UKF在潛艇對目標跟蹤定位中的應用

孫旋 熊鵬 張烈平 翟愷祺

摘 要： 針對潛艇在隱蔽攻擊中利用擴展卡爾曼濾波對敵艦目標進行跟蹤定位時存在濾波精度低、誤差大甚至出現發散的問題，將無跡卡爾曼濾波（UKF）應用在潛艇對敵艦的跟蹤定位中。假設敵艦運行在CV模型下，由仿真實驗的結果可以得出，在潛艇對敵艦目標的跟蹤定位中無跡卡爾曼濾波與擴展卡爾曼濾波相比較，提高了其定位的精度并且解決了其發散的問題。在仿真實驗中，潛艇對敵艦目標跟蹤定位12 s后擴展卡爾曼濾波出現了發散的問題無法對敵艦目標進行實時的跟蹤，但此時無跡卡爾曼濾波仍然可以實現對敵艦的跟蹤與定位。

關鍵詞： 潛艇； 隱蔽攻擊； 目標跟蹤； 無跡卡爾曼濾波； 擴展卡爾曼濾波； 定位精度

中圖分類號： TN820.4?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2018）20?0132?05

Abstract： As there exist problems of low filtering precision， big filtering errors and even divergence when the extended Kalman filter （EKF） is used to track and locate the enemy warship target during the submarine′s stealthy attack， the unscented Kalman filter （UKF） is applied in the submarine′s tracking and positioning of the enemy warship. When the enemy warship is running under the CV model， the results of the simulation experiment show that， in comparison with the EKF， the UKF has higher positioning precision， and can resolve the divergence problem during the submarine′s tracking and positioning of the enemy warship target. During the simulation experiment， after 12 s of the submarine′s tracking and positioning of the enemy warship target， the divergence problem occurs for the EKF and the enemy warship target cannot be tracked in real time， but the UKF can still achieve the tracking and positioning of the enemy warship.

Keywords： submarine； stealthy attack； target tracking； UKF； EKF； positioning precision

0 引 言

由于海洋環境的復雜多變以及我國海邊日益嚴重的形式，潛艇對人們探索未知的海洋以及保護我國領土的完整和海洋周邊的權益發揮著越來越重要的作用。在潛艇對敵艦目標的打擊中主要分為三步：第一步是實現對敵艦目標的檢測；第二步是實現對敵艦目標的定位與跟蹤；第三步是在精確的定位下對敵艦目標實施打擊。在這三步中，第二步是潛艇實施隱蔽攻擊中的最重要的環節之一。在潛艇對敵艦目標的打擊中，快速精準的定位是提高潛艇作戰效率最重要的方法。因此，如何實現潛艇對敵艦目標快速精準的定位成為國內外眾多專家研究的熱點。

在潛艇對敵艦目標的定位與跟蹤中，通常用到的方法有有源定位和純方位定位等方法。其中有源定位是利用潛艇自帶的有源設備來發射大功率信號實現的，因此很易被敵艦偵測到從而暴露自身，使潛艇自身受到敵艦毀滅性的打擊。純方位目標定位是利用目標的有源輻射例如電磁波輻射、紅外輻射、聲波輻射、目標對照射的散射和目標拖放的干擾輻射等來實現對目標的定位與跟蹤。在現代化戰爭中，戰場環境復雜多變，尤其是潛艇在水下所面臨的環境更加復雜。而且在戰爭中存在敵方勢力的電磁波干擾，一般利用通信技術來實現對目標定位的方法在現代化戰爭中并不太適用。在戰爭中測得的敵方艦艇的特征數據非常有限，而敵艦的方位參數幾乎成了唯一可靠的參數。因此，對應用純方位信息實現對目標定位與跟蹤的研究具有非常重要的軍事意義[1]。

