一維定態(tài)諧振子的數(shù)值解法及MATLAB指令

摘 要：本文利用數(shù)值解法算出一維定態(tài)諧振子的前九個(gè)能級(jí)的波函數(shù)，并給出一個(gè)大學(xué)階段容易理解的MATLAB指令。其結(jié)果與常用的理論法結(jié)果相比較，得出了一致的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：諧振子；定態(tài)；數(shù)值解法

中圖分類號(hào)：O413.1；TP311.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2096-4706（2018）08-0100-02

Abstract：The wave functions of the first nine energy levels of one-dimensional stationary harmonic oscillator are calculated by numerical method，and a MATLAB instruction which is easy to understand in the university stage is given. The result is consistent with the commonly used theoretical results，and draws a consistent conclusion.

Keywords：harmonic oscillator；stationary state；cumerical solution

0 引 言

在自然界中，廣泛存在諧振運(yùn)動(dòng)。任何體系在平衡位置附近的微小震動(dòng)，例如分子的震動(dòng)、晶格的震動(dòng)、原子核表面的震動(dòng)以及輻射場(chǎng)的震動(dòng)等，在選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)后，常常可以分解為若干彼此獨(dú)立的一維諧震動(dòng)。諧振動(dòng)往往作為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的初步近似，在其基礎(chǔ)上進(jìn)行各種改進(jìn)。所以諧振子運(yùn)動(dòng)的研究，無論在理論上或在應(yīng)用上，都是很重要的。同時(shí)一維定態(tài)諧振子問題也是初等量子力學(xué)的重要問題，是進(jìn)行量子力學(xué)的必要問題。

MATLAB是一個(gè)功能強(qiáng)大，界面友好的數(shù)學(xué)軟件，也稱之為科學(xué)技術(shù)計(jì)算機(jī)語言。在當(dāng)今理論、實(shí)驗(yàn)、和科學(xué)計(jì)算已經(jīng)在物理研究中三足鼎立的時(shí)代，不會(huì)使用計(jì)算機(jī)計(jì)算，必有諸多不便之處。

由于大多數(shù)課本都提供了一維定態(tài)諧振子的理論求解過程，所以本文提供了一種數(shù)值解法和相應(yīng)的MATLAB指令。

1 數(shù)值計(jì)算

由于量子力學(xué)中很多問題用理論方法難以求出解析解，所以利用計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的計(jì)算功能和數(shù)值方法求解量子力學(xué)問題就成為了一個(gè)重要的求解手段，同時(shí)該方法對(duì)諧振子的研究也具有重要的意義。一般情況可以采用打靶法[1]，打靶法求解本征值問題的做法分為以下幾個(gè)步驟：先嘗試一個(gè)本征值，然后將微分方程作為初值問題求解。如果所得的解不滿足邊界條件，就改變嘗試本征值，再解方程，重復(fù)這個(gè)過程，直到找到一個(gè)本征值，在這個(gè)本征值下生成的解和邊界條件的誤差小于容許誤差。

本文利用ode45指令來求解方程。一維定態(tài)諧振子的薛定諤方程為：

為了方便數(shù)值計(jì)算，將方程變換為：

取：

現(xiàn)在用一個(gè)初始的試驗(yàn)?zāi)芰浚芰坎介L和A值對(duì)若干態(tài)進(jìn)行搜尋。MATLAB指令用法在大多數(shù)教科書中都詳盡地介紹過，這里就不再解釋每一個(gè)指令的意義，直接給出一個(gè)MATLAB程序：

function Untitled3

global e1

n=9； eold=-1； olddpsi=0.5； ab=1e-7；

for k=1：n

de=2*ab； e1=eold+abs（eold）/70；

while abs（de）>ab

xturn=-sqrt（2*（e1+1））； kk=（-1）^（k+1）*0.0001；

[x1，u1]=ode45（@untitled3fun，[-1 xturn]，[0 kk]）；

[x2，u2]=ode45（@untitled3fun，[1 xturn]，[0 -0.0001]）；

dpsi=u1（length（x1），2）-u2（length（x2），2）；

de=-dpsi*de/（dpsi-olddpsi）；

olddpsi=dpsi； eold=e1； e1=e1+de；

end

e（k）=eold；

subplot（3，3，k）；plot（x1，u1（：，1），x2，u2（：，1））

end

e

diff（e）

function ydot=untitled3fun（x，psi）

待求解的方程

global e1

ydot=[psi（2）；50^2*（-e1-1+x^2/2）*psi（1）]；

得出

2 一維定態(tài)諧振子的理論解法

根據(jù)量子力學(xué)教材[2]給出一維定態(tài)諧振子的理論求解過程：

這就是一維定態(tài)諧振子的能量本征值，可以看出諧振子能級(jí)間隔是相等的，相鄰能級(jí)間距為。

式（7）的解是hermite多項(xiàng)式Hn（ξ）。所以容易證明，歸一化一維定態(tài)諧振子的波函數(shù)為：

式（11）為波函數(shù)歸一化條件所得出的歸一化常數(shù)。

帶入n值，并列出前四條能級(jí)上的諧振子能量本征函數(shù)：

畫出圖發(fā)現(xiàn)，與數(shù)值解法得出的波函數(shù)一致。

3 結(jié) 論

用數(shù)值解法得出的一維定態(tài)諧振子得出的波函數(shù)與能量間隔與普遍的理論相比較得出了一致的結(jié)論。共同表明了在量子效應(yīng)下諧振子的位置概率的分布。數(shù)值解法及MATLAB的應(yīng)用為大學(xué)生學(xué)習(xí)量子力學(xué)提供了一個(gè)新的渠道，省去了繁瑣的理論計(jì)算與推到，同時(shí)還能夠直觀地反應(yīng)出量子效應(yīng)的特性。有效利用這個(gè)工具能降低學(xué)習(xí)量子力學(xué)的門檻，也讓學(xué)生有更多的時(shí)間進(jìn)行物理上的思考，而不是一味的計(jì)算。

參考文獻(xiàn)：

[1] 彭芳麟.計(jì)算物理基礎(chǔ) [M].北京：高等教育出版社，2010.

[2] 曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)卷I [M].北京：科學(xué)出版社，2018.

作者簡介：郭佳林（1997.01-），男，漢族，四川人，本科在讀。研究方向：量子力學(xué)。