數形結合 “圓”滿解決

陳秋曉

在直線與圓的位置關系中，切線是特殊的情況，也是“圓”這一章所研究的重要內容.但是切線的性質與判定又是同學們容易弄錯的地方.在歷屆中考中，都不乏有關圓的切線的證明與計算等問題，而在這類問題中，常常隱藏著一些不確定的因素.如果我們在解題中，能夠數形結合，全面了解，就可以避免漏解，“圓滿”解決問題.

類型一：由數到形，判斷直線與圓的位置關系

例1已知⊙O的半徑為3，直線l上有一點P，且PO=3，則直線l與⊙O的位置關系是（ ）.

A.相切 B.相離

C.相離或相切 D.相切或相交

【錯解】A.

【錯解原因】通過圓心到直線距離d與圓半徑r的大小關系，可以判定直線與圓的位置關系.同學們在沒有具體圖形的情況下，會誤以為d=r，從而判斷直線l與⊙O相切.事實上，圓上所有點到圓心的距離都等于半徑，過圓上的點既可以作圓的切線，也可以作與圓相交的直線，題目中并沒有明確直線l與線段OP互相垂直，因此應分類討論.如果同學們畫畫圖，就不難發現，直線l與⊙O的位置關系需要分類討論了.

【正解】D.

解：如圖1，應分兩種情況.

圖1

①當直線l與OP互相垂直時，圓心O到直線l的距離d=OP=3=r，此時⊙O與直線l相切；

②當直線l與OP不垂直時，圓心O到直線l的距離d＜3=r，此時⊙O與直線l相交.

類型二：由形到數，確定數值

例2 如圖2，射線QN與等邊△ABC的兩邊AB，BC分別交于點M，N，且AC‖QN，AM=MB=2cm，QM=4cm.動點P從點Q出發，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動，經過t秒，以點P為圓心，cm為半徑的圓與△ABC的邊相切（切點在邊上），請寫出t可取的一切值________（單位：秒）

圖2

【錯解】t=2、t=4、t=6或t=8.

【錯解原因】圓的切線垂直于經過切點的半徑.同學們在分類討論的時候，不難發現⊙P分別在邊AB，BC的左側與右側時，與AB邊，BC邊相切的四種情形，較易求得四解.但極易忽略與AC邊相切的情形，其實，從⊙P與邊AC相切于點A開始，向右運動到相切于點C結束，整個運動過程都滿足要求.

【正解】t=2或3≤t≤7或t=8.

解：分為3種情況.

①如圖3，當⊙P切AB于點D時，∠PDM=90°.

圖3

∵∠PMD=∠BMN=60°，

∴∠DPM=30°.

∴DM=1cm，PM=2MD=2cm，

故QP=QM-PM=4cm-2cm=2cm.

∴t=2.

②如圖4，當⊙P切AC于點A時，連接PA.

圖4

同①可得PM=1cm，

∴QP=QM-PM=4-1=3cm，

故t=3；

當⊙P切AC于點C時，設P位于P′處，連接P′C.

易得QP′=QM+MN+NP′=4+2+1=7cm，

故t=7.

∵從⊙P與邊AC相切于點A開始，到⊙P與AC相切于點C結束，整個向右運動過程中，⊙P一直與AC相切.

∴3≤t≤7.

③如圖5，當⊙P切BC于點E時，

圖5

∴NP=2.

∴QP=QM+MN+NP=4+2+2=8cm，

∴t=8.

注意：當⊙P運動到AB右側與AB相切，以及運動到BC左側與BC相切時，這兩個時間都在第②種情況的運動時間內.如圖6，圖7所示.

圖6

圖7

綜上所述：t=2或3≤t≤7或t=8.