移動荷載作用下離散支承浮置板軌道振動響應研究

黃 強，黃宏偉，張冬梅

(1.同濟大學 土木工程學院地建下筑與工程系，上海 200092；2.同濟大學 巖土及地下工程教育部重點實驗室，上海 200092)

隨著城市軌道交通快速發展，地鐵運行產生的環境振動和噪聲問題也引起人們的普遍關注[1-5]，如歐盟實施了CONVURT項目，旨在對地下列車運行引起的環境振動問題進行研究。地鐵運行產生的振動和噪聲不僅對人們生活和工作環境產生影響，而且還可以通過地層向外傳播，誘發地面建(構)筑物的二次振動[6]。目前，這一問題已成為國際公認的七大環境公害之一[7]。

浮置板軌道作為一種減振的軌道形式，目前已廣泛用于城市軌道交通線路之中[8-11]。最早英國學者Grootenhuis討論了幾種用于隔絕軌道交通振動向外傳播的浮置板結構；Cui[12]以新加坡地鐵為例，對比了浮置板軌道和整體式軌道鋼軌扣件內力差異，證明浮置板軌道確實具有較好的減振效果。在浮置板軌道計算方面，Hussein等[13]將浮置板軌道等效為雙層Euler長梁，推導了連續支承浮置板軌道振動響應解析解；隨后Hussein等[14-15]進一步分析了浮置板為離散的情況，浮置板被視作獨立的短梁，研究認為浮置板長度增加會使得軌道的剛度增加，產生更復雜振動響應特征；Yuan等[16]也采用文獻[13]的雙長梁模型分析了浮置板軌道的振動特性，研究認為增加浮置板質量可以提高隔振頻率但對改進減振效果不大，增加浮置板支承阻尼和降低其剛度可以提高減振的有效性。Kuo等[17]考慮了車輛與浮置板軌道相互作用，將浮置板軌道視為離散支承的長梁-短梁模型，研究認為低的浮置板支承剛度可以降低軌道振動但會引起大的鋼軌撓度，較剛的鋼軌扣件和較軟的浮置板支承是一種合理的搭配方式。另外，Li等[18]根據浮置板長度的不同，提出了三種浮置板軌道模型，分別將浮置板等效為質量塊、長梁和短梁，采用傳遞函數法比較了三種浮置板模型在簡諧振動荷載下的響應差異，研究認為當浮置板長度小于1.8 m時，可以等效為質量塊，在1.8～36 m時，應等效為有限長自由梁，大于36 m時，可以等效為長梁。

實際工程中，浮置板的長度并不一致，從不到1米到十幾米甚至幾十米都有使用，因而對浮置板軌道簡化各異，如單梁模型，鋼軌簡化為長梁，而浮置板簡化為連續質量層，適合預制的短型浮置板；雙梁模型，將鋼軌和浮置板都視為長梁，適合現場澆筑的浮置板；短梁模型，將每塊浮置板均視為有限長度的自由梁。盡管各簡化模型都具有一定的適用性，但對于其振動響應的差異目前的研究不夠，評價的方法也不相同。另外，已有的研究多考慮浮置板連續支承的情況，對離散支承情況分析較少，離散支承浮置板的響應更為復雜，有必要針對離散支承浮置板軌道響應進行分析。本文采用模態疊加法，并結合Runger-Kutta法對不同浮置板軌道振動響應進行對比，分析浮置板長度的影響，最終對浮置板軌道模型選擇和減振給出建議，為進一步研究奠定基礎。

1 不同浮置板軌道模型解答

參照文獻[18],根據浮置板長度的不同，將浮置板簡化為質量塊、長梁或離散短梁，可以得到三種浮置板軌道模型，分別為長梁-質量塊模型、雙長梁模型和長梁-短梁模型。通過分析浮置板長度的影響，找出浮置板軌道的臨界長度，為今后浮置板軌道模型的選擇提供參考。

1.1 長梁-質量塊模型

當浮置板長度較短時，可將浮置板視為質量塊，此時浮置板軌道簡化為長梁-質量塊模型，如圖1所示。鋼軌為離散支承的無限長Euler-Bernoulli梁，抗彎剛度E1I1，N·m2；單位長度質量為m1，kg/m；浮置板單位長度質量為m2，kg/m；鋼軌扣件和浮置板支承簡化為彈簧-阻尼器單元，間距都假設為0.6 m，剛度和阻尼分別為k1，k2，N/m2；c1，c2，Ns/m2。

長梁-質量塊模型的振動方程如下

(1)

其中

(2)

