基于交易成本和紅利的歐式期權二叉樹模型及算法

任芳玲，蔣登智

(延安大學數學與計算機科學學院， 陜西 延安 716000)

期權，意為選擇權，近年來已成為金融市場最重要的衍生產品，以其靈活多變性備受投資者青睞，因此,有關期權定價問題的模型和方法探討就成為數理金融領域的熱點問題之一。期權定價的常用方法包括B-S期權定價模型和數值計算模型，其中B-S期權定價模型雖有優點，但其復雜的微分方程推導過程難以為金融務實者接受。在數值計算模型中，最為突出的即為二叉樹模型，此模型在1979年由Cox等[1]提出，給出了一種簡單的離散時間下的期權定價方法，被稱為Cox-Ross-Rubinstein二項式期權定價模型，由于其簡單直觀的構造，不僅可以為歐式期權定價，也可為美式期權定價，應用相當廣泛，現已成為期權定價的基本方法之一。

然而，隨著經典B-S期權定價模型在實際金融市場中的不斷檢驗和修正，基本的二叉樹模型已不能很好地解決相關問題的數值計算，所以許多學者對此問題進行了進一步研究，張鐵[2]給出了二叉樹模型參數的不同確定方法，劉洪久等[3-4]給出了不確定、隨機條件下二叉樹期權定價模型，Han等[5-7]都對二叉樹模型的參數值進行了估計。Muzzioli等[8]給出了股票價格的行為模式在分數布朗運動下的分數二叉樹模型。然而交易成本和紅利已經作為常用修正參數被引入到實際金融市場中，但關于此方面的數值計算方法并不多見，萬成高等[9]曾將二叉樹模型擴展到包含紅利的情況，但很少將交易成本和紅利共同融入二叉樹期權定價模型中。

本文在前人研究的基礎上，從引入紅利率和交易成本比例以及紅利數額和交易成本數額兩種情況出發，在支付一次紅利和一次交易成本的前提下，推導出含有交易成本和紅利的歐式期權的二叉樹圖法，使其更具有實際意義，也解決了修正后的部分歐式期權的定價問題。但由于二叉樹圖法在計算上的復雜性，故而使用起來并不方便，對此許多學者嘗試了矩陣算法[10-11]研究，以此借助于C語言等程序語言[12-13]去實現。本文在引入交易費和紅利的基礎上，利用二叉樹模型以及矩陣算法和MATLAB算法實現，最后通過簡單實例，對文中模型進行應用和檢驗，體現了此方法的優越便捷性。

1 二叉樹期權定價模型

二叉樹期權定價模型是將期權的有效期劃分為若干時間段，在每個時間段內分析期權價格的上下波動情況，從而對有效期內期權定價進行預測的方法。令期權的有效期為[0,T]，將有效期等分為N個長度為Δt的小段，每個時間段為

二叉樹期權定價模型是一種特殊的二叉樹，即該二叉樹共有N層，根結點(0時刻)表示原始股票價格S；第iΔt(1≤i≤N)時刻，即第i層中共有i+1個結點，其第j(0≤j≤i)個點(i,j)表示iΔt時刻股票的一個可能價格，即

Si,j=Sujdi-j，

據此可將期權在有效期內的價格波動情況用圖1所示的二叉樹表示。

圖1 期權定價的二叉樹圖Fig.1 Binomial tree diagram of option pricing

現在考慮一個不支付紅利和交易費用的歐式看跌期權，fi,j表示iΔt時第j個結點的歐式期權價值。那么在期權的到期日T，歐式看跌期權的價值為

fN,j=max(X-SujdN-j,0)，j=0,1,2,…,N，

(1)

其中，X為到期日期權的執行價格。

從結點(i,j)向(i+1)Δt時的結點(i+1,j+1)移動的概率為p，而移動到結點(i+1,j)的概率為1-p。在期權不提前執行的情況下，根據風險中性定價公式有:

fi,j=e-rΔt[pfi+1,j+1+(1-p)fi+1,j]，

(2)

