大口徑透鏡柔性支撐結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與分析

趙勇志，曹玉巖，韓西達(dá)，李玉霞

（中國(guó)科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，長(zhǎng)春 130033）

對(duì)于大口徑透鏡（直徑或長(zhǎng)度大于300mm），傳統(tǒng)剛性支撐因溫度適應(yīng)性差已無(wú)法滿足要求，越來(lái)越多的大口徑透鏡采用基于quasi-kinematic原理的柔性支撐結(jié)構(gòu)，如圖1所示，具有支撐剛度高、溫度適應(yīng)性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、無(wú)摩擦和滯后效應(yīng)等優(yōu)點(diǎn)。從經(jīng)典三點(diǎn)柔性支撐結(jié)構(gòu)出發(fā)，支撐結(jié)構(gòu)可演化為多種形式，如圖1（a）～（i）所示，其中（a）為詹姆斯韋伯望遠(yuǎn)鏡中氟化鋰透鏡的柔性支撐結(jié)構(gòu)[1]，（b）為Subaru望遠(yuǎn)鏡近紅外光譜儀UK-FMOS中透鏡的柔性支撐結(jié)構(gòu)[2]，（c）為MMT望遠(yuǎn)鏡Binospec光譜儀透鏡的柔性支撐結(jié)構(gòu)[3]，（d）為火星紅外光譜儀中橢圓分色鏡的柔性支撐結(jié)構(gòu)[4]，（e）為GOES-R中先進(jìn)成像儀分光平面鏡的柔性支撐結(jié)構(gòu)[5]，（f）為韓國(guó)空間光學(xué)中心研制的bipod型支撐結(jié)構(gòu)[6]，（g）為L(zhǎng)MSSC公司空間近紅外相機(jī)的六點(diǎn)柔性結(jié)構(gòu)[7]，（h）和（i）為長(zhǎng)春光機(jī)所研制的分別用于空間光學(xué)遙感器大口徑主反射鏡的Cartwheel型柔性支撐結(jié)構(gòu)[8]和光刻物鏡中透鏡軸向支撐的多點(diǎn)柔性支撐結(jié)構(gòu)[9-11]。盡管柔性支撐結(jié)構(gòu)形式不同，但其本質(zhì)特征與經(jīng)典三點(diǎn)柔性支撐結(jié)構(gòu)類(lèi)似，即由多個(gè)柔性環(huán)節(jié)并聯(lián)或串聯(lián)而成，利用結(jié)構(gòu)的柔度特性來(lái)適應(yīng)環(huán)境溫度變化引起的溫度應(yīng)力，利用結(jié)構(gòu)的剛度特性來(lái)約束光學(xué)元件的位置。與金屬材料相比，很多光學(xué)材料如氟化鋰和硒化鋅等雖具有優(yōu)異的光學(xué)性能，但力學(xué)性能差且熱脹系數(shù)高[12]，當(dāng)溫度變化范圍較大時(shí)，將會(huì)發(fā)生較大的熱變形，大口徑透鏡的變形將更為顯著，這些熱變形會(huì)給支撐結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)帶來(lái)巨大的挑戰(zhàn)。

圖1 典型柔性結(jié)構(gòu)

透鏡支撐結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)目標(biāo)包括[13]：（1）減小或消除可能造成鏡面變形的局部應(yīng)力；（2）補(bǔ)償由支撐結(jié)構(gòu)和鏡體的不同熱變形引起熱應(yīng)變或應(yīng)力；（3）定位精度高，即在不同方位下因透鏡重力引起剛體位移盡可能小。理想的支撐方式是含有三個(gè)正交軸的運(yùn)動(dòng)學(xué)支撐，能夠約束鏡體的三個(gè)位置和三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度[14]。然而，由于點(diǎn)接觸會(huì)造成較大的局部應(yīng)力，很難應(yīng)用在實(shí)際支撐結(jié)構(gòu)中。在實(shí)際中，通常采用含有有限接觸面積的準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)學(xué)（Semi-kinematic）支撐方式，能夠有效的分散局部應(yīng)力。柔性結(jié)構(gòu)以其重復(fù)精度高、無(wú)摩擦、加工制造容易且成本低等優(yōu)點(diǎn)，作為一種準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)學(xué)支撐方式廣泛應(yīng)用于支撐結(jié)構(gòu)中[15-17]。與傳統(tǒng)柔性機(jī)構(gòu)不同，透鏡支撐結(jié)構(gòu)中采用的柔性結(jié)構(gòu)主要用于減小鏡面變形且保持光軸位置，而并非產(chǎn)生線性或精密運(yùn)動(dòng)。

