遵循學生的數學思維規律教學
——“等比數列（第1課時）”教學設計與思考

/錢淑華 查曉東

一、教材分析

1.教材的地位和作用。

“等比數列”是蘇教版必修5第2章“數列”第3節中的知識，其主要內容包括等比數列的概念，等比中項和等比數列的通項公式，以及這三者的應用。這節課有著承上啟下的作用，“承上”體現在承接了等差數列的相關知識和方法，“啟下”體現在為等比數列的性質和前n項和的探究提供了方法和理論基礎。

利用數列知識的特性，利用等比數列與等差數列內容和思想方法上的相似性，加強對數學規律的探究，提高學生的觀察、分析、猜想、歸納、類比的綜合思維能力，發展學生的邏輯推理和數學運算等數學學科核心素養。

2.教材的處理。

為調動學生的探求欲望，激發學生的學習興趣，從生活中的例子引入，結合學生自己的舉例，讓學生感受到數學源于生活。在與等差數列的類比中，通過教師由淺入深的問題設置，引導學生自主探究、合作交流、共享提升，完成等比數列的學習。另外，利用好教材上的例題和課后的練習，讓其發揮更大的價值。在問題設置和例題變題中加深學生對等比數列概念及其通項公式的理解，初步掌握等比數列的常規解題思路和技巧。

二、學生認知水平分析

學生已經系統學習了等差數列的基礎知識，具備了研究特殊數列的基本思路和方法。

對于數列中歸納的思想、方程的思想，在等差數列的學習中，學生已有體會。

三、基于核心素養的教學目標分析

知識目標：理解等比數列的概念，掌握等比中項的定義，掌握等比數列的通項公式及公式的推導方法，并會利用概念判斷等比數列，利用通項公式解決等比數列的基本量的運算。

能力目標：培養學生的觀察、分析、猜想、歸納、類比的綜合思維能力，發展學生的邏輯推理和數學運算等數學學科核心素養。

情意目標：通過本節課的學習感受數學的應用價值、文化價值和科學價值，激發學生的學習興趣，形成學習數學知識、了解數學文化的積極態度；通過主動探究、合作學習、相互交流，培養學生互助合作的學習習慣，形成勇于探索的良好品質，增強數學的應用意識。

數學核心素養目標：見表1。

四、教法學法分析

歸納與類比的思想貫穿了本節課的始終。利用類比，聯系等差數列的概念及通項公式的學習方法，設置問題串，引導學生自主探究、合作共享，充分發揮學生的主觀能動性，突出學生的主體作用，體現教為主導、學為主體的教學思想。

五、重點與難點

重點：等比數列的概念及等比數列通項公式的推導。

難點：等比數列概念的形成和理解，通項公式的推導和證明。

六、教學過程

1.情境引入。

（1）用生活中的例子引入：《舌尖上的中國》第一季中，曾經介紹了一種主食——蘭州拉面，你們吃過嗎？見過拉面是怎么來的嗎？從最初的1根，變成2根，4根，8根……如果你是拉面師傅，你能拉出幾根？

（2）我們今天要研究的就是這個數列：1，2，4，8，16，32，……，512。

①這個數列，是我們前面學習的等差數列嗎？

②這個數列是否有和等差數列相類似的特殊性？

③你能給這個數列起個名字，下個定義嗎？怎么會想到起這個名字？

（設計意圖：從生活中的實例引入，調動學生上課的熱情，提高學生的課堂投入度。培養學生用數學的眼光看待生活，觀察問題時善于從表象逐步過渡到本質，從具體抽象到一般（從生活到數學）；解決問題時善于將數學概念和定理具體化，用于認識并解決現實中的問題（從數學到生活）。通過對等差數列概念的回顧，通過新數列與等差數列的對比，引出本節課的主題。在給新數列起名這一環節，已經蘊含了類比的思想在里面。）