其中0≤i≤N-1，0≤j≤i。

在期權價格公式(1)、(2)中，普遍使用的二叉樹模型參數為[10]：

(3)

2 已知紅利率和交易成本收取比例下二叉樹模型的建立及算法

假設在期權有效期期間支付的紅利數量和支付時刻可以確定地預測，在股權除息這一時間點，股票價格將下降，下降幅度是每股支付的紅利的數量。為了便于討論，“紅利”一詞指在除息日由于支付紅利而導致的股票價格下降的減少量;交易成本可以看作是投資者因買賣股票而產生的直接費用，一般由股票多頭支付，假設交易費以交易額的固定比例k來收取。同樣假設在期權有效期內支付的交易成本數量和支付時刻也是可以確定地預測，在股權除息這一時點，股票價格將上升，上升幅度是每股支付的交易成本的數量。在這里需要注意的是，由于存在紅利和交易成本，會引起股票價格的浮動。根據現實交易規律，由交易成本引起的股票價格上升的幅度要比紅利引起的股票價格下降的幅度小。

假設在未來某一確定時間將支付一次紅利和交易成本，二叉樹圖的形狀如圖2所示，分析方法與剛才描述的方法類似。如果時刻iΔt在除息日之前，則樹圖上這些結點相應的股票價格為:Sujdi-j，j=0,1,2,…,i。其中u和d與(3)式中的定義相同。

圖2 支付已知紅利率和交易成本比例的股票的二叉樹圖Fig.2 Stock’s binomial tree diagram of known dividend rate and transaction costs ratio

如果時刻iΔt在除息日之后，則樹圖上這些結點的股票價格為:

S(1-δ+k)ujdi-j，j=0,1,…,i，

其中，δ是紅利率，如果在期權有效期內有多個已知紅利率時，可以進行同樣處理。若δi為0時刻之間所有除息日的總紅利支付率，則iΔt時刻結點的相應的股票價格為:

S(1-δi+k)ujdi-j，j=0,1,…,i。

對上述模型利用矩陣形式計算可得如下定理1：

定理1 設按已知紅利率δ支付一次紅利，且按交易額的固定比例k收取一次交易成本的歐式期權在tN時刻期權的N+1種可能價值分別為

fN,1,fN,2,…,fN,N+1。

令行矩陣F=(fN,1,fN,2,…,fN,N+1)，并設N+1階下三角矩陣

則在當前時刻t0期權的價值

fN,j=max(S(1-δ+k)ujdN-j-X,0)，j=0,1,2,…,N。

若期權為看跌期權，則

fN,j=max(X-S(1-δ+k)ujdN-j,0)，j=0,1,2,…,N。

證明：由二叉樹方法易知tN-1時刻在結點(N-1,1)處的期權價值為

fN-1,1=e-rΔt[pfN,1+(1-p)fN,2]=e-rΔt(fN,1,fN,2,…,fN,N+1)(p,1-p,0,…,0)T。

而在結點(N-1,2)處的期權價值為

fN-1,2=e-rΔt[pfN,2+(1-p)fN,3]=e-rΔt(fN,1,fN,2,…,fN,N+1)(0,p,1-p,0,…,0)T。

依此類推知在結點(N-1,N)處的期權價值為

fN-1,N=e-rΔt[pfN,N+(1-p)fN,N+1]=e-rΔt(fN,1,fN,2,…,fN,N+1)(0,0,…,p,1-p,)T。

即有

(fN-1,1,fN-1,2,…,fN-1,N,0)=e-rΔtFG。

再考慮tN-2時刻，對于j=1,2,…,N-1在結點(N-2,j)處期權的價值應為

fN-2,j=e-rΔt[pfN-1,j+(1-p)fN-1,j+1]