式中：w1為鋼軌撓度，w2i為第i個浮置板的位移，共有N個浮置板。

為求解方程(1)，本文采用振型疊加法[19]，將鋼軌的撓度表示如下

(3)

式中：Yk(x)、qk(t)是正則振型函數和時間坐標。對于長梁，其振型函數可以采用簡支梁的正則振型函數，表達式如下

(4)

式中：L0是鋼軌計算長度，m。

經化簡，可將偏微分振動方程變換為二階常微分方程，如下所示

(5)

式(5)可以進一步寫成矩陣方程形式

(6)

式中：X=(q1q2…qnmw21w22…w2N)T。

1.2 雙長梁模型

當浮置板長度較大時，可將浮置板等效為無限長Euler梁，抗彎剛度為E2I2，N·m2。此時浮置板軌道簡化為雙長梁模型，如圖2所示。

圖2 雙長梁模型Fig.2 Double long beam model

雙長梁模型的振動方程如下

(7)

其中

(8)

同樣，采用振型疊加法，鋼軌和浮置板的撓度可表示如下

(9)

兩者的振型函數表達式分別為

(10)

經化簡得到雙長梁模型的常微分振動方程如下

(11)

同樣，式(11)可以寫成式(6)矩陣形式，此時：X=(q1q2…qnmΦ1Φ2…Φnm)T。

1.3 長梁-短梁模型

實際中浮置板為有限長度的自由梁，此時浮置板軌道可簡化為長梁-短梁模型，如圖3所示。

圖3 長梁-短梁模型Fig.3 Long beam-short beam model

長梁-短梁模型的振動方程如下

(12)

其中

(13)

式中：Ls為浮置板的長度，m；w2m為第m個浮置板的撓度，共有n個浮置板；NP為單個浮置板內的扣件或支承數目，N為扣件和支承總數目，N=n×NP。

鋼梁、浮置板的撓度表達式為

(14)

式中：nmr、nms分別為鋼軌和浮置板的模態數目。浮置板為自由梁，參照文獻[20]，其正則振型函數為

Zk(x)=

(15)

式中：系數βk、Ck的取值如表1所示。

表1 短梁振型函數系數Tab.1 Coefficients of mode function of short beam

經化簡得到長梁-短梁模型的常微分振動方程如下

(16)

同樣，式(16)可以寫成矩陣方程形式，此時X=(q1q2…qnmrΦ1…Φ1nmsΦ2…Φ2nmsΦn1…Φnnms)T。

2 振型疊加法模型驗證

利用振型疊加法得到浮置板軌道模型的常微分振動方程組，再利用四階Runger-Kutta法求解得到軌道的振動響應。為了驗證振型疊加法的準確性，以文獻[13]中移動荷載作用下連續支承雙長梁浮置板軌道模型為例，對比振型疊加法和文獻[13]中理論解析結果。驗證模型的軌道參數如表2所示。

表2 浮置板軌道參數Tab.2 Parameters of floating slab track

以鋼軌撓度和扣件內力為例，計算結果如圖4和圖5所示。可以看出，采用振型疊加法得到的鋼軌動力撓度和文獻[13]的理論結果完全一致；鋼軌扣件內力除了局部有所差別外，也與解析解結果完全一致，表明采用振型疊加法來計算浮置板振動響應是合理可靠的。

3 不同浮置板軌道模型計算結果

為分析不同浮置板軌道模型的響應差異，選取實際浮置板軌道參數進行動力響應分析。本文采用文獻[17]臺北軌道交通系統短型浮置板軌道參數，對不同浮置板軌道模型的響應差異以及浮置板的減振特性做進一步分析，軌道參數如表3所示。鋼軌為UIC60鋼軌，鋼軌計算長度及浮置板總長大于100 m，減少鋼軌邊界截斷效應，以滿足不同浮置板長度下的計算要求。經過試算，長梁的模態數為80，短梁的模態數為20時，可以保證計算結果的穩定性。

