“微分”和“積分”二術語的來龍去脈

張必勝

(貴州師范大學 教育科學學院, 貴州 貴陽 550025)

一提到“微分”和“積分”,多數人都知道是數學中重要的概念和內容,是大學必修的一門專業基礎課內容,甚至“微積分”的基本概念和基本公式在高中就已經接觸到了。顯然,“微積分”理論中包括兩個部分,一是“微分”理論,二是“積分”理論。就“微分”和“積分”二術語的出現,則可以追溯到中國古代。在中國古典數學著作《九章算術注》中就出現了“微分”和“積分”二術語。然而,中國傳統數學中的“微分”和“積分”二術語分別表示了無限分割和無窮求和的意思。作為微積分理論中函數的無窮小運算的“微分”和“積分”二術語則是由清末數學家李善蘭(1811—1882)在1859年和傳教士偉烈亞力(Alexander Wylie,1815—1887)合譯《代微積拾級》(以下簡稱《拾級》)中首次給出的,并且“微分”和“積分”二術語一直沿用至今[1]。“微分”和“積分”二術語在中國傳統數學中早已出現,而作為分析理論中的“微分”和“積分”二術語則是在清末譯著《拾級》中出現,雖然這兩者同名,但是它們之間有著什么樣的相互聯系,傳統數學中的“微分”和“積分”概念與分析學中的“微分”和“積分”概念內涵與外延的異同,傳統數學中的“微分”和“積分”二術語和分析學中的“微分”和“積分”二術語有怎么樣的歷史淵源,下面即通過歷史文獻的分析對這些問題試作研究。

1 微積分理論的中西發展簡史

微積分思想在古代西方很早就已經萌芽了,公元前7世紀,測量學的鼻祖,數學家泰勒斯(Thales, 624 B.C.—546 B.C.)對于幾何圖形的面積和體積,以及曲線長度等問題的研究就已經出現了樸素的微積分思想。到了公元前3世紀,數學家阿基米德(Archimedes, 287 B.C.—212 B.C.)利用窮竭法計算拋物線弓形、圓和橢圓等復雜幾何圖形的面積,計算出球和橢球等幾何體的體積,并且還得出了計算的一般性公式。而在中國傳統科學中,同樣很早就有了微積分思想的雛形,魏晉時期的杰出數學家劉徽(225—295)發明了著名的“割圓術”,他用無窮逼近的極限方法計算出了圓周長和面積等數學問題。南朝時期杰出的數學家祖沖之(429—500)、祖暅(不詳)父子發展了劉徽的無限分割與求和的極限理論,得到了求解立體體積的高水平研究成果“祖暅原理”?？v觀古代中西方的微積分思想都是一直有著極限的思想,這就是無窮分割與無限求和的方法[2]。17世紀,西方數學致力于解決物體運動的速率、函數的極值、函數曲線的切線、曲線圍成的面積等實際問題,特別是描述運動和變化的一種關于無限小的算法取得了極大的發展。其中，法國數學家笛卡爾(René Descartes, 1596—1650)的代數方法對于微積分的產生起了極大的推動作用,數學家費馬(Fermat,1601—1665)在求曲線的切線及函數的極值方面貢獻推動了微積分理論誕生的進程。17世紀下半葉,英國數學家和物理學家牛頓(Isaac Newton, 1642—1727)發明正流數術,即微分,次年他又發明反流數術。在微分和積分的基礎上,又將流數術總結一起,最終寫出了《流數簡論》,這一著作標志著微積分理論作為一門學科正式誕生。就在同一時期,德國數學家和哲學家萊布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646—1716)也獨立地創立了微積分理論,他在1684年發表的一篇名為《一種求極值和求切線的新方法》的學術論文中,定義了微分概念,這也是數學史上第一篇正式發表的微積分文獻。其實在牛頓和萊布尼茨之前,有很多數學家都已經隱約發現分割和求和之間的相互關系,即微分和積分之間的內在關系。然而最終都沒有找到這種相互關系,牛頓和萊布尼茨找到了這種相互關系,并且給出了著名的牛頓-萊布尼茨公式,將微分與積分互逆運算聯系在一起,這一關系的揭示在數學上是非常重要的。需要特別說明的是,牛頓和萊布尼茨在微積分方面的貢獻旗鼓相當。二人創立了微積分理論,后來經過數學家的嚴格化,柯西(Cauchy,1789—1857)、魏爾斯特拉斯(Weierstrass,1815—1897)等數學家的工作,微積分才真正的完善起來。當然,微積分理論發展史上不僅只是上述所提及的數學家,還有諸多的數學家為微積分發展做出了貢獻，如牛頓的老師巴羅(Isaac Barrow,1630—1677),在級數理論方面有所貢獻的數學家麥克勞林(Colin Aclaurin,1698—1746)和泰勒(Brook Taylor,1685—1731),還有繼續發展微積分理論的,如歐拉(Leonhard Euler,1707—1783)的經典著作《無窮小分析引論》(1748)、《微分學原理》(1755)、《積分學原理》(1768—1770);拉格朗日(Lagrange, 1736—1813)的經典著作《解析函數論》等都是早期關于微積分理論的經典著作。

