有限全變換半群變種具有某種性質的極大子半群

金久林, 游泰杰, 徐 波

(貴州師范大學 數學科學學院, 貴陽 550001)

0 引 言

SX和TX分別為非空集合X上的對稱群和全變換半群[1]. 目前, 關于變換半群具有某種性質的極大子半群的結構與分類的研究已取得了很多結果[2-20]. Dénes[2]列舉了一類有限全變換半群TX的極大子半群, 即S=(TXSX)∪AX, 其中AX是X={1,2,…,n}上的交錯群; Baǐramov[3]得到了S是有限全變換半群TX的極大子半群當且僅當

S={α∈TX: |Im(α)|≤n-2}∪SX, 或S={α∈TX: |Im(α)|≤n-1}∪G,

其中G是SX的極大子群; Liebeck等[4]利用有限單群的結論及O’Nan-Scott定理完成了有限對稱群SX的極大子群的分類. 結合文獻[3-4]的結果, 可得有限全變換半群TX的極大子半群的完全分類. Schein[5]提出了如何刻畫全變換半群的極大逆子半群的結構和分類的問題, Nichols[6]和Reilly[7]分別給出了其一小部分刻畫； Todorov等[8]對有限全變換半群理想的極大子半群進行了刻畫, 但并未完全解決; 游泰杰[9]得到了有限全變換半群理想的極大正則半群的結構與完全分類; 楊浩波等[10]得到了有限全變換半群理想的極大子半群的結構與分類, 完成了文獻[8]未解決的問題.

1 預備知識

P={f∈TX: |Im(afa)|=|Im(f)|},

(1)

且對任意的m∈{1,2,…,r}, 有

(2)

(3)

|Im(f)|=|Im(afa)|≤|Im(a)|=r,

引理2P有一條理想鏈:

引理4設

則|Im(a)∩Bi|=1(i=1,2,…,r). 特別地, 若f是一個冪等元且ai∈Bi, 則bi∈Ai(i=1,2,…,r).

(4)

其中ai∈Bi,bi∈Ai(i=1,2,… ,r). 記

(5)

本文未定義的術語及符號參見文獻[1,24].

設S是一個半群, 若α∈S滿足對任意的β,γ∈S, 有α≠βγ, 則稱α是一個不可約元. 由S中不可約元構成的集合, 稱為S的不可約集.

證明: 設α,β∈N, 則存在(i,j),(s,t)∈I×J, 使得α∈Mij,β∈Mst. 根據式(5), 不妨設

其中:bi,ci∈Ai,ai∈Bi∩Ci(i=1,2,… ,r);σ,ρ∈U. 易證

其中:di∈Ai,ai∈Di(i=1,2,…,r);ρ∈U. 取

類似引理10的證明, 可得:

?},

證明： 反證法. 假設存在(i,j),(m,n)∈Φ且(i,j)≠(m,n), 使得Vij≠Vmn. 則有σ∈VijVmn(σ∈VmnVij證明方法類似). 易知Tmn含有冪等元. 根據式(4),(5), 不妨設

是Tmn的一個冪等元, 取

其中bi,ci∈Ai,ai∈Bi∩Ci(i=1,2,…,r). 易證

?},

Vij=Vmn?Umn=Uij.

從而Sij?Mij. 因此

與S的極大性矛盾.

②Mmn?Smn. 類似①可得

與N的極大性矛盾.

引理15設2

證明: 由引理13和引理14可知, Ar,Br,Cr,Dr均為P的極大正則子半群. 下證P的極大正則子半群僅有定理中的形式. 設S是P的極大正則子半群. 下面分兩種情形討論:

S?Ar,S?Br,S?Cr.

注意到Ar,Br,Cr均為P的極大正則子半群, 由S的極大性可知,S是Ar,Br,Cr的形式之一.

反之, 設S是P的極大正則子半群. 分兩種情形討論:

綜合引理15、 注1和注2, 可得：

定理3N,Γ,Δ定義如前, 則：

1) 當r=1時,S是P的極大正則子半群當且僅當存在β∈P, 使得S=P{β}.

3) 當2