盡管柔性支撐結(jié)構(gòu)具有以上優(yōu)點(diǎn)，但其力學(xué)模型非常復(fù)雜，尤其是多個(gè)柔性單元同時(shí)作用。趙磊等[9]設(shè)計(jì)了光刻投影物鏡透鏡的軸向多點(diǎn)柔性支撐結(jié)構(gòu)，將彈性片簡(jiǎn)化為懸臂梁模型，但對(duì)彈性片的數(shù)目與面形精度的關(guān)系未作深入分析。李宗軒等[8]針對(duì)空間遙感器大口徑主反射鏡提出了Cartwheel型雙軸柔鉸支撐結(jié)構(gòu)，采用無(wú)量綱設(shè)計(jì)方法確定結(jié)構(gòu)參數(shù)，盡管滿足了設(shè)計(jì)要求，但無(wú)法確定此參數(shù)為最佳。Chin David等[13]和曹玉巖等[18，19]已對(duì)反射鏡支撐結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)目標(biāo)作了明確的描述，其要求是相互矛盾的，即將反射鏡牢固的支撐在固定位置需要支撐應(yīng)力來(lái)平衡反射鏡重力，但支撐應(yīng)力又將導(dǎo)致鏡面變形。這兩方面要求給支撐結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)帶來(lái)困難，尤其是柔性支撐結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)。

為解決上支撐結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問(wèn)題，需根據(jù)使用要求對(duì)各個(gè)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，進(jìn)而得到合理的結(jié)構(gòu)方案，而實(shí)現(xiàn)以上目的的關(guān)鍵是柔性支撐結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型。為此，本文針對(duì)一種圓弧形柔性支撐結(jié)構(gòu)的建模方法進(jìn)行了深入研究。

1 柔性支撐結(jié)構(gòu)原理及簡(jiǎn)化

柔性支撐結(jié)構(gòu)概念由 Yolder[20，21]提出，如圖 1所示，由多個(gè)均勻分布的相同柔性單元構(gòu)成。通常，透鏡與支撐結(jié)構(gòu)材料的熱變形系數(shù)不一致，環(huán)境溫度變化會(huì)引起不一致的結(jié)構(gòu)變形或應(yīng)力，進(jìn)而影響鏡面面形精度。柔性支撐結(jié)構(gòu)在熱變形方向上（徑向）具有較大柔度，因此可有效減小由不一致的熱變形引起的溫度應(yīng)力。此外，在其他方向上（如切向），具有較大剛度，能夠保證支撐結(jié)構(gòu)的定位精度。

如圖1所示，為滿足不同的需求，柔性支撐結(jié)構(gòu)可設(shè)計(jì)為多種形式，本文僅研究如圖2所示的圓弧形柔性支撐結(jié)構(gòu)，所提出的分析方法可推廣應(yīng)用于其它類(lèi)型柔性支撐結(jié)構(gòu)的分析與設(shè)計(jì)。柔性支撐結(jié)構(gòu)總體結(jié)構(gòu)如圖2（a）所示，主要包括外框架、柔性環(huán)節(jié)和透鏡，透鏡與柔性環(huán)節(jié)在連接點(diǎn)處粘接在一起，三維結(jié)構(gòu)如圖2（c）所示。

為研究圖2（b）所示柔性環(huán)節(jié)在x-y平面內(nèi)的力學(xué)特性，即面內(nèi)剛度或柔度特性，對(duì)結(jié)構(gòu)模型作如下簡(jiǎn)化：（1）與結(jié)構(gòu)變形相比，透鏡變形非常小可忽略，即結(jié)構(gòu)中除柔性單元外其余部分視為剛體；（2）圓弧形柔性單元簡(jiǎn)化為兩端固支的超靜定曲梁，中點(diǎn)作用集中載荷。

圖2 透鏡柔性支撐結(jié)構(gòu)

