不確定性、最優資本結構與投資期權價值

曹啟龍,周 晶,盛昭瀚

(南京大學工程管理學院,江蘇南京210093)

1 引 言

自Myers[1]提出可以把企業在未來的投資機會看作成長期權以來,關于期權在實物投資中的研究,即實物期權領域的研究一時成為學界的熱點.實物期權理論之所以能夠引起國內外學界和實務界的強烈關注,在于其相對于傳統投資決策方法的三大優勢:考慮了投資的不可逆(部分不可逆)性、管理的靈活性以及等待的時間價值[2].以Dixit等[3]為代表的一批學者深入探討了不確定性、投資時機選擇與企業投資期權價值關系及其應用的問題.Bellalah等[4]基于資本資產定價模型研究了不完全信息條件下企業投資的期權價值.Cortazar等[5]的研究是把實物期權理論應用于討論油田投資的代表作之一.Farzin等[6]開創性的研究了技術采用的最優投資時機問題.Bellalah[7]考慮了存在信息成本的條件下的不可逆性以及沉沒成本對企業投資期權價值的影響.Wong[8]研究了不確定條件下的投資時機選擇效應,并發現了不確定性與期望投資時間的倒“U”型關系.亢婭麗等[9]基于實物期權理論評估了政策不確定條件下的發電企業投資燃煤發電+CSS技術的期權價值以及主要影響因素.

此后,有學者注意到企業在進行投資時不僅要考慮到投資的時機而且要考慮投資的規模問題.B?ckman等[10]研究了不確定條件下小型水電站的投資時機和投資規模問題,得出了不同項目類型的最優投資時機和最優投資規模.Wong[11]構建出一個連續時間序列模型,研究了不確定性對投資時機和投資規模的影響.Wong[12]基于均值回歸模型研究了投資時機和投資規模對放棄期權投資的影響效應.國內學者李應求等[13]以最大化投資機會價值為基點,在不確定條件下構建了最優投資時機和最優投資規模的模型,并用數值解研究了其變化規律.李強等[14]基于實物期權的方法研究了企業融資能力對企業技術創新投資決策的影響.陽軍等[15]基于實物期權理論,研究了不變產出和可變產出條件下企業最優投資時機和最優投資規模的解析表達式,比較了不同條件下的企業投資決策問題.

通過上述綜述和分析可以看出,學界對企業在不確定條件下的投資決策問題主要是從兩個方面展開的:投資時機和投資規模的選擇.然而,當涉及到企業投資規模的問題時,一個不得不面臨的問題是企業資金的來源,即股權融資與債務融資的權衡問題.根據資本結構權衡理論[16-18],企業進行債務融資有兩個方面的效應:債務融資產生的債務利息是免稅的,即負債能夠產生“稅盾效應”,增加企業的價值;但同時負債過多,破產的風險也就更大,這一不利因素降低了企業的價值.這一經典理論認為對于負債企業而言,企業價值是其“稅盾”效應與破產風險權衡的結果,并且根據這一權衡過程能夠得到最優的負債水平,即最優的資本結構.鑒于現實中幾乎不存在不負債的企業,因此更為現實的問題是考慮不確定條件下,企業負債時的最優投資時機和最優投資規模選擇的問題.

考慮到不確定性、資本結構水平對企業價值的重要影響,本文基于實物期權理論和資本結構理論研究在企業負債的條件下,企業投資時機、投資規模的選擇問題及其對企業投資期權價值的影響.本文的研究有三個方面的新問題:第一,在不同的不確定條件下即不同的資產價格波動水平下,企業最優資本結構的選擇問題;第二,在不同的不確定條件下,負債企業與非負債企業投資期權價值的差異性問題,即債務是否增加了企業的投資期權價值;第三,負債企業在不同的資本結構情形下,最優投資規模和最優投資時機的選擇問題.本文的研究既得到了與已有研究相一致的結論,即隨著企業面臨風險不確定性的增加,企業投資期權的價值亦會增加,也得到了更多的新的結論,具體為對應上述問題的三個方面:1)當資產價格的波動率在一定的范圍之內時,不確定性與資本結構是正相關的關系,而一旦超出某個臨界點,不確定性的增加將導致企業資本結構劇烈的下降;2)負債企業和非負債企業投資期權的價值雖然都隨著資產價格波動率的增加而增加,但二者增加的趨勢和幅度是不同的,并且不確定性的程度在一定的范圍之內時負債企業投資期權的價值大于非負債企業投資期權的價,而一旦超過了某一臨界點,則正好相反;3)企業負債水平的增加能夠推遲企業的投資時機但會增加企業投資的規模,并且企業投資規模增加的幅度要大于企業投資時機的幅度.