在潛艇利用方位信息對敵艦目標進行定位與跟蹤時，由于測量設備的精度有限并且在測量時存在噪聲的干擾，使得直接測量的數據存在比較大的誤差，因此無法利用該數據信息對敵艦目標進行精準的打擊。為了提高潛艇對敵艦定位與跟蹤的精確度，提高潛艇在現代化作戰中的效率，人們利用了許多濾波的方法例如卡爾曼濾波、擴展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）和無跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman Filter，UKF）等[2]。當系統為線性且隨機變量服從高斯分布時，使用卡爾曼濾波可以獲得目標狀態的最優預測。但在實際中有許多系統是非線性的，針對非線性系統函數的濾波問題，一般使用的方法有EKF和UKF。其中EKF是將非線性函數展開成Taylor級數，留下其展開式的一階項而省略其高階項，以實現非線性函數的近似線性化。這種通過省略Taylor級數高階項求得的近似線性化系統函數必然會產生誤差。在對系統方程和量測方程進行近似線性化時，需要求解其雅克比矩陣，增加了該算法計算的復雜程度[3]。當系統的函數具有較高的非線性度時，由于近似線性化產生的誤差使得濾波器的性能降低甚至出現了發散的狀況。針對EKF的缺點，人們提出了UKF。該算法的核心思想是：采用卡爾曼濾波的框架，對于一步預測方程，使用無跡變換來處理協方差和均值的非線性傳遞[4]。S.Julier等人提出了一種用于對非線性函數進行濾波的新方法即UKF[5?6]。UKF是使用一組確定的Sigma點對系統狀態向量的概率密度函數進行近似化，而不是對系統的非線性函數進行近似線性化，因此不需要求解非線性函數的雅克比矩陣，這降低了該算法的復雜度使得其易于實現[7]。由于UKF沒有省略系統函數的高階項，故其提高了非線性分布統計量的計算精度。

本文將UKF應用于潛艇對敵艦目標的跟蹤與定位中，通過仿真實驗可知，與EKF相比，UKF提高了潛艇對敵艦目標定位與跟蹤的精度而且解決了其發散的問題。

1 潛艇對目標定位的數學模型

1.1 系統的狀態方程

潛艇與目標運行在同一二維平面的直角坐標系中，假設潛艇的初始位置為[（x0，y0）]并且潛艇的位置保持不變。假設目標做勻速直線運動即在CV模型下運動，其中在k時刻目標在x軸和y軸上的速度分別為[vx（k）]和[vy（k）]，同時目標在x軸和y軸上的位置分別為[x（k）]和[y（k）]。目標在勻速運動過程中受到的擾動用[W（k）]來表示，經過采樣時間T系統在下一時刻即[k+1]時刻的狀態方程為：

式中：[Φ（k+1k）]為過程驅動矩陣；[Γ（k）]為噪聲驅動矩陣；[W（k）=wx（k）wy（k）T]為目標加速度引起的過程噪聲，其均值為0且滿足高斯分布，并且其方差為[Q]。

1.2 系統的觀測方程

潛艇利用純方位信息來實現對敵艦目標運動參數（位置、速度、加速度等）的估計，是實現潛艇隱蔽打擊的主要手段。假設潛艇的初始位置已知為[（x0，y0）]且潛艇的位置保持不變，敵艦在[k]時刻的位置為[（x（k），y（k））]，則以所測得的敵艦目標方位角為變量的觀測方程為：

2 UKF算法

2.1 無跡變換原理

UKF是使用一組確定的Sigma點對系統狀態向量的概率密度函數進行近似化，而不是對系統的非線性函數進行近似線性化，從而克服了線性化所帶來的濾波誤差[8]。無跡變換（Unscented Transformation，UT）的思想是：利用初始分布的均值和協方差生成一系列確定的Sigma采樣點，這些Sigma點通過非線性函數傳播，從而得到估計的均值和協方差[9]。利用此方法求得非線性變換后的均值和協方差，至少具有二階精度。

2.2 UT的基本步驟

式中：n表示隨機變量x的維數；[px=px（px）T]，[（px）i]表示矩陣的第[i]列；[λ]是一個尺度參數，可以用來降低預測的誤差，其定義為[λ=α2（n+κ）-n]，參數[α]，[κ]決定了Sigma點以均值為原點的分散程度，通常[α]取一個較小的正數，根據經驗，[α]的取值范圍為[0.000 1，1）；一般情況下[κ]的取值為0或3-n；通常情況下如果系統的噪聲服從高斯分布，則其最優取值[β=2]，如果系統的狀態變量為單變量，則其最優取值為[β=0]；[ωmi]表示在第[i]個采樣點均值的加權值；[ωci]表示在第[i]個采樣點協方差的加權值。

