動量守恒中“毛毛蟲”模型的分析

何江嚴超

（四川省綿陽中學，四川 綿陽）

運用動量定理和動量守恒定律，是處理力學問題的三大方法之一，其重要性不言而喻。同時，也是適用范圍非常廣的物理規律，不僅適用于直線運動，也適用于曲線運動；不僅適用于單個力，還適用于多個力；不僅適用于恒力，還適用于變力。正因為如此，在高中物理教學中，動量和能量一直是學習和考查的重點，又由于其靈活性和普適性，又是學生學習的難點。在歷年高考中都容易失分。因此，為了學好這部分知識，學生需要在掌握好基本的知識方法后，多總結多分類，才能夠深刻理解，達到舉一反三熟練運用的目的。

這其中有一種和彈簧問題相結合的模型：兩個光滑的物體A、B，將輕彈簧連接并使彈簧處于原長，某一時刻給B球一瞬時初速度v0，則以后A、B兩球和彈簧將一起在光滑水平面邊壓縮拉伸邊向前運動，好像毛毛蟲在地面上爬行，我們將這一類問題統稱為“毛毛蟲”模型。現在我們結合幾道例題來剖析一下“毛毛蟲”模型的運動過程及運動過程中的能量、動量特點，掌握了這種模型，很多看似復雜的習題都會變得有規律。

我們先來看一個比較有代表性的例題：

【例題】如下圖所示，兩光滑且平行的固定水平桿位于同一豎直平面內，兩靜止小球m1、m2分別穿在兩桿上，兩球間連接一個保持原長的豎直輕彈簧，現給小球m2一個水平向右的初速度v0。如果兩桿足夠長，則在此后的運動過程中 ( )

A．m1、m2組成的系統動量守恒

B．m1、m2組成的系統機械能守恒

D．當m1速度達到最大時，m2速度最小

例題的前三個選項是對基本知識和基本方法的考查，較簡單。A項考查動量守恒的條件判斷，由于是光滑水平桿，所以兩物體和彈簧組成的系統合外力為零，系統動量守恒，A正確；B項注意敘述是問兩物體的系統機械能是否守恒，由機械能守恒的條件容易知道，應該是兩物體和彈簧這個系統的機械能守恒，B錯誤；C項，由題意知，兩物體速度相同時，彈簧最長，故有m2v0=（m1+解得共速時系統機械能守恒帶入 v共可解得錯誤。

此題的答案就是A項，但是，學生在做此題時，D選項是最不容易弄懂，很有可能會錯選D項。那么怎么才能快速分析出D項正確與否呢？這就需要用到我們總結的“毛毛蟲”模型。

下面我們就先從理論上來分析一下，什么是“毛毛蟲”模型，以及有哪些特點！

考慮如上圖所示的運動情況，一輕彈簧的兩端與質量分別為m1，m2的兩物塊A、B相連接，并靜止在光滑水平面上。現使B獲得水平向右的瞬時初速度v0，從此刻開始計時，兩物塊的速度隨時間變化的規律是怎么樣的呢？

由動量守恒和機械能守恒的條件易知，在之后的運動過程中，系統的動量守恒，機械能也守恒。那么，其特殊時刻的特征量是很好計算的，如下：

a.當彈簧處于原長時，此時刻兩物體的合外力均為零，故其加速度為零，系統滿足兩個守恒方程

從上式兩組解中也不難理解：第一組解就是運動初始狀態，此時彈簧是原長。第二組解就是彈簧第二次處于原長狀態時，觀察解的形式可以發現，此時兩物體的速度與兩物體的質量有關，這就是“毛毛蟲”模型結論多變的主要原因，也是解答例題中D選項的關鍵點。

b.當彈簧處于最大形變量時，此時刻彈簧有可能最長，也可能是最短，故兩物體的加速度最大，而且兩物體速度相同。系統動量守恒

m2v0=（m1+m2）v共解得v共=m2v0/（m1+m2）注意一個細節：v共=

情況a和情況b是彈簧原長和彈簧最大形變量這兩種特殊時刻的特征量，但是其他時刻呢？也就是運動的過程中，兩物體的速度隨時間是怎么變化的呢？下面我們來證明，兩物體的運動滿足：（1）系統質心勻速直線運動；（2）兩物體都做變加速直線運動，速度隨時間的變化滿足正弦型函數關系。（此處的證明需要用到微積分的知識，對高中生不做要求。）

我們建立一個簡單的一維坐標系如上圖（坐標原點沒有標出），m1的位置坐標為 x1，初速度 v10=0，m2的位置坐標為 x2，初速度v20=v0，彈簧原長為L0，則之后的動力學方程為

其通解為x=Acos（ω0t+α）式中得振幅A和初相α由初始時刻t=0時的狀態量確定，由此可知，兩物體的x-t圖和v-t圖均為正弦型函數。

對于m1和m2整體，合外力為零，故質心（位置坐標為xc=一定是做勻速直線運動，故有xc=vct+xc0，對該式兩邊同時求時間的導數可得

（此處也可以用更簡單的思路來得到質心勻速運動的速度，即任取一個特殊時刻算出其質心速度就是質心整個勻速運動的速度，那么我們就選擇彈簧形變量最大時，此時兩物體共速，其速度就是質心勻速運動的速度。）

至此我們證明了，兩物體速度隨時間的變化滿足正弦型函數關系，即v-t圖是正弦型。我們可以繼續分情況討論情況a中，兩物體處于不同的質量關系時，兩物體的運動情況：

情況1，若m1=m2時，則v共=v0/2，作出v-t圖如下：

圖中曲線1對應m1的速度—時間圖像，曲線2對應m2的速度—時間圖像。由v-t圖像的特點我們知道，其斜率大小代表加速度a的大小。顯而易見，當v=v共時，a最大，對應于圖中的t1和t2兩個時刻，由分析可知，t1時刻對應彈簧拉伸最大長時，t2時刻對應彈簧壓縮最短時。當v=0或vm時，a=0，此時彈簧處于原長，顯然，兩物體，一個物體達到最大速度時，另一個物體此時對應最小速度且最小速度等于零。

情況 2，若 m1＜m2時，v共＞v0/2，作出 v-t圖如下：

由圖分析可知，在彈簧再次恢復原長時，m1達到最大值v1，同時m2減小為最小值v2，故有v1=2v共，v2＞0。之后的運動呈現周期性變化，重復前面的運動變化。

情況 3，若 m1＞m2時，則 v共＜v0/2，作出 v-t圖如下：

分析方法同前兩種情況一樣，有v1=2v共，v2＜0。由圖可知，在彈簧再次恢復原長時，m1達到最大值v1，但是此時，m2并不是減小為最小值，而最小值也并不是v2，而是0，這是情況3不同于情況1和情況2的特殊之處。

綜合考慮上面三種情況，我們再來分析例題中的D選項，不難發現，“當m1速度達到最大時，m2速度最小”這種現象要出現，必須要求m1小于等于m2，但是如果此條件不滿足，則當m1還未達到最大速度時，m2就減小到最小速度0了，之后，v1繼續增大，而v2則是開始反向加速了。

通過上面的分析，我們在熟練掌握了動量守恒和機械能守恒的基礎上，靈活運用v-t圖也是可以解決彈簧這一類較困難的“毛毛蟲”模型。

通過對“毛毛蟲”模型理論上的研究，以及對上面例題的求解和分析，我們可以找到學習物理的規律：對一類有共同的特點的物理現象加以研究，掌握這種物理模型的規律，讓我們對物理知識的理解會更透徹，使我們學習物理更輕松有趣，這也是我們學習的重要目的之一。