=e-rΔt(fN-1,1,fN-1,2,…,fN-1,N,0)(0,…,p,1-p,0,…,0)T。

結合式( 1) 有

(fN-2,1,fN-2,2,…,fN-2,N-1,*,0)=e-rΔt(fN-1,1,fN-1,2,…,fN-1,N,0)G=e-2rΔtFG2。

繼續下去可得(f0,*,…,*,0)=e-NrΔtFGN。

以上證明過程中出現的*表示一些不在我們考慮范圍內的實數，事實上容易知道

fN,1,fN,2,…,fN,N+1，

可由公式fN,j=max(S(1-δ+k)ujdN-j-X,0)確定;若所考慮的期權為歐式看跌期權，則F由公式fN,j=max(X-S(1-δ+k)ujdN-j,0)確定。

定理1是在假設只支付一次紅利和收取一次交易成本的情況下給出的，如果在期權的有效期內按已知紅利率δ支付多次紅利的話，只需按支付紅利的次數計算出新的fN,j即可。

根據二叉樹期權定價模型和上述矩陣算法，可以編寫出存在紅利率和交易成本比例的歐式看漲期權價格的MATLAB程序如下：

function[price，lattice]=latticeecall(S，X，r，q，k，T，sigma，N)

deltaT=T/N;u=exp(sigma*sqrt(deltaT));d=1/u;

p=(exp((r-q)*deltaT)-d)/(u-d);lattice=zeros(N+1，N+1);

for j =0:N

lattice(N+1，j+1)=max(0，S*(1-q+k)*(u^j)*(d^(N-j))-X);

end

for i =N-1:-1:0

for j=0:i

lattice(i+1，j+1)=exp(-r*deltaT)*(p*lattice(i+2，j+2)+(1-p)*lattice(i+2，j+1));

end

end

price=lattice(1，1);

注：為了方便書寫，此程序中的紅利率用q表示。

3 已知紅利數額和交易成本數額下二叉樹模型的建立及算法

若事先已知紅利數額和交易成本數額。假設股票的標準差σ是常數，則二叉樹圖的形狀如圖3所示。樹枝不再重合，這意味著如果股票支付多次紅利，所要估算的結點的數量可能變得很大。假如只有一次紅利和交易成本。除息日τ在lΔt到(l+1)Δt之間，而且紅利數額為D，交易成本數額為H。當i≤l，在iΔt時刻，樹圖中結點對應的股票價格為:

Sujdi-j，j=0,1,2,…,i。

與原來一樣，當i=l+1時，樹圖中結點對應的股票價格為:

Sujdi-j-D+H，j=0,1,2,…,i。

當i=l+2時，樹圖中結點對應的股票價格為:

(Sujdi-1-j-D+H)u和 (Sujdi-1-j-D+H)d，

其中j=0,1,2,…,i-1，因此將有2i而不是i+1個結點。在(l+m)Δt時刻，將有m(l+1)個而不是l+m+1個結點。

圖3 已知紅利數額和交易成本數額的二叉樹圖Fig.3 Binomial tree diagram of known bonus amount and transaction costs amount

假設股票價格由兩部分組成:一部分是不確定的，而另一部分是期權有效期內所有未來紅利和交易成本的現值。同樣假設在期權有效期內只有一個除息日τ，而且lΔt≤τ≤(l+1)Δt。在iΔt時刻，股價不確定部分的價值S*為:

S*=S，iΔt>τ，

S*=S-(D-H)e-r(τ-iΔt)，iΔt≤τ。

設σ*為S*的標準差，假設σ*(而不是σ，一般來說，σ*>σ)是常數。用σ*代替(3)式中的σ可計算出參數p、u和d，這樣就可用通常的方法構造模擬S*的二叉樹圖了。通過把未來紅利和交易成本的現值加在每個結點的股票價格上，就會使原來的二叉樹圖轉化為另一個模擬S的二叉樹圖。在iΔt時刻，當iΔt≤τ時，這個樹圖上的結點所對應的股票價格為:

S*ujdi-j+(D-H)e-r(τ-iΔt)，j=0,1,2,…,i。

當iΔt>τ時，這個樹圖上的結點所對應的股票價格為:

