微積分教學(xué)中的一題多解探討

簡慧 華東交通大學(xué)理學(xué)院 江西南昌 330013 沈冬梅 南昌工學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院 江西南昌 330108

1 引言

微積分是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的主體和核心內(nèi)容， 是高等學(xué)校理工科和文管類大學(xué)本科生必須要掌握的重要基礎(chǔ)， 因而學(xué)好微積分至關(guān)重要。 而極限理論是微積分學(xué)的理論基礎(chǔ)，極限方法是微積分學(xué)的一種基本方法，極限思想和極限的運(yùn)算貫穿整個微積分學(xué)的始終。在高等數(shù)學(xué)授課過程中，我們主要介紹了以下幾種常見的求極限方法：(1) 多項(xiàng)式與有理分式函數(shù)(連續(xù)函數(shù))代入法求極限；（2）消去零因子法； (3)無窮小因子分出法；（4）利用無窮小等價代換及運(yùn)算性質(zhì)； (5)利用左右極限求分段函數(shù)極限；（6）利用極限運(yùn)算法則和兩個重要極限；（7）利用單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則； （8）利用海涅定理(歸結(jié)原則)；（9）利用導(dǎo)數(shù)的定義；（10）利用洛必達(dá)法則； (11)利用函數(shù)的泰勒展開式等。本文結(jié)合日常的教學(xué)實(shí)踐，只給出了函數(shù)求極限問題中比較典型的兩類例子，利用上述求極限方法中的幾種解法來分別求解同一類問題，并對各種解法的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了簡單分析，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣， 啟迪思維，幫助學(xué)生掌握求極限方法，在實(shí)際問題中做到活學(xué)活用，舉一反三，由此提高高等數(shù)學(xué)課程教與學(xué)的效果， 提高教學(xué)質(zhì)量和水平。

2.求極限問題中典型例題的一題多解

無窮小等價代換是求極限的一種重要方法，在商式求極限時可以大大簡化計算。但特別需要注意的是，無窮小等價代換不猛濫用，一般只可對分式的分子或者分母中的因子（乘法或者除法運(yùn)算）作等價無窮小代換，而分式的分子或分母中的函數(shù)的代數(shù)和中的無窮小不能分別代換再求極限。以下是學(xué)生中常見的一種錯誤解法：

需要特別強(qiáng)調(diào)的是，在一次使用或多次連續(xù)使用洛必達(dá)法則求極限時，一定要驗(yàn)證商式是否滿足洛必達(dá)法則的條件，足洛必達(dá)法則條件，此時洛必達(dá)法則不起作用，需要尋求其他方法（例如無窮小因子分出法）求極限。

解法4： 利用函數(shù)的泰勒展開式求極限

此種方法求極限對學(xué)生要求較高， 需要對相關(guān)函數(shù)的泰勒展開式非常熟悉，但對解題方法的積累和數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練大有益處。

再看下面的例子，該題在平時的教學(xué)過程中經(jīng)常出現(xiàn)。

解法1： 變量代換后利用極限四則運(yùn)算法則和重要極限

此種解法需要先進(jìn)行變量代換，然后變成重要極限的形式，很多學(xué)生不容易想到，尤其是對剛接觸兩類重要極限的初學(xué)者。

解法2： 利用無窮小等價代換

顯然此題利用無窮小等價代換求極限非常簡單。

此題中分式函數(shù)的形式比較簡單，大部分學(xué)生會利用此方法求極限。

解法5： 利用函數(shù)的泰勒展開式求極限

與前面四種解法相比，該解法相對復(fù)雜些，學(xué)生很少用此法解題，但作為解題方法的積累，平時也要加強(qiáng)訓(xùn)練。

結(jié)束語

本文通過對兩類求極限問題一題多解方法的探討，而并沒有列舉出更多的例子，旨在通過典型例題說明求極限的方法變化多樣，需要認(rèn)真分析問題中函數(shù)極限的具體類型，靈活地運(yùn)用上述求極限方法中的一種或幾種方法結(jié)合來求解，通過比較得到最便捷的計算方法。 以此來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)課程的興趣， 啟迪思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，提高高等數(shù)學(xué)課程教師教與學(xué)生學(xué)的效果， 提高教學(xué)質(zhì)量和水平。