我國早在春秋時期就有了極限思想的萌芽,到了兩漢時期極限思想有所發展。特別是《九章算術》中出現的一些關于極限的思想,已經可以求解一些復雜的求和問題。后來劉徽在其《九章算術注》中給出了更為合理的解釋。雖然,《九章算術注》里面大量采用了“微分”和“積分”這兩個術語，但此時的“微分”和“積分”概念還不是對應西方分析學理論中的“differential”和“integral”二概念。《九章算術注》是數學家劉徽對經典數學著作《九章算術》的注釋?！毒耪滤阈g注》這一經典著作中所蘊涵的分割與求和的極限思想是很深邃的。劉徽是在這個傳統數學中探尋和集合各數學家的優秀思想方法,同時并加以創新,加強數學思想應用于實踐研究。通過這一做法,這就使得數學在其思想和方法上發生了變化,特別是其中提出的面積和體積理論。“劉徽原理”中的面積和體積計算理論就出現了微分和積分思想的雛形。分析學意義下的“微分”和“積分”概念,即對應西方分析理論中的“differential”和“integral”則是出現在19世紀中葉,中國數學家李善蘭在微積分方面有了很重要的結果,他在中國傳統數學一系列成果的基礎上完成了著作《方圓闡幽》,其中給出無限分割與求和的極限思想,同時還零星地給出了幾個微積分公式,遺憾的是沒有給出微積分基本公式。但這也是中國傳統數學在微積分領域的最高成就了,其理論性最接近牛頓和萊布尼茨的微積分理論。1859年,李善蘭和偉烈亞力通過“口述——筆譯”的方式共同翻譯了《拾級》,這標準著西方微積分理論正式傳入我國,并一直影響著我國數學的發展。

2 “微分”一詞的歷史記錄

“微分”一詞在中國傳統數學中很早就有了描述,在《九章算術注》中就有了這一術語。而中國傳統數學發展到了清末,李善蘭在其著作《方圓闡幽》中給出了幾個微積分公式,明確地給出了“微分”這一概念,并且對“微分”進行了深入的解釋。1859年李善蘭和偉烈亞力合譯《拾級》時,用“微分”翻譯了底本中的“differential”一詞。從此,傳統數學中的“微分”一詞,衍生為近代西方分析學中的“微分”一詞。

