提高運載火箭模態頻率預示精度的方法與模型修正策略

劉 博，牛智玲，李炳蔚，南宮自軍，韓敬永

（中國運載火箭技術研究院，北京，100076）

0 引 言

一個型號成功的運載火箭往往會用于發射不同的有效載荷，這些有效載荷總質量和質量分布差異可能會較大，但是不可能針對所有運載對象都開展模態試驗。另外，運載火箭在飛行過程中隨著燃料的消耗質量不斷變化，也無法開展所有飛行秒點模態試驗。針對這些問題，工程中一般采用配備典型有效載荷的火箭特征飛行秒狀態模態試驗結果修正其有限元模型，進而計算獲得不同有效載荷或其余飛行秒狀態的模態參數。因此，模型修正是運載火箭結構動力學設計中的重要環節。

模型修正技術從 20世紀 80年代到現在，經過30多年的發展，得到廣泛應用和深入研究[1,2]。張平安[3]等提出了一種基于混合人工魚群算法的有限元模型修正方法，并以經典的GARTEUR飛機模型為例，驗證了方法的可行性和有效性；林宏[4]等將連接剛度不連續處理方法、液體耦合質量單元等運載火箭動特性專業最新研究成果應用于火箭模型修正取得了很好的效果；王樂[5～7]等分別將全局優化算法和局部優化算法與導彈結構動力學相結合，提出了多種導彈模型修正方法。

如前所述，運載火箭模型修正的目的并不在于獲取試驗對象的模態參數，而是預示以下幾種情況飛行器的模態參數：a）更換有效載荷或設備；b）未開展試驗的秒狀態；c）消除試驗中工裝附加質量的影響。這幾種情況的共同特點是火箭剛度基本保持不變，質量發生了變化。因此，本文對基于模型修正的運載火箭模態參數預示中提高頻率預示精度的方法進行探討。

1 提高頻率預示精度的方法

針對姿態控制系統設計和飛行器動載荷設計需求，一般在運載火箭的整體結構動力學建模時建立集中質量-梁模型[8]。基于實模態理論，計算火箭固有模態參數的結構動力學方程為

式中 M，K分別為火箭結構質量矩陣和剛度矩陣；x為位移向量；˙˙x為加速度向量。

在航天工程中，火箭質量分布參數一般由分站質量給出，因此在有限元建模時采用集中質量單元，矩陣M為對角陣。模型修正的過程就是通過調整有限元模型中的物理參數，從而改變剛度矩陣K，使得有限元計算的模態參數結果與試驗結果一致。

求取式（1）描述系統的模態參數最終將歸結為求解如下的廣義特征問題：

式中 ω，ψ分別為模態的固有圓頻率和模態振型。n自由度系統具有n個固有頻率和n個模態振型，描述為rω和rψ，

假設某一修正后的有限元模型剛度矩陣為1K，對應計算獲得的第r階固有頻率為1rω，那么頻率的相對誤差為

更換有效載荷后，即質量矩陣M中某一個或某幾個對角線元素改變，為了分析以此有限元模型計算的帶新有效載荷火箭模態參數的誤差變化情況，可以考察式（3）中誤差對質量變化的靈敏度。本文只推導一個質量矩陣元素變化的情況，多個元素變化的情況可疊加處理，規律相同。

對式（3）兩邊求導得：

式中im為泛指M的一個元素。

由式（2）不難得到：

式中irψ為第r階振型的第i個自由度分量；rM為第r階模態質量。將式（5）代入式（4）得：

利用這一重要規律，在模型修正不能同時兼顧頻率與振型時，可以適當放寬頻率修正誤差，確保振型的一致性，然后利用修正后模型預示質量變化后的火箭模態頻率時，進行誤差補償即可很大程度上消除修正誤差，確保頻率預示精度。實際上，這樣做也同時提高了振型預示的精度。

假設質量變化后火箭的第r階實際模態頻率為rω~，直接采用修正后的有限元計算的模態頻率為1rω~，那么預示誤差為

如果修正誤差對質量變化不敏感，則：

代入式（7）得修正誤差補償后的模態頻率預示值：

或

2 算例驗證

設某火箭為錐柱鋁合金殼體結構，長 5 m，總重805 kg，有限元模型稱為MO模型，如圖1所示，其計算結果已知，可代替模態試驗結果。質量分站及截面信息如表1所示。

圖1 火箭有限元模型Fig.1 Finite Element Model of a Rocket

表1 質量分站與截面信息Tab.1 Mass Station and Beam Section Parameters of the Rocket

2個含有誤差的模型稱為MA模型和MB模型：

a）MA模型第3站到第5站的壁厚為0.003 m；

b）MB模型的火箭殼體材料彈性模量有誤差，為鋁的71.71%。

2個誤差模型與基準模型的前 5階橫向彎曲頻率與振型對比如圖2和表2所示。

圖2 模態振型對比Fig.2 Comparison of Mode Shapes of Different Models

續圖2

由于MB屬于整體剛度誤差，因此振型與MO保持一致，各階頻率相對 MO降低的百分比一致，約MA模型誤差對各階模態的影響不同，因此振型和頻率的誤差各不相同。

單就頻率誤差而言，MA模型優于MB模型，但是MB模型的振型無誤差，優于MA模型。

表2 模態頻率對比Tab.2 Comparison of Modal Frequencies of Different Models

現在更改此火箭的有效載荷，導致第3站的質量由40 kg增加至140 kg，火箭總質量增加11.8%。采用MA和MB模型預示的模態頻率結果和MO模型結果如表3所示。由表3可知，MA模型預示頻率誤差相對原始誤差有所變化，但MB模型預示頻率誤差基本未發生變化。

表3 預示模態頻率對比Tab.3 Comparison of Predicted Modal Frequencies with Different Models

按照式（9）或式（10）完成補償后的預示模態頻率見表4。

表4 預示模態頻率對比（補償后）Tab.4 Comparison of Predicted Modal Frequencies with Different Models (After Compensation)

由表4可知，通過頻率補償，MA和MB模型頻率預示結果精度均很高，補償后MB模型的頻率預示結果優于MA模型。

3 結 論

本文針對運載火箭質量變化后模態參數預示問題，探討了提高頻率預示精度的方法，提出飛行器模型修正以振型吻合為主的修正策略和提高模態頻率預示精度的頻率補償算法。由于在理論推導中僅采用了一階靈敏度，因此對于質量變化很大的情況和修正誤差過大情況的適用性有待進一步研究。算例仿真研究表明，通過補償算法可以不同程度地消除頻率修正誤差，而補償效果與振型的吻合程度有直接關系，驗證了本文提出的策略的正確性與方法的有效性。