2 力學(xué)建模

2.1 柔性單元建模

圖2所示的柔性支撐結(jié)構(gòu)，關(guān)鍵部分為對(duì)稱(chēng)分布的圓弧形柔性單元，其簡(jiǎn)化模型為如圖3所示的超靜定結(jié)構(gòu)。由于透鏡可視為剛體，且柔性支撐結(jié)構(gòu)與透鏡粘接在一起，因此在每個(gè)粘接點(diǎn)（Pi）處存在轉(zhuǎn)動(dòng)約束（Rotz=0）。圖3所示柔性單元的力學(xué)特性由曲率半徑R，厚度t，面外寬度b及中心角2θ決定，其中θ由切口數(shù)目確定。

圖3 柔性單元模型

柔性單元的面內(nèi)（x-y）應(yīng)變[22]為：

式中，y為厚度方向坐標(biāo)。

中面應(yīng)變?chǔ)?和曲率變化κ0分別為：

式中，u和w分別為中面切向和徑向位移，s=Rφ為曲線坐標(biāo)。

由（1）-（3）式并利用虛功原理[19]可得柔性單元的徑向位移和切向位移分別為：

式中，Cij(i=1,2,…,6;j=1,2)為與集中載荷有關(guān)的常數(shù)。

令φ=0即可得到柔性單元的徑向及切向剛度分別為：

由式（6）和式（7）可知，徑向載荷僅引起柔性單元的徑向位移，切向載荷僅引起切向位移。

2.2 結(jié)構(gòu)整體建模

圖2所示柔性環(huán)節(jié)的力和位移分析如圖4所示，其中β為初始角度。圖中Fi表示連接點(diǎn)Pi處的外力，可將其分解為徑向力和切向力Fir和Fit，F(xiàn)iy和Fix為Fi的豎向分力和水平分力，δir和δit表示連接點(diǎn)Pi處的徑向位移和切向位移，δiy和δix表示豎向位移和水平位移，n為切口數(shù)目。

將Fiy和Fix用徑向力和切向力Fir和Fit表達(dá)為

圖4 柔性環(huán)節(jié)力與位移分析

若外力F施加在y軸方向，對(duì)各點(diǎn)分力求和可得：

將δiy和δix用徑向和切向位移δir和δit表示，且利用透鏡剛體假設(shè)，即則各連接點(diǎn)Pi處的位移一致，則由式（8）-（11）可得：

若n＞2，則求和表達(dá)式和與初始角β無(wú)關(guān)，且均等于n/2。柔性環(huán)節(jié)的剛度為：

至此，推導(dǎo)出了柔性支撐結(jié)構(gòu)的整體剛度表達(dá)式（13），為徑向剛度和切向剛度的線性組合，與初始角度β無(wú)關(guān)。

3 數(shù)值仿真與實(shí)驗(yàn)

考慮如圖2所示的透鏡柔性支撐結(jié)構(gòu)，支撐結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)需要考慮多方面因素，如材料選擇、工作環(huán)境、結(jié)構(gòu)參數(shù)等。為了驗(yàn)證本文提出的圓弧形柔性支撐結(jié)構(gòu)及推導(dǎo)的力學(xué)模型，進(jìn)行了相應(yīng)關(guān)仿真分析及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，具體內(nèi)容如下。

3.1 柔性支撐結(jié)構(gòu)力學(xué)模型驗(yàn)證

為了本文推導(dǎo)的柔性支撐結(jié)構(gòu)力學(xué)模型，建立如圖5所示的實(shí)驗(yàn)測(cè)試裝置，包括力傳感器（load-cell）、位移平臺(tái)、光柵位移傳感器、PC計(jì)算機(jī)。位移傳感器和力傳感器測(cè)量的數(shù)據(jù)通過(guò)計(jì)算機(jī)串口（RS232）同時(shí)采集到計(jì)算機(jī)中。力傳感器精度為0.01N，光柵位移傳感器的精度為0.1μm。這里需要說(shuō)明，本部分主要測(cè)試力學(xué)模型，而對(duì)包含透鏡的支撐結(jié)構(gòu)進(jìn)行測(cè)試容易破壞透鏡，因此本部分采用模擬結(jié)構(gòu)進(jìn)行測(cè)試，與實(shí)際支撐結(jié)構(gòu)有所區(qū)別。