2.1 中國傳統數學中的“微分”一詞

中國古代傳統數學中很早就有了“無限”、“無形”、“無窮”、“微”、“細”、“ 少”、“分”、“窮”、“分割”等概念,表達的是較小、很小、變小等意思。時間較早的著作中,如《淮南子》、《莊子》中就已經有了這些思想的萌芽?！肚f子·秋水》中所提出的“至精無形”和“夫精粗者,期于有形者也;而無形者,數之所不能分也;不可圍者,數之所不能窮也?！盵2]《淮南子·要略》中所記錄的“至微之論之無形也?！t無形”[2]等這一系列早期記錄中的“形”、“無形”、“分”、“圍”、“數”、“窮”、“微”等概念都是表達同樣的無窮分割的思想,并且這些概念都說明了無限分割求和的極限思想與劉徽的割圓術在思想上是完全相同的。劉徽主張的“割之彌細,所失彌少。割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失也?！盵3]劉徽的這種思想特別重要的地方就是其強調的是一種無窮的分割下去,分割為無窮多無窮小,再疊加,最后求和。這種思想是無窮小分割和求和思想的集大成者。

2.2 李善蘭著作中的“微分”一詞

李善蘭在分割與求和的極限理論方面的工作主要體現在其傳統數學經典著作《方圓闡幽》之中,該著作是李善蘭在1845年完成的,是在李善蘭翻譯出版西方微積分理論之前十年完成的著作。該著作主要的數學思想是分割和求和,特別是著作中給出的獨創“尖錐術”是李善蘭創造出來的一種求解幾何體面積或體積的一般性算法,同時,通過這種方法可以得到更多的應用和結論,比如可以進一步用來解決對數計算,可以解決計算中的一些問題,還可以解決級數展開等問題。這種方法,李善蘭稱之為“尖錐求積術”,現簡稱為“尖錐術”,這是一種分割求和的極限算法[4]。

李善蘭在其著作《方圓闡幽》里面列出了十個基礎性的“當知”,每個“當知”就是給出一個原則或者法則。特別是在第一個當知給出了這樣的描述“今試以墨作一點于紙上,細如微塵此形之至校者也,然非。”[4]這一解釋非常形象和具體,一滴墨是固定的,讓其放在一張紙上,展開的面積越寬,就分得越細,這個“細”字就是微分的意思。同時,李善蘭認為“體面線點”這些元素之間有著相互的聯系,這些元素都是有實體的,只是在其形狀大小上有所不同,并且還指出“點者體之小兒微者也,線者體之長而細者也,面者體之闊而薄者也?！盵4]指出了它們之間可以相互轉變,但是其原來的長度、面積、體積的值是不變的,這種元素就是單位微元,即就是微積分中的微分微元。

2.3 譯著《拾級》中的“微分”一詞

李善蘭和偉烈亞力合譯《拾級》時，二人選用的翻譯底本是美國著名數學家E·羅密士(Elias Loomis，1811—1889)在1851至1852年期間出版的微積分理論方面的經典教材名為Elementsofanalyticalgeometryanddifferentialandintegralcalculus《解析幾何與微積分基礎》[5]。由于當時所處的時代背景,李善蘭之前沒有接觸過西方分析學理論,這次接觸底本也是他初次見識西方系統的分析學理論。在共同翻譯的過程中,李善蘭把底本中原來的術語“analytical geometry”翻譯成為“代”,即在譯著中李善蘭指出的“代數幾何”。這里的“代數幾何”即“解析幾何”,是由笛卡爾、費馬等數學家創立并發展起來的數學分支。它是用代數方法來解決幾何問題的一門幾何學分支。解析幾何的誕生,特別是將變量引入數學研究,這就是數學進入了變量數學的時期。把“differential and integral calculus”翻譯成“微積”,二者合在一起即為“微積分”[6]。李善蘭考慮到全書的難易程度,以及學者學習起來很困難,故而把譯者取名為《代微積拾級》,其中的“拾級”,即為“拾級而上”的意思,“拾級”一詞形象地說明了其內容逐漸加難。二人在翻譯時,很正確地表述了“微分”這譯概念。李善蘭在譯著的自序中指出“凡線、面、體皆設為由小漸大,一剎那中所增之積,即微分也。……故積分逐層分之為無數微分,合無數微分仍為積分?！盵7]同時,偉烈亞力也在《拾級》中給的另一個序言中認為“微分不過求變幾何最小變率之較耳?！盵7]李善蘭翻譯數學術語的時候,非常重視中國傳統數學文化,盡量在中國傳統數學思想中去找尋對應的術語并將其改造和擴展[8]。傳統數學中“細”、“微”、“微小”、“窮”、“微分”、“微數”等都是微小的數值,很小的數,是微小的奇零部分,即就是微小的分數,它與近代西方分析學中的“微分”所表達的自變量的無窮小變化量是不相同的。但是,究其思想和本質卻有相近之處。劉徽所說的“微則無形”,就是無窮小變化量,并且與分析學中的“微分”一詞意義更為接近。李善蘭在傳統數學的基礎上繼續發展了這些概念的含義,他在著作《方圓闡幽》給出了無窮小疊加中的微小、微元等,說明李善蘭完全理解了微分的本質,結合傳統數學中的術語含義和自己對微分理論的理解，采用了中國傳統數學理論中的“微分”一詞,賦予其新的含義。同時,通過賦予新的含義后,李善蘭使用的“微分”與近代西方微積分學中的“differential”在本質上是一致的。

