探究規(guī)律巧解題

◎沈良琴

在2018年全國中考數(shù)學(xué)試題中，探究數(shù)與圖形變化規(guī)律的試題給人耳目一新的感覺.這類問題需要仔細(xì)分析變化趨勢，探究其中的規(guī)律，再運(yùn)用規(guī)律解決問題，其樂無窮.下面分析幾道中考題，會(huì)給聰明的你帶來什么樣的啟發(fā)呢？

一、數(shù)的變化規(guī)律

例1（2018·四川綿陽）將全體正奇數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：

1

7 9 11

13 15 17 19

21 23 25 27 29

……

按照以上排列的規(guī)律，第25行第20個(gè)數(shù)是（ ）.

A.639 B.637 C.635 D.633

【解析】根據(jù)三角形數(shù)陣可知，第n行奇數(shù)的個(gè)數(shù)為n個(gè)，則前n-1行奇數(shù)的總個(gè)數(shù)為1+個(gè)，則第n行（n≥3）從左向右的第m個(gè)數(shù)為第個(gè)奇數(shù)，即20時(shí)，這個(gè)數(shù)為252-25+2×20-1=639.故選A.

穆爾創(chuàng)作的動(dòng)物詩歌有著深遠(yuǎn)的歷史背景創(chuàng)作淵源。她對(duì)創(chuàng)作動(dòng)物詩歌的選擇不僅和她 的個(gè)體經(jīng)驗(yàn)有關(guān)而且和社會(huì)發(fā)展有關(guān)。東西方文化為她的詩歌創(chuàng)作注入了新的活力。作為一名現(xiàn)代詩人，穆爾不僅熟悉和運(yùn)用了東西方哲學(xué)思想，而且把自己的寫作與她的人生緊密聯(lián)系一起，把個(gè)體的經(jīng)歷中融入自己的創(chuàng)作中，把瞬息間的思想感情融化在詩行中。

例2（2018·山東日照）定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：①當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，F(xiàn)（n）=3n+1；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)數(shù)的正整數(shù)）……兩種運(yùn)算交替重復(fù)進(jìn)行.例如，取n=24，則：

若n=13，則第2018次“F運(yùn)算”的結(jié)果是（ ）.

A.1 B.4 C.2018 D.42018

【解析】根據(jù)題意，可知

第一次：當(dāng)n=13時(shí)，F(xiàn)①=3×13+1=40，

第三次：當(dāng)n=5時(shí)，F(xiàn)①=3×5+1=16，

第五次：當(dāng)n=1時(shí)，F(xiàn)①=3×1+1=4，

從第四次開始，每兩次運(yùn)算一個(gè)循環(huán)，因?yàn)椋?018-3）÷2=1007……1，則第2018次“F運(yùn)算”的結(jié)果是1.故選A.

二、圖形的變化規(guī)律

例3（2018·湖北隨州）我們將如圖所示的兩種排列形式的點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別稱作“三角形數(shù)”（如1，3，6，10……）和“正方形數(shù)”（如1，4，9，16……），在小于200的數(shù)中，設(shè)最大的“三角形數(shù)”為m，最大的“正方形數(shù)”為n，則m+n的值為（ ）.

A.33 B.301 C.386 D.571

【解析】“三角形數(shù)”圖形中，第1個(gè)圖形有1個(gè)點(diǎn)，第2個(gè)圖形有1+2=3個(gè)點(diǎn)，第3個(gè)圖形有1+2+3=6個(gè)點(diǎn)，第4個(gè)圖形有1+2+3+4=10個(gè)點(diǎn)……第a個(gè)圖形有個(gè)點(diǎn)“.正方形數(shù)”圖形中，第1個(gè)圖形有1個(gè)點(diǎn)，第2個(gè)圖形有22=4個(gè)點(diǎn)，第3個(gè)圖形有32=9個(gè)點(diǎn)，第4個(gè)圖形有42=16個(gè)點(diǎn)……第b個(gè)圖形有，嘗試代入a=20，得不合題意，于是最大的“三角形數(shù)”知b的最大整數(shù)值為14，于是最大的“正方形數(shù)”n=142=196，則m+n的值為190+196=386.

例4（2018·青海）下列圖案是由火柴棒按某種規(guī)律搭成的，第①個(gè)圖案中有2個(gè)正方形，第②個(gè)圖案中有5個(gè)正方形，第③個(gè)圖案中有8個(gè)正方形……則第⑤個(gè)圖案中有_______個(gè)正方形，第n個(gè)圖案中有_______個(gè)正方形.

【解析】∵第①個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)2=3×1-1，第②個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)5=3×2-1，第③個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)8=3×3-1，第④個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)11=3×4-1，第⑤個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)14=3×5-1……則第n個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)為（3n-1）.

例5（2018·重慶B卷）下列圖形都是由同樣大小的黑色正方形紙片組成，其中第①個(gè)圖形中有3張黑色正方形紙片，第②個(gè)圖形中有5張黑色正方形紙片，第③個(gè)圖形中有7張黑色正方形紙片……按此規(guī)律排列下去，第⑥個(gè)圖形中黑色正方形紙片的張數(shù)為（ ）.

A.11 B.13 C.15 D.17

【解析】根據(jù)第①個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)為2×1+1，第②個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)為2×2+1，第③個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)為2×3+1……第n個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)為2n+1，故第⑥個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)為2×6+1=13.故選B.

下面請你開動(dòng)智慧的大腦，解決以下問題：

1.（2018·四川自貢）觀察下列圖中所示的一系列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的.依照此規(guī)律，第2018個(gè)圖形共有____個(gè)○.

2.（2018·江蘇徐州）如圖，每個(gè)圖案均由邊長相等的黑、白兩色正方形按規(guī)律拼接而成.照此規(guī)律，第n個(gè)圖案中白色正方形比黑色正方形多____ 個(gè)（用含n的代數(shù)式表示）.

參考答案：1.6055；2.4n+3.