2 企業負債與投資決策

企業在進行投資決策時通常要面臨如下問題:1)何時投資;2)投資多少;3)如何融資.假設企業投資時機的選擇與其產品的預期市場價格產品嚴格相關,即當產品價格較低時不投資,當產品價格上升到某一水平之后,可以“觸發”企業進行投資.假設產品的產出價格為p,并且p服從幾何布朗運動,即

其中u和σ分別為產品價格的預期增長率和波動率,z為維納過程.

根據柯布道格拉斯生產函數,企業的產出與投資的關系為Q=ALαKβ,其中Q為產出水平,A為技術水平,L為勞動力投入,K為資本投入,α和β分別為勞動力和資本產出的彈性系數.為簡化起見,假設企業具有不變的技術產出水平和勞動力投入水平,并且A=1,α=1,則企業的產出完全由其投入的資本水平K所決定,即Q=Ka,0＜a≤1.假設每一單位資本的價格為k,則投資的總成本為kK.根據柯布道格拉斯生產函數,單位時間內的生產能力(產量水平)與投入的資本為指數函數關系,則其投資的總成本又可以寫成kQb,b=1/a,由于k和a都是正的常數,Q和K存在著嚴格的正相關關系,下文將以Q代表企業的投資規模.另外假設企業生產的可變成本為c,稅率為τ,現金流折現率為ρ,并且ρ＞μ,企業進行債務融資時支付的債務利息為?m,其中?為債務不違約時的債務利息率,m為債務的面值.

2.1 無負債時企業投資期權的價值

為了能夠與負債企業的投資決策進行比較,這一小節在文獻[19]研究的基礎之上首先討論無負債時企業的投資時機、投資規模以及投資期權價值的問題.企業在沒有債務并且持續經營的情形下,其價值為經營現金流的折現值,在企業產品的產出價格為p時,有

將E(pt)=peut代入上式,可得

式(1)說明,無負債企業的價值為其收入流的現值與支出流的現值之差.

式(1)是非負債企業能夠持續經營條件下的企業價值,若假設p?為企業進行投資的門檻價格,則上式隱含的假設是p＞p?.根據文獻[19],當市場前景不好,產品價格持續下降到p＜p?時,企業將停止生產,由于非負債的企業不能申請破產,并且產品價格依然存在上升的可能性,因此對于暫時停止生產的企業而言,其再次開始生產的投資機會相當于一個看漲期權,即p＜p?時企業存在投資的期權價值.由于期權不產生現金流,根據Bellman方程,在時間區間(t,dt)內

其中F(p)為企業投資的期權價值,計算并化簡得

根據文獻[2],上述微分方程的解的形式為

為使得系數A1,A2不為0,表達式F(p)=A1pβ1+A2pβ2還滿足如下約束條件

約束條件(2)表示當產品價格p趨近于0時,其再次回復到原有價格水平的可能性非常小,對于企業而言此時已經沒有繼續等待的價值了,因此其對應的投資期權價值為0.約束條件(3)為價值匹配條件,即在p?這一點,企業投資期權的價值等于企業投資的最終凈回報V(p?)-kQb.約束條件(4)為平滑粘貼條件1關于價值匹配和平滑粘貼條件的討論見文獻[3]..