3 “積分”一詞的歷史記錄

“積分”一詞在中國傳統數學中很早就有了描述,在《算數書》、《九章算術》和《九章算術注》等傳統數學著作中就有“積分”或與其意義相近的含有“積”字術語的大量描述。同樣,中國傳統數學發展到了清末,李善蘭在其著作《方圓闡幽》中創造了一種“尖錐術”，且給出了幾個微積分公式,明確地給出了“積分”這一概念,并且對“積分”進行了深入的解釋。1859年李善蘭和偉烈亞力合譯《拾級》時,用“積分”翻譯了底本中的“integral” 一詞。從此,傳統數學中的“積分”一詞,衍生為近代西方分析學中的“積分”一詞。

3.1 中國傳統數學中的“積分”一詞

“積分”一詞出現在中國傳統數學中比“微分”一詞較多,《九章算術注》中用到“積分”的地方比“微分”要多。主要是從分數運算、長度、面積和體積的求解等幾個方面來分析?！端銛禃?、《九章算術》等經典傳統數學典籍中都有“少廣術”。其中在《算數書》、《九章算術》中的“少廣術”都一致使用了“積分”這一術語。在《算數書》中有這樣的表述“先直廣,……下有若干步,……積分以盡所救分同之以為法,……以為積步,除積步如法得從一步。……以法命其分。”[3]而在《九章算術》中的描述為“置全步及分母子,……并之為法。置所求步數,以全步積分乘之為實。”[3]這里的“積分”就是所有的分之積。在《九章算術注》的商功章李也有這樣的描述“假令以三除周,……通分內子,即為徑之積分?！钭猿?以高乘之,為三方錐之積分?！盵3]然而,這里的兩個“積分”其表示的意義卻是不同的,其中,第一個“積分”的意義與《九章算術》的“積分”意思相同,都是表示長度的分之積。即微元之求和的運算,并且得到一個值。第二個“積分”則是關于體積的求和運算及其獲得的數值。雖然在《九章算術》開方術中沒有使用“積分”這一術語,但是劉徽在對其進行注釋的過程中大量用到“積分”這一術語,如有“術或有以借算加定法而命分者,……凡開積為方,方之自乘當還復其積分。令不加借算而命分,……則又微多?！盵3]《九章算術注》中還有“……令二出門相乘,故為半方邑自乘,居一隅之積分?！吹盟挠缰e分?！盵3]可以看出這里的“積分”也是面積分數的積累。雖然《九章算術》中沒有出現“積分”這一術語,但是,其中大量出現了諸如“積”、“積步”、“積里”和“積尺”等概念。如果要深刻地理解《九章算術注》中“積分”的內涵,那么可以進一步分析與“積分”同類的“積”、“積步”、“積里”和“積尺”等概念。在《九章算術》原始文獻中“積步”也多次出現,其中有一系列的表述“廣從步數相乘得積步?！胫馨霃较喑说梅e步?！詮匠酥?為積步?！富コ俗?通全步,內分子。……徑亦通分內子,以乘周為密實?！疄榉e步,余,積步之分?！