基于對偶雙環滑模的空間翻滾目標相對繞飛控制

郝宇星，申 麟，李 揚

（中國運載火箭技術研究院研究發展中心，北京，100076）

0 引 言

空間故障或失效航天器、太空碎片、空間星體等在軌目標是重要的一類在軌服務對象，在進行對接、維修、抓捕、觀測等任務時，目標的翻滾給工作帶來很大的難度。與傳統的空間飛行器位姿跟蹤控制不同的是，在空間翻滾目標的捕獲任務中，由于目標的非合作性，無法獲得精確的位置姿態測量信息，如果直接對不精確的估計位姿進行跟蹤，勢必對航天器的跟蹤精度造成影響。其次，在空間翻滾目標抓捕的過程中，航天器與非合作目標之間保持相對超近距離運動，航天器與非合作目標間的相對位置和相對姿態互為耦合，使得空間操作的安全性受到威脅，姿態和軌道控制需要同時考慮，從而間接地對其控制系統提出更高的要求。近年來的相關研究都圍繞翻滾目標的特性與耦合控制來進行。劉宗明等[1]為空間翻滾目標相對姿態的精確測量，提出了基于數據庫的非合作目標檢測策略；郭永等[2]針對非合作的失控航天器，利用蔓葉線建立了避障模型，并使用滑模控制方法進行交會對接的姿軌耦合控制；劉歡等[4]針對空間碎片的抓捕問題，使用軌道根數法與C-W方程分別設計了繞飛軌道，但未考慮二者的姿態影響。本文將建立位姿一體化描述的相對動力學模型，并使用以對偶數為變量的雙環滑模控制方法進行相對空間翻滾目標的繞飛控制。

1 旋量、對偶四元數的表示和運算

三維剛體運動有3個平移自由度和3個旋轉自由度，因此可將六維空間的向量稱為一個旋量，映射一個三維剛體運動。幾何上用六維列向量表示，代數上可用對偶數表示，形式如下：

式中 ε為對偶單位，其性質為0ε≠，20ε=；α，α′分別為主部和副部，或稱為實部和對偶部，在表示物理量時，主部表示平移相關的量，副部表示旋轉相關的量。對偶數在旋量幾何中表示旋量的運動，也可以表示坐標系的平移和旋轉。其形式為

式中 d為平移向量；Q為四元數。對偶四元數可看作主部與副部均為四元數的對偶數，矩陣運算中表示為八維列向量。

a）對偶四元數積。

式中 四元數積用·表示；下標：r為對偶四元數的主部，d為對偶四元數的副部。

四元數乘法的矩陣運算為

c）對偶互補算子。

d）對偶數叉乘用×表示，其矩陣運算為

2 航天器位姿耦合動力學模型

坐標原點位于地心iO，OiXi軸在赤道面內指向春分點方向，iiOZ軸指向地球自轉角速度方向，iiOY軸與其余兩軸構成右手正交坐標系。

坐標系定義：

坐標系原點位于航天器的質心，3個坐標軸的方向分別與航天器的慣性主軸重合。追蹤航天器及其本體坐標系用P表示，目標航天器及其本體坐標系用C表示，慣性系用i表示，如圖1所示。

圖1 航天器在軌相對運動模型Fig.1 Spacecrafts’ Relative Motion Model

追蹤器P相對的對偶四元數為

目標器C相對慣性系i的對偶四元數為

式（8）、（9）表達了P，C坐標系與慣性系的轉換關系，并將式（8）、（9）對時間進行微分，得：

由四元數乘法性質：

其中，q與p為四元數的矢量部分，可得：

以及：

式（13）與（14）即為追蹤器P與目標器C在各自本體坐標系下的運動方程。其中PP?ω與CC?ω同時包含了航天器的軌道與姿態運動信息。

為了描述追蹤器與目標器之間的相對運動，定義相對運動對偶四元數為

記追蹤器P相對目標器C的位置向量為PCR ，表示在C本體坐標系下即，有：

將式（15）展開得：

類似地，有：

式（18）的相對位置矢量表示在追蹤本體系中，便于計算控制力。

對式（17）兩邊微分，得：

定義：

為追蹤器P相對目標器C的速度對偶數在C的本體坐標系下的表示，則有：

對式（20）求導得：

在各自本體坐標系下，航天器P與C的動力學方程為

代入式（18），得到：

式（23）在目標器本體系下表示的航天器相對動力學方程。

3 相對翻滾目標繞飛的位姿耦合控制

3.1 航天器相對繞飛設計方法

以設計相對速度旋量為目標時，根據式（15），得：

由式（13）、式（15）得：

則：

在以繞飛軌跡為目標的任務中，根據式（15）得：

3.2 基于對偶數的雙環滑模控制

雙環滑模控制在飛行器控制領域，特別是四旋翼飛行器以及直升機姿態控制領域得到較多的應用，具有實現簡單、與模型結合緊密的特點。本節在以對偶數為控制變量的條件下，采用雙環滑模變結構控制方法設計航天器控制器，使積分滑模來實現切換函數的設計。外環滑模控制率實現對位姿信息的跟蹤，外環控制器產生對偶速度指令，并傳遞給內環系統，內環則通過滑模控制率實現對指令的跟蹤。目標器與追蹤器采用同一動力學模型，翻滾目標的運動信息由模型解算并輸出到相對位姿計算模塊，由給定的繞飛條件得到追蹤器的位姿對偶四元數指令C?q。系統結構如圖2所示。