由于β2＜0,為滿足式(2)需要有A2=0,此時F(p)=A1pβ1.結合表達式價值匹配條件(3)和平滑粘貼條件(4),可得

由式(5)和式(6)可得

從而得到企業投資期權的價值

在上述的分析中,將企業的產量Q都是作為給定的外生變量,但在企業的實際生產中,企業必須根據市場的需求不斷的調整產量,企業對產量的調整應滿足其價值最大化,即給定任意的產品價格水平p,有,計算可得

式(7)為企業進行投資時的產品門檻價格表達式,把式(10)代入到式(7)可計算出在企業選擇其最優生產規模時所對應的投資價格

把式(10),式(11)代入到式(9)就可以得到非負債企業在選擇其最優投資時機和最優生產規模時的投資期權價值.

2.2 負債條件下的投資時機、投資規模與投資期權價值

雖然目前大多數研究不確定條件下企業投資決策的文獻沒有涉及到企業的債務問題,但現實中債務融資是企業投資資金的重要來源之一.公司金融理論認為企業負債不僅能夠提升企業的市場價值,而且債務的規模和結構也能夠影響到企業投資的選擇.因此,研究不確定條件下,負債企業投資的時機選擇、投資規模以及投資期權價值問題是十分有必要的.

當企業進行債務融資時,假設企業支付的債務利息為?m,其中?為不違約時的債務利息率,m為債務的面值.對于負債的企業而言,企業的價值可以分為債務價值和權益價值兩個部分[20].下面分別對這兩個部分的價值進行計算.首先對負債企業的債務價值進行計算,有

式(12)表示在貼現率水平為ρ的水平下,債務利息的確定現值.由于該現值是確定的，因此用一個固定的參數G來表示.

根據文獻[20],當考慮到產品價格波動對債務的影響,即考慮到產品價格下降后的破產風險時,企業的債務價值應該有一定的風險補償,根據Bellman方程,可以計算出考慮價格波動(破產風險)的債務價值

需要說明的是,這里的D(p)表示考慮存在破產風險的債務價值,是一個不確定性的變量,而G是表示債務利息現值的確定性變量,兩者是不同的.計算并化簡得到非齊次常微分方程

容易得出該方程的解為

第1項為確定條件下債務的價值,第2項和第3項為考慮到破產情形下的風險補償價值,D1,D2為待定系數.

同樣,在不考慮破產的條件下,企業權益的價值貼現為

而當考慮到企業破產的風險時,有

其中π=(1-τ)[Q(p-c)-?m.

計算并化簡得到常微分方程

其中S(p)表示考慮存在破產風險的權益價值,是一個不確定性的變量,而W是表示權益價值現值的確定性變量,兩者是不同的.該方程的解為

第1項為無風險條件下債務的價值,第2項和第3項為考慮到破產情形下的風險補償價值,S1,S2為待定系數.

方程(13)和方程(15)分別表示考慮破產風險時,負債企業的債務市場價值和權益市場價值,兩個方程式共有D1,D2和S1,S2四個待定系數.為了能夠得到待定系數的解,依據Sarkar[20]的論述,當p→∞時,企業破產的概率幾乎為0,此時附加于債務價值和權益價值的破產風險補償也趨于0,因此當p→∞時,有

由于β1＞1、β2＜0,為得到收斂解,需要有D1=0,S1=0,即

進一步分析當企業的價格持續下降時的情形:當企業的產出價格持續下降到某一價格水平時,企業的收益不足以支付其債務利息,此時企業會申請破產.假設這一破產價格的臨界水平為pb,并且當企業破產時,會產生破產成本,假設破產成本占企業價值的比例為λ,0≤λ≤1.在企業破產之后,債權持有者可以得到剩余的1-λ的企業價值,而權益所有者得到的價值為0,因此在pb價格水平上,有以下條件成立

把式(1),式(16),式(17)分別代入約束條件式(18),式(19),式(20),得

從而

上文分別計算了不考慮負債時,企業的價值和投資期權的價值以及負債時企業的債務價值和權益價值,同樣能夠繼續得出產出價格水平服從布朗運動條件下的負債企業投資期權的價值.