盵3]劉徽在注釋時指出“按半廣乘從,以取中平之數,故廣從相乘為積步?！霃綖閺V,故廣從相乘為積步也。……母互乘子者,為中、外周俱有分,故以互乘齊其子?！柿钪堋椒帜赶喑硕B除之,即得積步?！盵3]劉徽在少廣術的注釋中認為“一畝積步為實”。在《九章算術》中,還使用了“積里”這一概念。方田章有“廣從里數相乘得積里”。 劉徽《九章算術注》又指出“此術廣從里數相乘得積里。”該“積里”概念就是平方里的積累。與積步類似,都是面積問題中的。在《九章算術》計算體積問題中沒有使用“積分”,而在《九章算術注》商功章關于體積問題中卻使用了術語“積分”?！凹倭钊s上下周,俱不盡,還通之,……又各自乘,并,以高乘之,為三方亭之積分。”[3]《九章算術》及劉徽的《九章算術注》中出現了“積尺’一詞還多,比如還有“……置積尺數。并上下廣而半之,……又以裹乘之,即積尺?！昧嵵e,故為積尺?！苑e尺為實,程功尺數為法?！テ湮宸种?余為法。以溝積尺為實。……以塹積尺為實。實如法而一,即用徒人數。……取其定功,乃通分內子以為法。以分母乘積尺為實者?！苑帜赋藴戏e尺實者,法里有分,實里通之,……此以一人之積尺除其眾尺,故用徒人數不盡者,等數約之而命分也。……故三而一,得積尺。”[3]等關于“積尺”這一概念的一系列表述。數學史專家郭書春先生曾對中國古代傳統數學中的“積”、“積步”、“積尺”、“積里”、“積分”等名詞進行了統計。中國古代傳統數學著作中的“積”、“積尺”、“積步”、“積分”等表示的是尺或立方尺的積累,是平方步的積累,具有更小的分數單位的分數的積累,這與近代西方微積分學中的“積分”也有所不同,但,都表示了一種積累,就是一種求和的方法運算,故在數學思想上也是一致的。

3.2 李善蘭著作中的“積分”一詞

在繼承中國傳統數學的基礎上,李善蘭在無限求和方面進一步做出了深入的研究,并且獲得了一系列成果。李善蘭在繼承前人的基礎上于1845年撰寫出經典著作《方圓闡幽》,該著作深入地研究了無限分割與求和的理論。在這著作中,他認為一個平面所圍成的面積是由無數的線段疊加而得到,體積是由無數的平面疊加而得到。其核心思想的描述為“盈尺之書由迭紙而得,盈丈之絹由積絲而成”。這中間的“積”字,就是積累的意思,就是求和運算。李善蘭認為,“點線面體”這四者都是有形的和具體的，只是其形狀大小不同而已。李善蘭在該著作中主要創立了一種分割求和的極限方法，名為“尖錐術”,并且通過尖錐術得到了冪函數積分公式。他提出的無窮疊加理論,又把極限思想與其結合起來,得到求積分,這與西方微積分早期時候的做法是相同的。在李善蘭在《方圓闡幽》中得出幾個積分公式,如冪函數的積分公式:

同時,李善蘭還給出了逐項積分公式:

