鎳基單晶合金板裂紋尖端塑性區分析

楊麗紅，吳林志，曲嘉

(1.哈爾濱工程大學航天與建筑工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001;2.哈爾濱工業大學 復合材料研究所，黑龍江 哈爾濱150001)

鎳基單晶高溫合金具有優良的高溫抗疲勞、抗蠕變性能，是目前制造先進航空發動機和燃氣輪機葉片的主要材料.為了滿足高性能航空發動機的設計需求，多年來，各國十分重視鎳基單晶高溫合金的開發和研究，取得了一系列有意義的研究成果.研究人員對鎳基單晶合金的力學性能、本構描述等在理論上和實驗上都進行了大量研究，但相對而言，對鎳基單晶合金的斷裂問題研究不多.材料裂紋問題是力學領域的一個研究熱點，溫志勛等［1］通過實驗和有限元法研究了鎳基單晶合金裂紋擴展路徑，結果表明，環境溫度對裂紋啟裂和擴展以及斷裂強度和斷裂形式有較大影響.N.Marchal［2］采用彈粘塑性模型對循環蠕變加載下的鎳基單晶裂紋尖端應力應變場進行了分析，結果表明，裂紋尖端變形是沿著特定矢量方向的.于金江等［3］研究了Re對單晶合金的拉伸斷裂的影響.

在外加應力作用下，裂紋尖端附近的材料會發生屈服，說明裂紋前緣存在塑性區.裂紋尖端塑性區的形狀和尺寸是分析裂紋的重要參數，裂紋的擴展與裂尖塑性區有著密切關系.關于裂紋尖端塑性區的研究，比較典型的方法是從宏觀斷裂力學角度，按照適當的屈服準則確定塑性區的大小及形狀.高鑫等［4］采用宏觀斷裂力學理論對正交各向異性單向復合材料中斜裂紋尖端塑性區進行了分析，結果表明，裂紋傾角對裂尖塑性區范圍和形狀有明顯影響.

在進行正交各向異性材料彈塑性分析時，可以采用Hill屈服準則、Hoffman屈服準則和Tsai-Wu屈服準則等.其中，Hill屈服準則因簡單實用而被廣泛采用.Liu C［5］研究了Hill屈服準則在拉壓性能不同材料中的應用，結果表明，在小應變情況下，可以采用Hill屈服準則描述拉壓性能不同材料的屈服特性.丁智平等［6］通過在Hill屈服準則表達式中增加一個四次修正項，提出了一個考慮拉-剪耦合的屈服準則，通過對材料屈服應力的預測說明考慮拉-剪耦合的意義.本文應用Hill屈服準則和一種修正的Hill屈服準則，分別在平面應力和平面應變狀態下，對鎳基單晶合金板裂紋尖端塑性區進行分析.

1 屈服準則

1.1 Hill屈服準則

Hill將Mises屈服準則推廣到正交各向異性材料中，給出正交各向異性材料屈服準則

式中:σij(i，j=1，2，3)為材料主坐標系下應力，F、G、H、L、M、N為相互獨立的材料參數，可由單向拉(壓)實驗和純剪切實驗確定，σs為參考屈服應力，可取材料某一主軸方向的屈服應力.

對于鎳基單晶合金材料，忽略其包氏效應，且認為其在3 個晶軸方向［100］，［010］，［001］具有相同的力學性能，于是Hill屈服準則變為

文獻［7］給出實驗得到的鎳基單晶合金DD3的材料參數，見表1.

表1 DD3鎳基單晶合金材料特性Table 1 Properties of DD3 nickel-based single crystal

根據實驗測得的［001］、［111］取向屈服應力S［001］、S［111］，可以算得材料參數 F、L，見表 2［6］.

在平面應力狀態下，σ33=σ13=σ23=0，Hill屈服準則變為

在平面應變狀態下，σ33=γ(σ11+σ22)，σ13=σ23=0，γ為材料主軸方向的泊松比.于是Hill屈服準則變為

式中:F1=F(1-γ+γ2)，F2=F(1+2γ-2γ2).