式(25)不容易求得其解析解,但給出常數的參數之后較易獲得其數值解,在得到的數值解之后,根據價值匹配條件式(23)很容易求得負債企業投資期權的價值

從而

實際生產當中,企業可以依據預期的市場需求調整產量,從而選擇最優的生產規模Q.最優的投資水平應該滿足在任意的產品價格p下,負債企業投資期權的價值最大化,即.將式(27)對Q求一階導數,計算并化簡得

其中

由此,得到了負債企業投資時機選擇的表達式(25),負債企業最優投資規模的表達式(28),由于這兩個表達式都是非線性方程,不容易求得解析解,將在下文對其進行數值求解.若給定不同的負債水平,并同時對式(25)和式(28)組成的非線性方程組進行求解,可以得到不同負債水平條件下企業的最優投資時機和最優投資規模.把和代入到式(27),則很容易得到不同價格水平下負債企業投資期權的價值.

3 最優資本結構的選擇

因為存在稅盾的收益效應和破產的風險效應,對于負債企業而言,在投資時不僅要考慮投資的時機選擇和投資規模問題,還要考慮企業資本的結構問題,即負債企業的最優資本結構.根據權衡理論,負債企業的價值為權益資本的市場價值加上稅盾效應的現值再減去破產成本的現值,而最優資本結構是其稅盾效應和破產效應權衡的結果,在最優資本結構水平上,企業的價值應最大化.結合實物期權理論,在不確定條件下,最優資本結構應該滿足企業投資期權價值的最大化.若令企業的債務額l=?m,則根據本文的說明和假設,企業的最優負債水平應該滿足

即

同樣對式(32)進行數值求解可以得到使得負債企業投資期權價值最大化的最優資本結構水平.若同時求解由式(25),式(28)和式(32)組成的非線性方程組,能夠得到企業進行投資時的最優投資時機、最優的投資規模以及最優的資本結構水平l?.

4 算例仿真分析

接下來采用數值求解的方法對構建的模型的特征進行分析.參數值的選取參考了Bar-Ilan等[19]的文獻,具體賦值為μ=0.01,σ=0.05,ρ=0.06,k=2,c=1,b=2或a=0.5,τ=0.15,λ=0.1.算例仿真主要焦距如下三個方面的問題:第一,在不同的不確定條件下即不同的資產價格波動水平下,企業最優資本結構的選擇問題;第二,在不同的不確定條件下,負債企業與非負債企業投資期權價值的差異性問題,即債務是否增加了企業的投資期權價值;第三,負債企業在不同的資本結構情形下,最優投資規模和最優投資時機的選擇問題.

圖1為負債企業在不同的資產價格波動水平下,企業最優資本結構選擇的仿真圖.從圖1可以看出,在波動率為0的情形下,企業選擇的最優資本結構水平為52.16%;此后隨著波動率的增加,企業的最優資本結構呈現出平緩上升的趨勢,直到波動率為0.73時,最優資本結構達到其臨界值0.80;接下來,隨著波動率的增加,企業的最優資本結構出現了近乎直線的下降,在波動率為0.91時,企業的資本結構下降到52.16%,即波動率為0的情形,而在波動率接近1.0的情形下,企業選擇的最優資本結構為0,此時企業已完全不負債了.從該描述性分析中可以看出,企業的資本結構選擇與其資產價格的不確定性有著極為強烈的關系,資產價格的波動率在一定的范圍之內時,與資本結構是正相關的關系,而一旦超出某個臨界點(本文參數模擬的臨界點時0.73),不確定性的增加可以導致企業資本結構劇烈的下降.

圖1 不同波動率水平下企業的最優資本結構選擇Fig.1 The optimal capital structure under different volatility levels

圖2為在不同波動率水平下非負債企業與負債企業投資期權價值的對比仿真圖.從圖2中可以看出,在資產價格為0的情形下,負債企業投資期權的價值略大約非負債企業投資期權的價值,隨著不確定性程度的增加,負債企業投資期權的價值和非負債企業投資期權的價值都呈現出上升的趨勢,但兩者增加的軌跡明顯不同:負債企業以近似于凹函數的形式增加,而非負債企業以近似于凸函數的形式增加,兩者在波動率為0.91處有一個交點.