圖4 鋼軌動力撓度對比Fig.4 Comparison of dynamic deflection of rail

圖5 鋼軌扣件內力對比Fig.5 Comparison of dynamic force of rail pad

表3 浮置板軌道模型計算參數Tab.3 Parameters of floating slab track

3.1 鋼軌和浮置板撓度曲線

三種浮置板軌道模型鋼軌撓度曲線如圖6和7所示。橫坐標距離為離最靠近鋼軌中心扣件的長度，撓度為在荷載不同距離處對最靠近鋼軌中心扣件點和對應浮置板支承的撓度。從圖中可以看出，長梁-質量塊模型的鋼軌撓度和浮置板撓度都最大，而雙長梁模型的撓度則小得多，長梁-短梁模型的撓度則與浮置板長度有關。當浮置板長度為0.6 m時，長梁-短梁模型的撓度和長梁-質量塊模型完全一致，當浮置板長度增加到6 m時，長梁-短梁模型撓度則和雙長梁模型的撓度曲線較為一致，隨著浮置板長度增加，兩者撓度曲線差異逐漸加大。因此，就以本文的軌道參數來說，6 m似乎可以看作是浮置板的一個臨界長度。理論上講，長梁-質量塊模型和雙長梁模型可以視作長梁-短梁模型的兩種極端情況，長梁-短梁的鋼軌撓度幅值應介于兩者之間。因此，從撓度響應差異上看，在選擇浮置板軌道模型時，有必要先確定浮置板的臨界長度。

圖6 鋼軌撓度對比Fig.6 Comparison of rail deflection in three floating slab track models

圖7 浮置板軌撓度對比Fig.7 Comparison of slab deflection in three floating slab track models

3.2 鋼軌扣件和浮置板支承內力

同樣對比不同浮置板軌道模型下鋼軌扣件內力和浮置板支承內力分布，如圖8和圖9所示。可以看出，將長梁-質量塊模型的鋼軌扣件內力最小，而將雙長梁模型得到的鋼軌扣件內力最大。與此相反，浮置板支承內力則和浮置板撓度曲線規律一致，將浮置板等效為質量塊時，浮置板支承內力最大，將浮置板等效為長梁得到的浮置板支承內力最小，長梁-短梁模型的內力計算結果則與長度密切相關。因此，有必要研究浮置板長度的影響，以利于浮置板軌道模型的選擇。

圖8 鋼軌扣件內力Fig.8 Forces in the rail pad in three floating slab track models

圖9 浮置板支承內力Fig.9 Forces in the slab bearing in three floating slab track models

3.3 浮置板長度影響

計算不同浮置板長度下長梁-短梁模型鋼軌撓度曲線，并對比不同浮置板模型的鋼軌撓度和浮置板支承內力，如圖10～12所示。可以看出，隨著浮置板長度的增加，鋼軌撓度會逐漸減少，但下降趨勢減緩，鋼軌撓度峰值開始趨于穩定。從圖11和圖12看出，根據本文軌道參數，6 m是浮置板的臨界長度。當浮置板長度大于6 m時，長梁-短梁模型的鋼軌撓度計算值或浮置板支承內力會降至雙長梁模型之下，這種計算結果理論上是不合理的，造成該結果的原因可能是當浮置板長度較大時，短梁的振型函數已經不再適用，否則會引起較大計算誤差，此時鋼軌與浮置板的相互作用非常近似于兩個長梁的相互作用。本文的軌道參數來說，短梁長度的適用范圍為0～6 m，在此范圍內，應采用長梁-短梁模型進行浮置板軌道的振動響應計算；超過6 m則應采用雙長梁模型；當浮置板長度很小時，如0～0.6 m，可以退化為長梁-短梁模型計算，計算結果誤差很小。

圖10 不同浮置板長度下鋼軌撓度曲線Fig.10 Rail deflections from different lengths of floating slab

圖11 浮置板長度對鋼軌撓度影響Fig.11 Influence of floating slab length on rail deflection

圖12 浮置板長度對浮置板支承內力影響Fig.12 Influence of floating slab length on its inner force

4 浮置板軌道減振特性分析

浮置板軌道的主要目的在于減少列車運行引起的環境振動，其減振原理為減少傳遞至浮置板下臥層的振動荷載。另外，為保證列車行車舒適性，使用浮置板軌道的同時，應該避免浮置板軌道振動引起的鋼軌撓度增加。從圖12結果來看，增加浮置板長度是一個有效手段，但是當浮置板長度超過臨界長度時，其減振提升效果已不明顯。因此，當浮置板長度一定時，改變軌道結構其他參數，如鋼軌扣件剛度、浮置板質量、浮置板抗彎剛度和浮置板襯墊剛度成為可能的手段。本文以Ls=3 m浮置板軌道為例，分別對鋼軌扣件剛度、浮置板質量、浮置板抗彎剛度和浮置板支承剛度的減振效果進行分析，結果如圖13～20所示。

圖13 扣件剛度對鋼軌撓度影響Fig.13 Influence of stiffness of rail pad on rail deflection

圖14 扣件剛度對浮置板襯墊內力的影響Fig.14 Influence of stiffness of rail pad on the force in slab bearing