2.概念生成。

（1）引導學生類比等差數列的定義來描述，注重語言描述的規范性和嚴謹性。

（2）尋找生活中、以往學習中遇到的等比數列的例子，學生小組討論、交流，班級分享，教師補充。

①教材上的例子：細胞分裂；一尺之棰，日取其半，萬世不竭。

②生活中的例子：銀行貸款利息支付問題，汽車折舊問題。

③其他例子：放射性元素的衰變問題；《九章算術》中“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”古代詩歌“遠望巍峨塔七層，紅燈向下成倍增，共燈三百八十一，試問塔頂幾盞燈？”

④小結：這些例子讓我們真真切切地感受到：數學源于生活，并用于生活。

（3）比較等比數列和等差數列的定義，僅一字之差，變化在哪兒？引導學生思考這一字的變化對等比數列的項和公比提出的要求。

表1

（4）兩個數列之間有不同，也有很多的相似。既然如此相似，請大家思考兩個問題：我們可以用什么方法去研究等比數列？我們去研究等比數列的哪些內容？再次深化利用類比的方法，借助等差數列研究的內容和方法去研究等比數列的概念、性質、通項公式、前n項和及應用。

（5）引出本節課的主要任務：等比數列的概念和通項公式。

（設計意圖：通過小組討論的形式，來分享本小組認為最有價值的例子，加深對等比數列概念的認識，同時培養學生合作探究、合作學習的能力。引導學生得到本節課的重要研究方法——類比，后續等比數列的研究內容和研究方法都可以類比等差數列進行。在兩個數列概念的比較中，尋找兩個數列的差異，歸納出等比數列的個性之處。）

3.概念深化。

（1）通過兩個例題加深對概念的理解。

例1：判斷下列數列是否為等比數列。若是，求出公比。

（設計意圖：通過正反例題的辨析，讓學生進一步理解定義中關鍵詞的意義，深化學生對“等比”這一本質特征的認識。例題的第5小題，體現了由具體到抽象，由特殊到一般，再次強化了類比思想，培養學生的歸納能力、抽象概括能力。第5小題還有變式：an=3n+1還是等比數列嗎？在對變式的講解與分析中，教師可歸納總結“證明一個數列是等比數列”和“說明一個數列不是等比數列”的不同處理手段。）

（設計意圖：通過練習，深化學生使用定義解決問題的意識，讓學生深刻理解概念是解決問題的有力工具。在本題的講解中，教師應引導學生思考：若a，G，b成等比數列，則G2=ab，反之成立嗎？給出實數a，b，一定存在等比中項嗎？滿足什么條件才有等比中項？有幾個？）

4.公式推導。

①你能寫出該數列的第5項，第100項嗎？在蘭州拉面例子中的數列，你能寫出它的通項公式嗎？

②你是用哪些量來計算上述數列的第100項，刻畫數列的通項公式的？

③你又是用什么方法得到通項公式的呢？

（設計意圖：通過問題串的形式指出研究通項公式的合理性和必要性。引導學生類比等差數列通項公式的推導方法（累加法），類比得到累乘法。類比的思想在“累乘法”的引出時得到了進一步強化。在累乘法的推導中還要注意嚴謹性。）

例3：已知等比數列{an}的通項公式為an=3×2n，求首項 a1和公比 q。

例4：在等比數列{an}中，①已知 a1=3，q=-2，求 a6；②已知 a1=1，q=2，an=16，求 n；③已知 a3=20，a6=160，求 an。

（設計意圖：例3的設置旨在從函數的角度來研究數列。函數思想是高中數學重要的思想之一，數列是一種特殊的函數，引導學生從函數的角度去認識數列、理解數列、靈活解題，為今后利用函數思想解決數列綜合題作鋪墊。例4的設置則是從方程的角度研究數列。方程的思想在等差數列的學習中已有涉及，此處的設計意在強化學生對比的認識。）

5.總結升華。

（1）回到一開始的兩個問題：“我們可以用什么方法去研究等比數列？我們去研究等比數列的哪些內容？”你是不是有更深的認識了？請起來分享一下你的認識與收獲。

（2）教師點評，小結。

知識層面，學習了等比數列的概念、通項公式以及延伸的相關知識。方法層面，體驗了對具有相似性的兩個問題，類比是一個很好的研究方法。方程的思想，歸納的思想在本節課中同學們已經深有體會了。等比數列的研究還沒有結束，還有性質、前n項和等有待探討。同學們可以課后自行去探索，看看能類比總結出等比數列的哪些性質。

