雙閉合載流回路互感能量的三種計算方法

朱 峰, 劉順攀

(西南交通大學 電氣工程學院, 四川 成都 610031)

0 引言

與靜電場一樣，恒定磁場中也儲存有能量。這些能量是在磁場形成的過程中，由外源提供的其它形式的能量做功轉化而來的[1]。若空間中存在兩個或更多的電流回路，其電流變化使穿過回路的磁通發生變化并在不同的回路中相互影響，產生電流回路之間的相互作用能。它與各回路電流及互感系數M有關，稱為互有能。

若線性媒質中有兩個回路l1、l2，在兩個回路中的電流從0分別增加到l1,l2的過程中，外源對回路所做的功都轉變成磁場中所儲存的能量Wm，有：

(1)

式中，n表示在此系統中的回路個數，ψ1和ψ2分別表示穿過l1，l2回路的磁鏈，有：

(2)

將磁鏈表達式帶入能量計算式得：

(3)

在各類電磁波與電磁場的教材中，對于互感能量MI2I2的結論，往往僅從一個角度去計算和推導，使學生理解互感能量的實際產生過程存在一定難度。

本文將闡述三種計算兩個電流回路間互感能量的計算方法。

1 對充電過程積分計算互感能量

1.1 對單一回路的充電過程計算互感能量

在兩個電流回路l1、l2構成的磁場系統中，為方便計算互感能量，可將其中回路l1的電流固定為l1，僅對另一回路l2的電流從增加到l2的充電過程進行分析，以求解其互感能量。

將l1、l2的充電過程所產生的互感能量分別討論，在回路l1充電時，在兩個回路中均未產生互感能量。回路l1充電完成后，令回路l1的電流保持不變，回路l2的電流從0增加到I2的過程中，在時間dt內，回路l2對回路l1引起的磁通改變量為

dψ12=M·di2

(4)

在回路l1中產生的感應電動勢為

(5)

由于在回路l2充電的過程中，穿過其回路自身的磁通也穿過了回路l1，故回路l2的電流變化也會導致回路l1中產生相應的感應電動勢，產生的感應電動勢方向與回路l2磁通變化的方向有關，故此過程中回路一要維持電流I1不變，外源可能吸收或釋放能量[3]。

外源做功(或吸收能量)的微元為

dW=-ε12·I1dt

(6)

圖1 線圈互感示意圖

在此過程中，外源所做總功為

(7)

可得：

(8)

由于回路l1中電流沒有變化，故回路l2磁通并未受到回路l1電流影響，即回路l2中沒有產生互感能量。則回路一中的互感能量為

W12=W=MI1I2

(9)

回路2中的互感能量：

W21=0

(10)

兩回路磁場系統中儲存的互感能量為

W12+W21=MI1I2

(11)

1.2 對充電過程積分計算互感能量

在1.1節中，已經討論了關于兩個電流回路異步充電的互感能量計算過程。若不固定任何一回路的電流，將兩回路電流建立為兩個關于時間的函數表達式i1(t)和i2(t)可得，兩回路的磁通ψ(t)，感應電動勢ε(t)，l1、l2中產生的互感能量W12(t)和W21(t)，均是關于時間的t函數。

若當t>T時，回路l1、l2中的電流均不再變化，在0

圖2 線圈同步充電互感示意圖

回路l2電流變化對回路l1產生的磁通的影響為：

dψ12(t)=M·di2(t)

(13)

回路l1中產生的互感感應電動勢為

(14)

回路l1的電源提供的互感能量等于回路l1中增加的互感能量：

dW12(t)=-ε12(t)·i(t)dt=M·i1(t)di2(t)

(15)

由能量守恒得，在t=0到t=T的過程中，回路l1中外電源做功即為互感能量的增量，為

(16)

(17)

在上式中，當時t≥T時，i1(t)=I1，i2(t)=I2，即T表示兩個電流回路均完成充電的時間點，則有：

(18)

又因為：

(19)

其中，W21恰好為回路l1的電流變化對回路l2電流的影響過程中，回路l2外源所做功，

W12=MI1I2-W21

(20)

則有，兩回路均充電完成后，兩回路產生的互感能量之和為：

W21+W21=MI1I2, (t≥T)

(21)

2 廣義力矩積分求互感能量

對于線圈法向互相垂直的兩恒定電流回路l1和l2，如圖3所示：

圖3 線圈回路旋轉初始狀態

兩回路產生的磁場互不交鏈(假設兩線圈間的距離足夠長)，此時的互感能量為0，兩線圈回路之間作用力為0，且處于臨界平衡狀態，若此時給回路l2一個微小的力，同時固定住回路l1，則由于磁場力的作用，回路l2會發生繞軸AA′的順時針方向的轉動[2,3]。此時回路l2的磁距為

m2=I2·S2

(22)

其所受回路l1的磁場產生的力矩為[1]

(23)

其中，α表示回路l2的法線方向與回路l1產生磁場的方向夾角，T21<0表示力矩企圖使廣義坐標α減小。在兩回路內的電流保持不變時，外源提供的能量，有一半作為磁場能量的增量，另一半用于作機械功[1]。對力矩T21積分可得回路轉動所需的機械能量WF，此能量在數值上等于在新的磁場建立時系統的相互作用能W21，故：

(24)

回路旋轉完畢后，回路l2共旋轉了90°，此時兩線圈回路的相互作用力再次變為0，且處于平衡狀態，假設線圈回路的轉動速度極其緩慢，其轉動角度不會超過90°[4]，則：

(25)

圖4 線圈回路旋轉完畢

又因為：

(26)

W21=I2ψ21=MI1I2

(27)

由于在整個回路轉動的過程中，始終只有回路l2在轉動，故：

W21=MI1I2,W12=0

(28)

W12+W21=MI1I2

(29)

綜上所述，兩回路中的磁場增量為MI1I2。

3 結語

互感與互感能量的計算是電磁場和電氣工程領域中重要的參數計算，在實際工程領域中，互感能量和自感能量均是與時間或空間位置相關的過程量。本文基于功能關系，從三種不同的角度，通過對充電過程積分和對廣義力矩積分的方式，分別從時間和空間上對于不同電磁環境的電流回路系統的互感能量進行了計算和證明，均得到與現有教材中列出公式一致的結論。本文相對簡單的數學證明和對互感能量形象的詮釋，對現有教材是極大的補充，降低了此知識點的理解難度，使學生更容易接受互感能量計算公式的由來，并對其在空間中的存在方式有更深的理解。