2.3 UKF算法

UKF是以UT為核心思想的一種新的非線性濾波方法[10]。相對于EKF，UKF是采用一系列的采樣點來表示狀態的隨機變量，通過這一系列的采樣點可以獲得隨機變量的均值和協方差[11]。UKF沒有近似非線性動態模型和量測模型，而是直接利用原系統模型。當狀態變量通過實際的非線性系統之后，后驗均值和協方差可以精確到三階，因此提高了該算法的精度[12]。UKF算法的步驟如下：

3 仿真的結果與分析

假設潛艇的初始位置為[x0=0 m]，[y0=750 m]，并且潛艇的位置保持不變。假設目標做勻速直線運動即運行在CV模型下，其初始狀態變量分別為：[x（0）] =360 m，[vx（0）] =20 m/s，[y（0）]=700 m， [vy（0）]=5 m/s。采樣的周期T=1 s，采樣的總時間為40 s。非線性系統函數過程噪聲和測量噪聲的協方差分別為Q=diag（[10，10]），R=5。利用上面的實驗數據，在Matlab 2014b中分別使用UKF和EKF算法對潛艇在敵艦目標中的定位與跟蹤進行仿真，其仿真的結果分別如圖1～圖4所示。

由圖1可知：在開始階段無論是EKF還是UKF都能夠較好地實現對敵艦的跟蹤與定位，但UKF的精度高于EKF，因此與EKF相比UKF提高了潛艇對敵艦目標跟蹤與定位的精度；并且當敵艦勻速運行12 s后即敵艦的位置在（600，760）時，EKF出現了發散的情況，無法實現對敵艦目標的跟蹤與定位，但此時UKF仍然能夠較好地實現潛艇對敵艦目標的跟蹤與定位。

由圖2可知：在0～12 s之間利用EKF算法與UKF算法對敵艦目標位置估計的偏差幾乎相同而且對敵艦目標的跟蹤都比較精確；但在敵艦勻速運動12 s之后利用EKF算法對敵艦目標位置估計的偏差急劇增大，此時無法準確估計出敵艦的位置，但此時UKF算法仍然能夠較好地估計出敵艦的位置。

由圖3可知：由于敵艦受到噪聲的干擾使得敵艦在x軸上的真實速度在20 m/s上下浮動，在敵艦勻速運行的前22 s，EKF與UKF都能較好地濾除噪聲對敵艦目標速度的影響；在敵艦勻速運行22 s后EKF對敵艦的估計速度出現了發散的情況，而此時UKF仍然能夠較好地估計出敵艦在x軸上的速度，有效地濾除了噪聲干擾在潛艇對敵艦速度估計時在x軸上的影響；通過對比可以得出與EKF相比較，UKF具有更好的抑制噪聲的能力。

由圖4可知：由于敵艦受到噪聲的干擾使得敵艦在y軸上的真實速度在5 m/s上下浮動，在敵艦勻速運行的前12 s，EKF與UKF都能較好的濾除噪聲對敵艦目標速度的影響；在敵艦勻速運行12 s后EKF對敵艦速度的估計出現了發散的情況，而此時UKF仍然能夠較好地估計出敵艦在y軸上的速度，有效地濾除了噪聲干擾在潛艇對敵艦速度估計時在y軸上的影響。

4 結 論

為了提高潛艇在現代化戰爭中的作戰效率，本文將無跡卡爾曼濾波應用在潛艇對敵艦目標的跟蹤與定位中。通過仿真實驗的結果可知，與EKF相比，UKF提高了潛艇對敵艦目標跟蹤與定位的精度，并且還解決了其發散的問題。在仿真實驗中，潛艇對敵艦目標定位與跟蹤12 s后，利用EKF出現了發散的狀況，無法實現對敵艦目標精準的定位與跟蹤，降低了潛艇在現代化戰爭中的作戰效率；而此時UKF仍然能夠較好地實現對敵艦目標的跟蹤與定位。因此將UKF應用在潛艇對敵艦目標的定位與跟蹤中，可以提高潛艇在現代化戰爭中的作戰效率，具有十分重要的軍事意義。

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