在Dixit等的研究中,一個經典的結論是:隨著企業面臨風險不確定性的增加,企業投資期權的價值亦會增加[2,3,7].這一經典結論在圖2中得以在此驗證,但除此之外,本文創新性的把實物期權理論與資本結構理論結合起來,考慮了現實中企業存在負債和破產風險的情形下其投資期權價值的問題.在得到與經典理論相一致的結論的同時,本文的模型還得到了一些新的結論:1)負債企業和非負債企業投資期權的價值雖然都隨著資產價格波動率的增加而增加,但二者增加的趨勢和幅度是不同的;2)在波動率小于0.91的情形下,負債企業投資期權的價值大于非負債企業投資期權的價值,而在波動率大于0.91的情形下,正好相反.負債企業投資期權的價值之所以會小于非負債企業投資期權的價值根源在于不確定性太高,不確定性在一定范圍之內可以提高負債企業和非負債企業投資期權的價值,而一旦不確定性程度超過了某一臨界點(本文參數模擬的臨界點時0.91),對于負債企業而言其面臨的風險大大增加,企業會迅速降低其負債的水平,從而債務稅盾的價值迅速下降,加之高度不確定性情形下企業破產風險的增加,一同降低了負債企業投資期權的價值.

圖2 不同波動率水平下企業投資期權的價值Fig.2 The value of option to investment under different volatility levels

文獻[3]研究了非負債企業的最優投資時機的問題,但并沒有涉及到投資規模和企業的債務問題,他們的研究只考慮不同不確定性情形下企業的最優投資時機問題.本文構建的模型不僅同時考慮了企業的投資時機和投資規模,而且分析了債務因素的影響,這一問題的仿真結果如圖3所示.

圖3 不同資本結構水平下企業的最優投資時機和最優投資規模Fig.3 Optimal timing and optimal size under different capital structure levels

圖3為企業在不同的資本結構水平下最優投資時機和最優投資規模選擇的仿真結果,橫軸為不同的資本結構水平,縱軸為企業的最優投資時機和最優投資規模.從圖3中能夠看出,隨著企業負債水平的增加,其最優投資時機和最優投資規模先是出現了輕微的回落,隨后是較大幅度的上升,但企業投資規模上升的幅度較大,而投資時機變化的趨勢較為平緩,即企業負債水平的增加最終推遲企業的投資但會增加企業投資的規模,并且企業投資規模增加的幅度要大于企業投資時機的幅度.

5 結束語

現有的研究不確定條件下的企業投資決策的文獻較少把企業的負債作為一個重要因素加以考慮,而在實際當中企業負債的規模直接關系到企業投資時機、投資規模的選擇以及企業的價值.本文的研究把不確定條件下企業的投資決策與資本結構理論結合起來,引入債務因素和破產成本,研究了不確定條件負債企業的投資時機、投資規模、投資期權價值與最優資本結構選擇的問題,同時對比分析了債務因素對在不同不確定性情形下對負債企業和非負債企業投資期權價值的影響.本文的研究認為企業資產價格的不確定性與其資本結構的選擇有著極為強烈的關系,并且這兩者同時對企業的最優投資決策和投資期權價值產生影響.

把不確定條件下企業的投資決策與資本結構理論結合起來,研究負債企業的投資決策和投資期權的價值問題是一個很有價值的學術問題,本文的研究作為這方面的一個初步探討不可避免的有著一定的局限性,如模型設計略為復雜,不能求得解析解,而數值解對于參數設置有著較為敏感的變化;另外本文構建的模型均為常微分方程,考慮構建偏微分方程同時考慮價格、債務等多個不確定因素對企業投資決策的共同影響也是下一步的研究方向.