1.2 考慮拉-剪耦合的修正Hill屈服準則

Hill屈服準則沒有考慮正交各向異性材料偏軸方向存在的拉-剪耦合，在描述單晶材料屈服特性時精度不高.本文通過在Hill屈服準則表達式中增加一個二次修正項，給出如下形式的鎳基單晶合金屈服準則:

設沿［001］取向拉伸時，拉伸應力等于［001］取向屈服應力 S［001］，于是得 f=1.為了精確，根據實驗測得的多個晶體取向屈服應力［7］，采用最小二乘法擬合材料參數l、r，結果見表2.

表2 鎳基單晶合金材料參數Table 2 Material parameters of nickel-based single crystal

將擬合得到的材料參數f、l、r代入修正Hill屈服準則式(5)，對鎳基單晶合金的屈服應力進行預測，所得結果見表3.在［001］取向，預測的結果應與實驗結果相同.表3中同時給出由Hill屈服準則預測的鎳基單晶合金屈服應力［6］.顯然，在［001］、［111］取向預測的屈服應力應與實驗結果相同.

從表3中可以看出，采用本文的修正Hill屈服準則預測鎳基單晶合金的屈服應力，與采用Hill屈服準則相比，能夠降低預測誤差，提高預測精度.

在平面應力狀態下，式(5)變為

在平面應變狀態下，式(5)變為

式中:f1=f(1-γ+γ2)，f2=f(1+2γ-2γ2)，r1=r(2γ -1).

表3 由屈服準則預測的鎳基單晶合金屈服應力Table 3 Yield stress of nickel-based single crystal forecasted by yield criteria

2 鎳基單晶板裂紋尖端塑性區

2.1 裂紋尖端應力場

無限大鎳基單晶合金平板上中心穿透裂紋如圖1所示.設裂紋沿材料晶軸方向，長度為2a.

圖1 鎳基單晶合金板Ⅰ、Ⅱ復合型裂紋Fig.1 Mixed modeⅠ，Ⅱcrack of nickel-based single crystal plate

取坐標軸與材料彈性主軸重合，則正交各向異性材料的柔度矩陣為

對于鎳基單晶合金，有

式中:E、G、γ分別為材料晶軸方向的拉壓彈性模量，剪切彈性模量和泊松比.

此時鎳基單晶合金板平面問題的特征方程為

在平面應力狀態下，有a11=a22=S11，a66=S66，a12=S12;在平面應變狀態下，有a11=a22=(1-γ2)S11，a66=S66，a12=(1+ γ)S12.

文獻［7］給出了正交各向異性材料板Ⅰ、Ⅱ復合型裂紋尖端應力場如下:

式中:KⅠ、KⅡ分別為Ⅰ、Ⅱ型裂紋應力強度因子.

式中:λ1、λ2為方程(9)的根.

2.2 裂紋尖端塑性區

對應Hill屈服準則，將式(10)代人式(3)，得鎳基單晶合金板穿透裂紋在平面應力狀態下的塑性區計算式:

將式(10)代人式(4)，得平面應變狀態下的塑性區計算式:

對應考慮拉-剪耦合的修正Hill屈服準則，將式(10)代人式(6)，得鎳基單晶合金板穿透裂紋在平面應力狀態下的塑性區計算式為

將式(10)代人式(7)，得在平面應變狀態下的塑性區計算式為

3 結果分析

由圖2可以看出，裂紋尖端塑性區關于裂紋面對稱分布.在平面應變狀態下，鎳基單晶合金裂紋尖端塑性區的范圍明顯大于均質材料的塑性區范圍;平面應力狀態裂尖塑性區大于平面應變狀態裂尖塑性區.

圖2 Ⅰ型裂紋尖端塑性區Fig.2 Mode I crack tip plastic zone

圖3 鎳基單晶合金Ⅰ、Ⅱ復合型裂紋尖端塑性區Fig.3 Mixed modeⅠ，Ⅱ crack tip plastic zone of nickel-based single crystal

由圖3(a)、(b)可以看出，在760℃時，當考慮拉—剪耦合，在平面應力狀態下，裂紋尖端塑性區減小，在平面應變狀態下，裂紋尖端塑性區增大.本文也對850℃和950℃時的裂紋尖端塑性區進行了分析，發現在這2種溫度下，拉剪耦合對裂紋尖端塑性區基本不產生影響.由圖3(c)～(f)可以看出，在平面應力狀態下，鎳基單晶合金裂紋尖端塑性區尺寸隨復合比的遞增速度大于平面應變狀態下的遞增速度;塑性區尺寸隨復合比k1的遞增速度大于隨k2的遞增速度.