李善蘭的《方圓闡幽》中的十個“當知”實際上是給極限一個全面的定義,通過這個定義獲得了一些微積分結論。

3.3 譯著《拾級》中的“積分”一詞

李善蘭在和偉烈亞力在翻譯時,正確地表述了“積分”這一概念。李善蘭在譯著自序中指出，“凡線、面、體皆設為由小漸大,一剎那中所增之積即微分也。其全積即積分也。故積分逐層分之為無數微分,合無數微分仍為積分。”[7]同時,偉烈亞力在序言中認為，“微分不過求變幾何最小變率之較耳,積分者,合無數微分全之積也?！盵7]二人不僅說出了積分是求和的概念,還說明了“積分”和“微分”之間的關系。即積分可以無窮分割成為無窮多的無窮小,這些無窮多的無窮小就是微分,而無窮多無窮分割的無窮小之和就是積分，即就是偉烈亞力指出的“積分者,合無數微分全之積也?！盵7]分析學理論中,積分的最基本思想就是無窮的求和運算,將需要所求量無窮多地分割下去,通過建立數學關系式,再把這些所謂的“小部分”合起來,最后求和運算。實際上,integral在英語中就含有“整個”的意思,那么無窮多的“小部分”,再求和運算,得到的就是一個“整個”。李善蘭不僅是對中國傳統數學中的“求和”理論非常熟悉,同時,他還繼承和發展了中國傳統數學中的這個“小部分”,所以他選用傳統數學中的術語“微分”一詞翻譯“integral”。可見,李善蘭也是賦予了傳統數學中“積分”一詞新的含義。同時,通過賦予新的含義后,李善蘭使用的“積分”與微積分學中的“integral”在本質上是一致的。

4 “微分”和“積分”二術語的影響

李善蘭把譯名應用到了微積分理論的運算和表述中,這能看出李善蘭對微積分的徹底理解,只有在這種深入理解和研究的基礎上,才能做出這種表示方法。這些表述方法都非常形象和生動地表達其本意,也利于時人理解微積分理論。李善蘭的“微分”和“積分”二術語隨著《拾級》傳到了日本,對日本的微積分理論有著一定的影響[12]。李善蘭的“微分”和“積分”二術語在李善蘭之后的清末微積分著作中,一直被采用，并延續使用至今?？梢哉f,“微分”和“積分”二術語是李善蘭翻譯西方科學著作中非常有科學性和文化氛圍的兩個名詞術語,他與李善蘭自身在微積分理論方面的貢獻密不可分[13]。從翻譯史的角度來看,這是李善蘭創譯近代西方科學名詞術語的代表性成果。