4.1 鋼軌扣件剛度的影響

鋼軌扣件剛度的影響見圖13和14。從圖中可見，增加鋼軌扣件剛度會顯著減少鋼軌的撓度，同時引起浮置板支承內力的減小，但較對鋼軌撓度的影響效果要小得多。因此，增加鋼軌扣件剛度有利于提高浮置板的減振效果，且有利于提高列車行車舒適性。這與文獻[17]的研究結論相一致。

4.2 浮置板質量的影響

浮置板質量對鋼軌撓度和浮置板襯墊內力的影響如圖15和16所示。假設浮置板質量增加不引起浮置板抗彎剛度改變，圖中可以看出，單純增加浮置板質量會引起鋼軌撓度和浮置板支承內力的增加，但浮置板質量較大時，鋼軌撓度和浮置板支承內力會趨于穩定。因此，可以說，增加浮置板質量不利于改進浮置板的減振效果。這個結論和文獻[16]的有所差異，其原因在于文獻[16]采用的是雙長梁模型，且其考慮的是移動簡諧荷載的情況，所以浮置板質量的效果不明顯。

圖15 浮置板質量對鋼軌撓度影響Fig.15 Influence of slab mass on rail deflection

圖16 浮置板質量對浮置板支承內力影響Fig.16 Influence of slab mass on the force in slab bearing

4.3 浮置板彎曲剛度的影響

當增加浮置板的厚度時，引起的浮置板的抗彎剛度增加較質量增加會更加明顯。圖17和18可以看出，增加浮置板抗彎剛度可以有效地改進浮置板的減振性能，同時減少鋼軌撓度和浮置板支承內力，一定程度上也抵消浮置板質量增加帶來的減振不利影響。因此，增加浮置板抗彎剛度也是提升減振效果和行車舒適性的有效手段。

圖17 浮置板抗彎剛度對鋼軌撓度影響Fig.17 Influence of flexural stiffness of slab on rail deflection

圖18 浮置板抗彎剛度對浮置板支承內力影響Fig.18 Influence of flexural stiffness of slab on the force in slab bearing

4.4 浮置板支承剛度的影響

浮置板通常采用橡膠或鋼彈簧支承，因而浮置板支承剛度對浮置板減振性能有重要的影響，見圖19和20。可以看出，增加浮置板襯墊剛度可以顯著減少鋼軌撓度，但會引起浮置板支承內力顯著增加，引發更大的環境振動。因此，浮置板支承剛度的改變在減振和保證行車舒適性方面是一對矛盾。因此，為改進浮置板的減振效果，有必要適當減少浮置板的支承剛度，而引起的鋼軌撓度增加可由其他軌道參數調整來予以抵消，如增加鋼軌扣件剛度、浮置板抗彎剛度等。

圖19 浮置板支承剛度對鋼軌撓度影響Fig.19 Influence of stiffness of slab bearing on rail deflection

圖20 浮置板支承剛度對其內力影響Fig.20 Influence of stiffness of slab bearing on its inner force

綜上所述，增加鋼軌扣件剛度和浮置板抗彎剛度既可以減少鋼軌撓度又能減少浮置板支承內力；增加浮置板質量則對減振和行車舒適性都不利，增加浮置板支承剛度有利于減少鋼軌撓度卻引起浮置板下臥層荷載增加。因此，除了增加浮置板的長度外，一個切實可行辦法是增加鋼軌扣件剛度、浮置板抗彎剛度，適當減少浮置板支承剛度從而既提升浮置板軌道減振特性又滿足列車行車舒適性的需要。

5 結 論

本文利用振型疊加法得到了三種浮置板軌道模型的解析解答，在利用數值方法得到了浮置板軌道響應結果。比較了軌道模型的振動響應差異，并分析了浮置板軌道的減振特性，得到以下幾個結論：

(1) 長梁-質量塊模型和雙長梁模型是長梁-短梁模型兩種極端情況，實際浮置板軌道響應結果應介于長梁-質量塊模型和雙長梁模型之間。浮置板存在一個臨界長度，當浮置板長度較小時(如0～0.6 m)，可以等效為長梁-質量塊模型；當浮置板長度較大時(如大于臨界長度)，則應等效為雙長梁模型進行計算；否則應等效為長梁-短梁模型。

(2) 當浮置板長度較大時(大于臨界長度)，將浮置板視作短梁會引起計算誤差，此時短梁振型函數已不再適用，浮置板應整體等效為長梁。

(3) 浮置板軌道減振的改進方法是增加浮置板長度、增加鋼軌扣件剛度、增加浮置板抗彎剛度同時適當減小浮置板支承剛度，這樣既能保證列車行車舒適性又能減少傳遞至浮置板下臥層的振動荷載，從而減少地鐵運行所引起的環境振動。