關于全概率公式和貝葉斯公式教學方法的探討

宋明珠 方連娣

（銅陵學院，安徽 銅陵 244000）

全概率公式和貝葉斯公式是《概率論與數理統計》課程兩個重要的公式，也是教學重難點之一。這兩個公式在經濟決策、產品檢驗和傳染病診斷等方面有著廣泛的應用。在日常教學過程中發現，如果開門見山給出這兩個公式，學生會困惑不解，進而失去學習興趣，更別說用這兩個公式解決實際問題了。為此，本文通過解決日常生活的概率問題，在解決問題的過程中導入全概率公式和貝葉斯公式，將復雜的問題簡單化。在解題的過程中，充分發揮學生學習的積極性，激發學生的學習興趣，進而提高教學效果。

一、全概率公式的導入

從學生感興趣的實際問題出發，導入全概率公式。

引例1：設袋中有5個紅色的玻璃球和5個藍色的玻璃球，玻璃球的形狀大小完全相同，從袋中任取3個玻璃球放入盒中，現從盒中任取一球，求該玻璃球是紅色的概率？

分析：完成試驗，必須分兩步，第一步從袋中取3個球，第二步是在第一步的3個球中任取一球，第二步能否取到紅球，受第一步結果的影響。為此我們設事件B={在盒中取一球是紅色的}，事件Ai={從袋中取出3個球，放入盒中，其中有i個球是紅色的},i=0,1,2,3。事件B發生的概率受第一步試驗結果的影響，為此我們把復雜的事件B化簡成幾個互不相容簡單事件的和。 因為所以 A0，A1，A2，A3是樣本空間Ω的一個完備事件組。

解：由題意可知：

根據互不相容事件的可加性和條件概率公式得：

引例 2：某小組有20名選手，其中一、二、三、四級選手分別為 3、4、9、4名。 若選一、二、三、四級選手參加比賽，則在比賽中獲勝的概率分別為0.9、0.6、0.4、0.3，今隨機選一人參加比賽，試求該小組在比賽中獲勝的概率是多少？

分析:設事件B={小組在比賽中獲勝},事件Ai={該選手來自 i級}，i=1,2,3,4。

解：

在解決上述兩個問題的過程中，我們發現一個共同特點：先找出樣本空間的一個完備事件組Ai，i=1,2,…,n,將復雜事件B分割成幾個互不相容簡單事件的和，利用條件概率公式P(AB)=P(B|A)P(A)(P(A)＞0)計算出條件概率，再利用互不相容事件的可加性，計算出簡單事件的概率和，從而得出事件B的概率?？偨Y解題過程，導入全概率公式：

全概率公式[3]：設A1,A2,…,An為試驗E樣本空間Ω的一個完備事件組P(Ai)＞0,i=1,2,…,n。B是任意事件，則(Ai)P(B|Ai)。

證：由集合的運算性質可知

因為 P(Ai)＞0，i=1,2,…,n 且(BAi)(BAj)= ，i≠j則由互不相容事件的可加性和條件概率公式得：

全概率公式的內涵：全概率公式的“全”是指在解題的過程中找出引起B事件發生的全部“原因”Ai,A2,…,An，這些“原因”構成樣本空間的一個完備事件組。因此，我們在計算P(B)時，首先找出樣本空間的一個完備事件組Ai,A2,…,An，再利用全概率公式計算出P(B)。

二、貝葉斯公式的導入

由同學們熟知的經典誠信故事 “狼來了”引入貝葉斯公式，激發學生的學習興趣。

引例 3 （“狼來了”）設農民開始對這個孩子的可信度為0.9，可信的孩子說謊的概率為0.2，不可信孩子說謊的概率為0.8，試求這個孩子第三次喊“狼來了！”時，農民對這個孩子的可信度是多少？

解:設事件B={孩子可信}，事件A={孩子說謊}，由題意知P(B)=0.9，P(A|B)=0.2。農民第一次聽到“狼來了！”趕到山上后，發現小孩說了謊，此時農民對孩子的可信度為：

農民第二次聽到“狼來了！”趕到山上后，發現小孩再一次說謊，此時農民對孩子的可信度為：

由上述推算過程可知，小孩第二次說謊后，其可信度由原來的0.9下降到0.36，如此低的可信度，導致他第三次喊“狼來了！”的時候，再也沒有人去救他了。

引例4（產品檢驗）每箱產品有10件，其中的次品數從0到2是等可能的，開箱試驗時，從中一次抽取2件（不重復），如果發現有次品，則拒收該箱產品，試計算：

（1）一箱產品通過驗收的概率；（2）已知該箱產品通過驗收，則該箱中有2個次品的概率。解：設 Ai={箱內有 i件次品}，i=0，1，2，顯然 A0,A1,A2是樣本空間的一個完備事件組，

B={該箱產品通過驗收}。由題意可知

（1）由全概率公式，有

（2）由條件概率公式知

對引例3、4的解題過程歸納總結，得出貝葉斯公式如下：

貝葉斯公式[3]：設A1,A2,…An為試驗E樣本空間Ω的一個完備事件組，且 P（Ai)＞0，i=1,2,…，n，則對任一事件 B，(P(B))＞0,有

貝葉斯公式的內涵：已知B事件已經發生，導致B事件發生的 “原因”共有n個，這n個“原因”構成了樣本空間的一個完備事件組。根據貝葉斯公式計算出，導致B事件發生的原因可能性有多大。簡而言之，貝葉斯公式就是“由果索因”。