5 李善蘭翻譯術語的貢獻

李善蘭的翻譯活動正處于西方科學傳入我國的高潮時期,而他又是這個高潮時期的集大成者[14]。正如當代翻譯學專家許鈞指出，如果要進行一項翻譯活動,其中一定離不開與翻譯活動相關的三個要素：第一是翻譯的客體,即被翻譯的對象和載體;第二是翻譯的主體,即從事翻譯活動的人;第三是作用于主體和客體之間的翻譯工具。其中特別需要指出的是，唯一能作用于翻譯客體和翻譯主體之間的就是人的思維,人的思維在翻譯活動中有著重要的作用,這就是說翻譯的主體通過借助于人的思維作用于翻譯客體從而來進行翻譯活動的[15]。可見李善蘭的翻譯無疑是思維的活動,而且這種思想更多的是科學思維。李善蘭在數學理論上有著較高的科學思維,正是因為這種高層次的思維促進了他的翻譯活動。這也使得李善蘭的翻譯活動不再停留在語義層次上,而變成一種學術活動。這就符合了翻譯的規律,即人的思維活動是整個翻譯活動的最為基礎的層次,而對于語義層次則是整個翻譯活動的必要層次,即必不可少的的過程,這二者是充分和必要的邏輯關系,不能沒有基礎層次,更不能沒有必要層次。同時,這兩個層次的活動都要受到思維規律,即人的思想活動,以及語言規律和言語規律的約束,即要符合語言翻譯的本身特點和性質。只有這樣兼顧二層次,才能共同完成一項翻譯活動[15]。也有當代學者認為這一時期的翻譯方式已經發生了變化,由“洋譯華述”逐漸過渡到“漢人自主翻譯”的模式了。其中涌現出像李善蘭、王韜(1828—1897)、徐壽(1818—1884)、華蘅芳(1833—1902)、徐建寅(1845—1901)等杰出翻譯家[16]。當然,這一時期的翻譯,中國學者不再是被動的接受,而是主動地參與翻譯活動中[17]。李善蘭翻譯“微分”和“積分”二術語,其準確性可以看出,他認可了中西方對微積分理論的貢獻。微積分理論的傳入就是要讓國人在了解“歸納邏輯體系”的基礎上,又要懂得西方的演繹“邏輯思維模式”[18]。同時,李善蘭結合中國古代傳統數學思想,深刻理解了近代西方微積分理論后,進行創譯微積分的術語,這是很科學的,符合科學的本質特征。正如當代學者所說，“翻譯家及其譯著的影響,既是歷史的,同時也是現實的。這對國家、社會、乃至個人的影響無處不在,科學技術、文學藝術等無不受外來影響。[16]”李善蘭的翻譯活動及其譯著,影響著清末的科學研究和科學教育,并且一直影響到當代。其中特別有利于清末數學研究者職業化的培養,以及數學專業化人才的培養[19]。同時,加快了我國數學的西化和近代化的進程[20]。今天的中學教育中有微積分,大學教育中有微積分。可以說“微分”和“積分”這兩個概念幾乎都會深入到每一個公民的心里,然而,當論述了“微分”和“積分”的來龍去脈后,對照分析《拾級》的底本和譯本就會發現，數學家李善蘭翻譯微積分理論時候用了一種科學思維的術語翻譯模式[21]。同時,從科學傳播史的角度來說,既獲得了更多的中國傳統科學文化知識,又是對中國傳統科學文明的傳承和發展。

6 結 語

縱觀“微分”和“積分”二概念的演變歷史,從中國古代傳統數學中的“無限”、“無形”、“無窮”、“微”、“細”、“ 少”、“分”、“窮”、“分割”、“微分”等和中國古代傳統數學中的“積”、“積步”、“積尺”、“積里”、“積分”等到李善蘭著作《方圓闡幽》中的“微分”和“積分”概念,最后再到《拾級》中分析學理論下的“微分”和“積分”二術語，可以看出，“微分”和“積分”首先從中國古代傳統數學中與之意義相近的詞語演變而來,在傳統數學中于是出現了“微分”和“積分”二術語,到了清末,李善蘭繼承了中國古代的極限理論,沿用了“微分”和“積分”二術語,還得到了幾個微積分公式,可以說到這時的“微分”和“積分”二術語要接近分析理論下的“微分”和“積分”二術語的數學含義。到了《拾級》中的譯名“微分”和“積分”則是完全表示分析下的數學概念,與之對應的是“differential”和“integral”。李善蘭將“微分”和“積分”二術語的傳統含義進行外擴,賦予其新的數學含義,即從樸素的極限思想到其著作中的分割求和的極限思想,再到分析學下的無窮小運算的思想,使之與近代西方數學中的數學本意相吻合，擴大了“微分”和“積分”的外延與內涵,從而得到科學的譯名。其中，尋找適當的漢字及其偏旁來表示數學運算及符號。李善蘭采用“微”字的雙人旁“ㄔ”來表示微分符號,和用“積”字的偏旁“禾”來表示積分符號。這兩個符號不僅恰到好處地表示出了積分的運算,還進一步反映出了微積分的本質。“微分”和“積分”二術語從中國古代一直到1859年,表示的是傳統數學中的分割與求和,而“微分”和“積分”二譯名,從1859年后,則表示的是西方分析學理論中的函數的無窮小分割與求和,是函數的無窮小運算,即函數的微分和積分,并且到至今仍然一直被采用,可以得出其創譯的科學性,同時也是譯名創造的典范。