圖5 柔性環(huán)節(jié)實(shí)驗(yàn)測(cè)試裝置

對(duì)柔性支撐結(jié)構(gòu)施加一個(gè)的作用力，測(cè)量施力點(diǎn)的位移，采用有限元軟件對(duì)該過(guò)程進(jìn)行線性和非線性仿真，然后比較理論、實(shí)驗(yàn)及仿真結(jié)果。實(shí)驗(yàn)件模型如圖6所示，材料選擇鈦合金TC4，其材料參數(shù)如表4所示，實(shí)驗(yàn)件的幾何參數(shù)如表1所示。

表1 幾何參數(shù)

圖6 環(huán)形柔性結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)件

為了驗(yàn)證支撐結(jié)構(gòu)整體力學(xué)模型，針對(duì)圖6所示的圓弧形柔性結(jié)構(gòu)，考慮到圓周方向上的對(duì)稱(chēng)性，測(cè)試方向如圖7所示。對(duì)結(jié)構(gòu)不同方向上的剛度進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試及有限元仿真計(jì)算，結(jié)果如圖8所示。

圖7 環(huán)形柔性結(jié)構(gòu)剛度測(cè)試方向

圖8 環(huán)形柔性結(jié)構(gòu)剛度測(cè)試與仿真結(jié)果

通過(guò)比較理論、仿真及實(shí)驗(yàn)結(jié)果可得出如下結(jié)論：（1）1#實(shí)驗(yàn)件理論、實(shí)驗(yàn)及有限元仿真結(jié)果吻合非常好。（2）4#實(shí)驗(yàn)件結(jié)果間存在一定的偏差，但理論與線性和非線性有限元仿真結(jié)果一致，表明了誤差主要來(lái)源于加工。（3）在各個(gè)測(cè)試方向上，3#和4#實(shí)驗(yàn)件的實(shí)測(cè)位移數(shù)據(jù)基本一致，表明在各測(cè)試方向上具有相同的整體剛度，與理論分析一致。

3.2 支撐結(jié)構(gòu)整體熱變形仿真分析

透鏡圓弧形柔性支撐結(jié)構(gòu)如圖2所示，各組成部分材料參數(shù)如表2所示。為了匹配透鏡材料與結(jié)構(gòu)材料之間熱脹系數(shù)的差異性，在柔性支撐結(jié)構(gòu)與透鏡連接處增加了粘接墊，其材料為4J32，粘接墊的熱脹系數(shù)可調(diào)節(jié)為與透鏡材料一致，進(jìn)而減少因熱脹系數(shù)差異性引起的熱應(yīng)力，粘接墊與透鏡及柔性環(huán)節(jié)之間通過(guò)環(huán)氧膠粘接。結(jié)構(gòu)幾何及材料參數(shù)如表3和表4所示。

表2 材料及單元類(lèi)型

表3 幾何參數(shù)

表4 材料參數(shù)

透鏡柔性支撐結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的目標(biāo)是盡可能提高透鏡位置精度和面形精度。透鏡位置偏差主要由柔性支撐結(jié)構(gòu)的整體剛度及透鏡重力決定，光軸水平時(shí)位置誤差達(dá)到最大值。為了提高位置精度，柔性支撐結(jié)構(gòu)要求具有較高的剛度。面形精度主要由柔性支撐結(jié)構(gòu)中各個(gè)柔性單元徑向支撐剛度決定，徑向支撐剛度越大，相同熱變形產(chǎn)生的熱應(yīng)力將會(huì)越大，進(jìn)而導(dǎo)致面形誤差越大。為了提高面形精度，柔性單元應(yīng)具有較大的柔度。為解決上述相互矛盾的設(shè)計(jì)目標(biāo)，需要根據(jù)使用要求，對(duì)各設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行匹配，進(jìn)而得到合理的方案。