圖2 控制器系統結構Fig.2 Controller System Structure

a）外環滑模控制。

定義對偶四元數跟蹤指令偏差為

設計積分滑模面為

式中1k為增益，10k＞ ，通過選擇合適的1k可以使系統的跟蹤誤差在一個比較理想的滑模面上滑動至穩定。

則：

對滑模面求導得：

設計對偶速度指令為

式中1ρ為常數，10ρ＞。取如下Lyapunov函數：

b）內環滑模控制。

內環積分滑模面取為

式中2k為增益，20k＞ 。

則：

設計內環控制率為

取如下Lyapunov函數：

則：

即：

因此2V指數收斂，且當內環收斂速度大于外環收斂速度時，總控制系統穩定。

傳統的滑模控制使用了符號函數sgn()s來保證狀態量在滑模面附近運動。當系統的軌跡到達切換面時，其速度是有限大，慣性使運動點穿越切換面，從而最終形成抖振，疊加在理想的滑動模態上。一種常見的解決辦法是使用飽和函數sat()s代替理想滑動模態中的符號函數sgn()s，即：

3.3 相對繞飛任務設計

任務對象為近地軌道運行的航天器，由于姿控系統失效在軌道上作翻滾運動[5～7]。因此，追蹤航天器當前任務為在較近的距離下對目標航天器進行目標本體系下的繞飛，保證姿態對準，為其他任務（交會對接）做準備[8～12]。具體數據如表1所示。

表1 繞飛任務數據Tab.1 Flying Around Mission Data

繞飛目標航天器以美國1973年發射的天空實驗室（Skylab）為參考，作為美國的第1座空間站，在發射過程中曾因碰撞導致部分太陽帆板未能展開，美國隨后發射了維修航天器與之對接，解決了這一問題。對比近年來各國發射的載人飛船與貨運飛船，質量均在10 t以上，考慮到未來大型航天器逐漸增多，以此類航天器作為研究對象具有應用價值[13,14]。

失控大型航天器在進行翻滾過程中，姿態不斷變化，為保證接口對準，在進行相對繞飛時，相對姿態應保持不變[15～17]。與此同時二者維持一定的繞飛距離，如圖3所示。本任務使用設計?PCq 的方法。

圖3 航天器相對位姿示意Fig.3 Space Crafts’ Relative Position

3.4 仿真校驗

校驗使用數學仿真。由于對偶數模型主部與對偶部相互作用，但數量級偏差很大（310級），屬于剛性系統，故微分方程解法使用 ODE15s法，取系統自動步長，可以獲得較快的計算速度。

目標航天器與追蹤航天器應用相同的干擾模型，均為常值干擾加速度與周期性干擾力矩，不考慮J2項影響。控制參數取圖4～7為追蹤航天器的對偶四元數與對偶速度跟蹤預定值的效果，可以看出：內外環跟蹤誤差均在短時間內收斂到零附近，在60 s的任務期間保持跟蹤預定信號效果良好。其中外環姿態四元數收斂時間在0.4 s左右，位置四元數收斂時間為0.8 s；內環角速度收斂時間為0.2 s左右，內環速度收斂時間為0.6 s。內環的收斂速度比外環快0.2 s，在內環快速收斂的條件下，保證了外環的快速收斂。

圖4 相對姿態四元數Fig.4 Relative Attitude Quaternion

圖5 相對位置四元數Fig.5 Relative Location Quaternion

圖6 虛擬控制角速度Fig.6 Virtual Control of Angular Velocity

圖7 虛擬控制線速度Fig.7 Virtual Control of Velocity

目標器與追蹤器在地心慣性系下的軌道運動，目標器沿圓軌道運行，追蹤器在圓軌道的基礎上作相對繞飛運動，如圖8所示。將兩航天器的位置矢量差，即相對位置矢量投影在地心慣性系中，如圖9所示，可看出軌跡為三維空間中周期性進動的圓弧，說明追蹤器在進行繞飛的同時受到了目標器的姿態進動影響。目標航天器的轉動可分為自旋與進動，如圖10所示，x方向的角速度保持在0.33 rad/s，章動在與Oyz平行的平面，幅度為0.3 rad/s，這樣的姿態變化一方面造成了追蹤航天器繞飛平面的變化，也使追蹤器不斷調整姿態來對準目標器。

圖8 目標器與追蹤器軌道運動Fig.8 Target and Chaser’s Orbital Motion

圖9 目標器與追蹤器相對位置矢量Fig.9 Target and Chaser’s Relative Position Vector

圖10 目標航天器角速度矢徑Fig.10 Target’s Palstance Vector Track

追蹤器控制加速度變化曲線如圖11所示。由圖11可知，追蹤器控制加速度在200～2000 m/s、角加速度在5000～50 000 rad/s2之間，說明大質量、大慣性矩航天器在位姿的控制上需要更大的控制能力，對繞飛任務推力設備提出了較高的要求。

圖11 追蹤器控制加速度變化Fig.11 Chaser’s Controlling Acceleration

繞飛任務要求追蹤器與目標器保持10 km的距離，追蹤器距離保持偏差如圖12所示。由圖12可知，兩航天器預定距離的負向偏差最大為1 km，此時兩航天器距離9 km，屬于安全范圍，且在較長時間內距離偏差保持在200 m以內。

圖12 追蹤器距離保持偏差Fig.12 Target and Chaser’s Distance Deviation

4 結 論

本文針對空間翻滾目標的動力學問題，引入對偶四元數與旋量概念，建立位姿一體化的翻滾航天器的動力學與相對運動學模型，并提出兩種繞飛軌道設計方法。以近地大型翻滾航天器的相對繞飛為例，設計了姿軌耦合的滑模控制器，仿真結果表明，基于對偶數的雙環滑模控制系統可以快速有效地控制追蹤航天器的位姿，并在翻滾目標角速度變化的同時保證二者的姿態同步與距離穩定。