6.學以致用。

（1）完成書上第 54 頁的1，4，5，6，8，10，12題。

（2）一位科學家曾豪言：你如果能將一張紙對折38次，我就能順著它爬上月球。請課后去算算（紙張厚度以0.07mm為標準），這位科學家為何敢夸下海口？

（3）利用身邊的資源（老師、父母、網絡、典籍等），去關注等比數列在生活中的應用。

（設計意圖：作業的設置體現多樣性，既有鞏固課堂知識的練習題，也有課外探究題，以激發學生的數學學習興趣。第3題的設置讓學生感受數學源于生活，又應用于生活。）

【團隊推薦】

“涵養基本素質，提升課堂品質”，這是2018年“杏壇杯”課堂教學展評活動的主題。圍繞著這個主題，結合當下教育界呼吁提升學生數學核心素養的現實狀況，錢淑華老師以參加此次活動的教學設計為依托，進行了一次數學核心素養視角下課堂教學設計的大膽嘗試。

“涵養”一詞言簡意賅，而又韻味無窮，有滋潤養育的意味，也就是說我們的課堂教學要將提升學生的數學核心素養滲透到教育教學的各個環節，需要我們有一種“潤物細無聲”的意識。錢淑華老師通過教材分析、學生學情的解讀，結合本次活動的主題擬定的這份教學設計，充分體現了錢老師對新課標以及本次活動主題的認識和理解，筆者認為這是一份有高度、有深度且不乏細節的課堂教學設計。

情境引入，通過生活實際的有趣例子或者從數學知識內部產生的有趣問題引出課題，以此來激發學生的學習興趣，這幾乎成了近些年來各類公開課的必要環節。而實踐表明，很多的情境設計生搬硬套的味道很重，因此一度有不少專家呼吁不如“開門見山”更自然一些。筆者認為，錢老師的情境引入從“蘭州拉面”中抽象出等比數列的概念，不僅貼近學生的生活實際，體現數學源于生活，更讓學生充分感受到數學不僅是有用的，同樣也是有趣的，有效地調動了學生的求知欲，開場就給學生一種自然而然的親近感，同時不知不覺間也讓學生感受到學習本課的必要性。

小組討論是很多公開課體現以學生為主體的主要方式，南京教科所左坤所長在本次數學賽場點評中提出了一個令人深思的問題：“我們的課堂教學經得起推敲嗎？”這表明在課堂教學的具體實施過程中，能做到由表及里的情況并不多見。錢老師在概念生成部分的設置引導學生從生活實際中抽象出等比數列的實例，一方面有利于提升學生的數學抽象能力，同時讓全班學生一起參與思考、交流，也鍛煉了學生的表達能力和合作意識。此外，大量的實例也為概念最終的生成做好了充分的準備，這是從一般到特殊，最終又回到一般的過程。

數學概念或者是人類智慧的千錘百煉的結晶，或者是數學家的頓悟，其概括性、抽象性、嚴謹性是不言而喻。因此筆者以為，學生對概念的理解從來都不是一蹴而就的。錢老師在教學設計的概念深化部分，通過等比數列的判定，從正反兩個方面讓學生充分感受數學概念的嚴謹性，結合學生對等差數列的認識和理解，不僅讓學生感受到等比數列作為數列的“共性”以及其特有的“個性”，同時滲透了對含有邏輯連接詞的命題的否定的相關知識，為學生今后學習簡易邏輯知識埋下伏筆。

類比和歸納是我們數學邏輯思維的兩種最重要的途徑：從等比數列的定義出發，類比等差數列的通項公式，通過推導等比數列通項公式，讓學生理解an與基本量a1，q的關系，并充分體驗類比思想在數學中的作用；通過等比數列指定項的探求來推測通項，這種從特殊到一般的思維過程也恰恰是華羅庚先生“退步解題”思想的體現。