圓有關概念的錯題剖析

杭 蕙

“對稱圖形——圓”這一章概念比較多，概念的運用也比較廣泛，如果對概念分辨不清，理解不透，掌握不扎實，解決問題的過程中就會混淆，產生一些不該出現的簡單錯誤.現舉出常見的幾例進行剖析，希望同學們能引以為鑒.

一、垂徑定理

例1如圖1，⊙O的弦AB垂直平分半徑OC，且OC=4，則AB=

圖1

【錯解】

【錯解剖析】本題已知半徑的長度以及弦垂直平分半徑，從而可以把半徑、弦心距、弦長的一半“集中”在同一個直角三角形中，利用勾股定理計算出弦長的一半，即.有的同學往往把這個答案當成最終答案，這是解題不夠細心導致的錯誤.當求得時，這只是弦長的一半，應再利用垂徑定理得出整條弦AB的長度.AB長為.

【正解】如圖2，連接OA（當然也可連接OB），得出直角三角形OAD，因為OA=4，OD=2，由勾股定理可得AD=再利用垂徑定理即可求出弦AB的長度是

圖2

二、切線性質

例2如圖3，AB與⊙O相切于點B，AO的延長線交⊙O 于點 C，若∠A=50°，則∠C=______.

圖3

【錯解】40°.

【錯解剖析】本題已知條件中有直線與圓相切，同學們很容易想到切線及其性質，但有些同學對于“圓的切線垂直于經過切點的半徑”這一概念沒有真正掌握，在解題時，就直接把∠ABC當作90°，從而得出錯誤答案∠C=40°.對于本題，如果理解了概念中“經過切點的半徑”這一關鍵點，就會自然地想到用“見切點，連半徑”來解決了.

【正解】連接OB，如圖4，

圖4

可得∠OBA=90°.

∵∠A=50°，

∴∠BOA=40°，

又∵OB=OC，

∴∠C=20°.

三、圓周角

例3如圖5，A，B，C是⊙O上的三點，∠ACB=20°，∠OAC=30°，求∠OBC的度數.

圖5

【錯解】30°.

【錯解剖析】本題結論要求出一個角的度數，并把這一問題放在了圓這個背景中.結合已知條件，同學們會聯想到用圓周角、圓心角的知識來解決問題.但有些同學對同弧所對的圓周角概念不清楚，在解題時，錯把∠OAC和∠OBC當作是同弧所對的圓周角，從而得出了錯誤答案.

仔細審題，不難發現本題應利用同弧所對的圓心角和圓周角的關系及三角形內角和為180°（或三角形外角性質）來求解.

【正解】因為∠AOB和∠ACB是同一弧?所對的圓心角和圓周角，

∴∠AOB=2∠ACB=40°，

∴∠AOB+∠OAC=40°+30°=70°，

∴∠ADO=∠BDC=180°-70°，

∴∠BCA+∠CBO=70°，

這樣就容易求得∠OBC=50°.

四、圓和直線的位置

例4已知⊙O的半徑為5，點P到圓心O的距離為5，則過點P的直線MN與⊙O的位置關系是_______.

【錯解】相切.

【錯解剖析】本題沒有給出圖形，同學們既不能直觀地理解，又可能因分不清楚“點到直線的距離”和“點到點的距離”的區別，誤把這兩種情況當成是同一種情況，從而導致答案不完整，只答對了一種位置關系.

對于沒有給出圖形的題目，同學們應該做到“心中有圖”，自己畫出圖形幫助理解，有了圖形，便可以幫助自己分析問題、理解問題的本質，提高解題的正確率.實際上“點到點的距離”就是兩點之間的線段長度，而“點到直線的距離”是指“點到直線的垂線段的長度”.同學們真正理解這兩者的區別，再結合圖形，很容易就能得出正確答案.

【正解】相切或相交.