基于Hill屈服準則，求得k=1時不同溫度下鎳基單晶合金Ⅰ、Ⅱ復合型裂紋尖端塑性區如圖4所示.作圖時3種溫度下的參考屈服應力均取915 MPa.由圖4可以看出，溫度對鎳基單晶合金裂尖塑性區的尺寸影響較大.

圖4 不同溫度下基單晶合金Ⅰ、Ⅱ復合型裂紋尖端塑性區Fig.4 Mixed modeⅠ，Ⅱcrack tip plastic zone of nickel-based single crystal for different temperatures

4 結束語

文章通過對Hill屈服準則進行修正，構造一考慮拉-剪耦合的修正Hill屈服準則.用構造的修正準則對鎳基單晶合金的屈服應力進行預測，與Hill屈服準則的預測結果比較，預測精度提高.在平面應力和平面應變狀態下，分別基于Hill屈服準則和本文的修正Hill屈服準則，推導了鎳基單晶合金I、II復合型裂紋尖端塑性區的計算表達式.拉-剪耦合在760℃時對鎳基單晶合金板裂紋尖端塑性區尺寸有影響，而在850℃和950℃時，對裂紋尖端塑性區尺寸基本沒有影響;在平面應力狀態下，鎳基單晶合金板裂紋尖端塑性區尺寸隨復合型裂紋復合比的遞增速度大于平面應變狀態下的遞增速度;溫度對鎳基單晶合金板裂尖塑性區的尺寸有影響.950℃時塑性區尺寸遠大于其他兩低溫情況的塑性區尺寸.

［1］溫志勛，茍文選，岳珠峰.鎳基單晶裂紋擴展路徑研究［J］.稀有金屬材料與工程，2007，36(9):1549-1553.

WEN Zhixun，GOU Wenxuan，YUE Zhufeng.Crack propagation paths and fracture of Ni-based single crystal［J］.Rare Metal Materials and Engineering，2007，36(9):1549-1553.

［2］MARCHAL N，FLOURIOT S，FORESR S，et al.Crack-tip stress-strain fields in single crystal nickel-base superalloys at high temperature under cyclic loading［J］.Computational Materials Science，2006，37(1):42.

［3］于金江，候桂臣.一種含Re單晶高溫合金的拉伸斷裂行為［J］.稀有金屬材料與工程，2006，35(8):1231-1234.

YU Jinjiang，HOU Guichen.Tensile and fracture behavior of a single crystal superalloy containing Re［J］.Rare Metal Materials and Engineering，2006，35(8):1231-1234.

［4］高鑫，康興無，王漢功.正交各向異性單向復合材料裂紋尖端塑性區求解［J］.固體火箭技術，2009，32(5):554-559.

GAO Xin，KANG Xinwu，WANG Hangong.Solution to the crack tip plastic zone of orthotropic unidirectional composites［J］.Journal of Solid Rocket Technology，2009，32(5):554-559.

［5］LIU C，HUANG Y，STOUT M G.On the asymmetric yield surface of plastically orthotropic materials:a phenomenological study［J］.Acta Mater，1997，45(6):2397-2406.

［6］丁智平，劉義倫，尹澤勇，等.鎳基單晶合金彈塑性本構模型［J］.航空動力學報，2004，19(6):755-760.

DING Zhiping，LIU Yilun，YIN Zeyong，et al.Study of elastic-plastic constitutive model for single crystal nickelbased superalloy［J］.Journal of Aerospace Power，2004，19(6):755-760.

［7］張少琴.復合材料斷裂分析的特殊方法［M］.北京:兵器工業出版社，2003:37-55.

［8］中國航空材料手冊編委會.中國航空材料手冊:第二卷［M］.2版.北京:中國標準出版社，2002:36-41.