柔性支撐結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)包括確定柔性環(huán)節(jié)切口數(shù)目n、柔性片厚度t、面內(nèi)寬度b。針對(duì)表3給出的透鏡參數(shù)對(duì)不同設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行仿真分析，透鏡光軸位移及柔性環(huán)節(jié)徑向剛度如圖9和圖10所示，其中圖9所示曲線從下至上寬度b依次取值為6、8、10、12、14、16mm，圖10所示曲面從下至上切口數(shù)目n依次取值為6、8、10、12。從圖9中可以看出，透鏡光軸位移隨著柔性片厚度t、寬度b及切口數(shù)目n的增大而減小，厚度t對(duì)位移的影響顯著，在t≥0.4mm且n≥8時(shí)，光軸位移均小于0.05mm（位置公差要求）。此外，由圖10可以看出，隨著柔性片厚度t、寬度b及切口數(shù)目n的增大，徑向支撐剛度Kr增大，而徑向支撐剛度會(huì)直接影響透鏡面形精度，因此徑向支撐結(jié)構(gòu)不宜過(guò)大。綜合以上兩方面因素，柔性支撐結(jié)構(gòu)寬度應(yīng)盡可能大，厚度t應(yīng)盡可能薄，最終確定柔性支撐結(jié)構(gòu)切口數(shù)目為8，寬度b為16mm。

圖9 透鏡光軸位移變化

圖10 柔性單元徑向剛度

為了驗(yàn)證柔性支撐結(jié)構(gòu)的溫度適應(yīng)性，對(duì)8切口圓弧形柔性支撐結(jié)構(gòu)，按表2-表4所示參數(shù)建立結(jié)構(gòu)有限元模型如圖11所示，環(huán)境溫度-40℃～+40℃，柔性片厚度為0.2mm～0.5mm情況下，分析透鏡柔性支撐結(jié)構(gòu)整體性能。透鏡的面形RMS和鏡面PV值如圖12和圖13所示。

圖11 支撐結(jié)構(gòu)有限元模型

圖12 鏡面RMS值

從圖12和圖13中可以看出，由于支撐結(jié)構(gòu)與透鏡材料熱脹系數(shù)存在偏差，環(huán)境溫度變化時(shí)鏡面與支撐結(jié)構(gòu)間會(huì)產(chǎn)生熱應(yīng)力進(jìn)而影響鏡面面形精度。在除20℃外的任意溫度下，隨著徑向剛度的增大，鏡面RMS值和PV值隨之變大。綜合比較透鏡的位置精度及面形精度，即圖9和圖12，可發(fā)現(xiàn)柔性片厚度為0.4mm情況下透鏡的面形精度及光軸位移均比較理想，因此最終設(shè)計(jì)參數(shù)確定為：n=8，b=16mm，t=0.4mm。環(huán)境溫度-40℃條件下，透鏡的應(yīng)力分布如圖14所示，從圖中可看出，溫度應(yīng)力主要集中在柔性環(huán)節(jié)與透鏡的粘接區(qū)域，表明柔性支撐結(jié)構(gòu)能夠有效緩解透鏡與支撐結(jié)構(gòu)間的熱應(yīng)力，使透鏡的溫度應(yīng)力均集中在連接點(diǎn)附近的小區(qū)域內(nèi)，進(jìn)而改善透鏡面形精度。

圖14 透鏡的應(yīng)力分布

4 結(jié)論

本文針對(duì)光學(xué)元件支撐結(jié)構(gòu)中廣泛采用的圓弧形柔性結(jié)構(gòu)進(jìn)行了理論分析，并進(jìn)行了有限元仿真及實(shí)驗(yàn)。首先，圓弧形柔性支撐結(jié)構(gòu)由圓周對(duì)稱(chēng)分布的柔性單元組成，將柔性單元簡(jiǎn)化為超靜定圓弧梁，推導(dǎo)了柔性單元的徑向及切向剛度。然后，假設(shè)透鏡為剛體，根據(jù)力平衡條件及變形協(xié)調(diào)條件，推導(dǎo)了環(huán)形柔性結(jié)構(gòu)的整體剛度。最后，對(duì)推導(dǎo)的力學(xué)模型進(jìn)行了有限元仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

有限元仿真及實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果表明：推導(dǎo)圓弧形柔性支撐結(jié)構(gòu)整體剛度與有限元及實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果相吻合，誤差小于3%，表明本文推導(dǎo)的理論模型能夠用于柔性支撐結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)與分析。此外，通過(guò)對(duì)300mm透鏡仿真分析，表明柔性支撐結(jié)構(gòu)能夠有效的降低透鏡與支撐結(jié)構(gòu)間的溫度應(yīng)力，進(jìn)而提高支撐性能。