陰陽轉子的端面型線均可達到G1連續。

筆者同時提出一種部分漸變式變螺距螺旋線，借助拉格朗日型埃爾米特插值理論，使螺旋線達到G2連續，從而使螺桿轉子三個部分的連接曲面平滑過渡。通過編程求解，得到了包含轉子表面三維點坐標的點云文件，導入Origin軟件建立雙螺桿壓縮機多頭變螺距螺桿轉子精確的三維數學模型，從而驗證了編程求解的正確性。