S*ujdi-j，j=0,1,2,…,i。

該方法成功地恢復了樹枝重合的狀態，這樣在iΔt時刻就只有i+1個結點了。此方法可以推廣到處理多個紅利的情況。

根據以上方法，我們可以恢復樹枝重合的狀態，而且這種方法還可以直接推廣到處理支付多次紅利和交易成本的情況。最為重要的是，由于樹枝的重合，我們僅須對定理1做適當修正， 就可以得出以下針對按已知紅利數額支付紅利，和按已知交易成本數額收取交易成本的歐式期權的二叉樹模型的矩陣形式算法。

定理2 設按已知紅利數額D支付一次紅利，按已知交易成本數額H收取一次交易成本的歐式期權在tN時刻期權的N+1 種可能價值分別為

fN,1,fN,2,…,fN,N+1。

行矩陣F和N+1階下三角矩陣G定義與定理1相同，則在當前時刻t0期權的價值

若期權為看跌期權，則

根據二叉樹期權定價模型和上述矩陣算法，可以編寫出存在紅利數額和交易成本數額的歐式看漲期權價格的MATLAB程序如下：

function[price，lattice]=latticeecall2(S，X，r，D，H，T，τ，sigma，N)

deltaT=T/N;u=exp(sigma*sqrt(deltaT));d=1/u;

p=(exp((r-q)*deltaT)-d)/(u-d);lattice=zeros(N+1，N+1);

(d^(N-j))+(D-H)exp(-r(τ-i*deltaT))*((i*deltaT)<=τ)

for j=0:N

end

for i =N-1:-1:0

for j=0:i

lattice(i+1，j+1)=exp(-r*deltaT)*(p*lattice(i+2，j+2)+(1-p)*lattice(i+2，j+1));

end

end

price=lattice(1，1);

4 實例驗證

例1:考慮一個有效期為5個月的股票看跌期權，預計在期權有效期內該股票支付一次$2.06紅利和收到$2.06交易成本。初始的股票價格是$50，執行價格是$50，無風險利率為每年10%，波動率為每年40%，除息日是在三個半月的那天。

用我們通常的符號是S=50，X=50，r=0.10，σ=0.40，T=0.416 7。為了構造一個二叉樹，假設我們把期權的有效期分成5個時間段，每段長1個月(0.083 3年)，則Δt=0.083 3。運用(3)式可得:

我們首先構造一個樹圖(如圖4)來模擬S*，S*為股票價格減去期權有效期內未來紅利的現值，再加上期權有效期內未來交易成本的現值。首先，紅利的現值是:2.06e-0.2917×0.1=2.00，交易成本的現值是:2.06e-0.2917×0.1=2.00。

因此S*的初始值為$52，假設S*的波動率為每年40%，則圖4給出了一個S*的二叉樹圖。每個結點上價格上升的概率是0.507 6，下降的概率是0.492 4。按通常的方法向后推導就可得到期權的價格是$4.43。

圖4 例1中期權定價的二叉樹圖Fig.4 Binomial tree diagram of option pricing in Example 1

例2：已知一個5個月期的歐式看漲期權，期權是在布朗運動作用下，設股票初始價格為50元，執行價格為50元，無風險利率為每年10%，股票價格波動率為每年40%，交易費比例為2%，時間步長為一個月，考慮連續支付紅利，紅利率為10%，計算歐式看漲期權價格c。

解：已知S=50,X=50,T=5/12,r=0.1,σ=0.4,k=0.02,q=0.1,δt=1/12。

根據本文編寫程序，調用函數c=latticeecall(50，50，0.1，0.1，0，0.4，0.02，1/12，5/12，5)，可得歐式看漲期權價格為c=5.799 3。

5 結論

本文構造的新型二叉樹模型既克服了原有二叉樹無交易成本模型的缺點，又有很高的計算精度，且可以利用矩陣算法和MARTLAB算法方便解出，可應用于各種美式期權的定價。該模型還可推廣到三叉樹等更高階的樹圖中。