淺析數列中的創新型試題

■河南省偃師市教研室 劉水生

綜觀近幾年的高考數學試題，可以發現，全國卷的數列解答題難度不大，題型比較穩定。但如果將視角擴大到地方卷，就會發現，數列試題仍然精彩紛呈，頻現與其他知識的聯系。

一、引入符號,妙筆生花

例1設{an}和{bn}是兩個等差數列，記cn=m a x{b1-a1n，b2-a2n，…，bn-ann}(n=1，2，3，…)，其中 m a x{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs這s個數中最大的數。

(1)若an=n，bn=2n-1，求c1，c2，c3的值，并證明{cn}是等差數列;

(2)略。

分析：本題所涉及的數列問題，本身并無新意，樸實無華。但在引入“m a x{x1，x2，…，xs}”這一數學符號之后，頓感“

妙筆生花”，令人耳目一新。

在理解上述符號的含義之后，進行初步分析，可以求得c1，c2，c3。在有一定感性認識的基礎上，進行理性分析，上升到理性高度，可以得出該數列的單調性，從而得出{cn}的通項公式，并借助定義證明該數列是等差數列。

解：(1)c1=b1-a1=1-1=0;

c2=m a x{b1-2a1，b2-2a2}=m a x{1-2×1，3-2×2}=-1;

c3=m a x{b1-3a1，b2-3a2，b3-3a3}=m a x{1-3×1，3-3×2，5-3×3}=-2。

當n≥3時，(bk+1-n ak+1)-(bk-n ak)=(bk+1-bk)-n(ak+1-ak)=2-n＜0，所以此時bk-n ak單調遞減。

所以cn=m a x{b1-a1n，b2-a2n，…，bn-ann}=b1-a1n=1-n。

所以對任意n≥1，cn=1-n，于是cn+1-cn=-1。

所以{cn}是等差數列。

探究本題根源：在人教A版教科書《必修5》“數列的概念與簡單表示法”中介紹了遞增數列、遞減數列、常數列及擺動數列;在《選修4—5》“不等式選講”專題的課后習題中曾出現m i n A并解釋了其含義。

二、改頭換面,本質不變

例2已知{xn}是各項均為正數的等比數列，且x1+x2=3，x3-x2=2。

(1)求數列{xn}的通項公式;

(2)如圖1，在平面直角坐標系x O y中，依次連接點 P1(x1，1)，P2(x2，

2)，…，Pn+1(xn+1，n+1)，得到折線P1P2…Pn+1，求由該折線與直線y=0，x=x1，x=xn+1所圍成的區域的面積。

分析：本題中將數列記作{xn}，不落俗套，形式新穎。第(1)問平淡無奇，質樸淡雅;第(2)問要求計算所圍成的區域的面積，在數列試題中顯得新鮮別致。但細觀本題，可感受到本題只是常規問題以新穎的形式呈現出來，其本質仍然是數列求和問題。

解：(1)設數列{xn}的公比為q，由已知得q＞0。

圖1

因為q＞0，所以q=2，x1=1。

因此數列{xn}的通項公式為xn=2n-1。

(2)過點P1，P2，P3，…，Pn+1向x軸作垂線，垂足分別為Q1，Q2，Q3，…，Qn+1。

由(1)得xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1。

記梯形PnPn+1Qn+1Qn的面積為bn。

探究本題根源：本題主要考查等比數列的通項公式及求和公式、數列求和的“錯位相減法”。此類題目是數列問題中的常見題型。教科書中對等比數列求和公式的推導也是用的此種方法，人教A版教科書《必修5》“等比數列的前n項和”課后習題中也用到這種方法，這些都可視作本題的根源。

三、撥開迷霧,突出重圍

例3設{an}是等比數列，公比大于0，其前n項和為Sn(n∈N*)，{bn}是等差數列。已知 a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6。

(Ⅰ)求{an}和{bn}的通項公式。

(Ⅱ)設數列{Sn}的前n項和為Tn(n∈N*)。

(1)求Tn;

分析：本題第(Ⅱ)問需要計算{Sn}的前n項和，因為Sn本身就是數列{an}的前n項和，考生可能感到疑惑;另外所要證明的等式左端形式復雜，且含有求和符號，也會使考生有“霧里看花”之感。若考生具備扎實的基礎知識，在考場上沉著冷靜，還是不難應對的。

解：(Ⅰ)設等比數列{an}的公比為q。由a1=1，a3=a2+2，可得q2-q-2=0。因為q＞0，可得q=2，故an=2n-1。設等差數列{bn}的公差為d，由a4=b3+b5，可得b1+3d=4。由a5=b4+2b6，可得3b1+13d=16，從而b1=1，d=1，故bn=n。所以數列{an}的通項公式為an=2n-1，數列{bn}的通項公式為bn=n。

探究本題根源：本題第(2)小問中分別采用分組求和法與裂項相消求和法，分組求和的目的是使用等差數列、等比數列的求和公式，而裂項相消法可從人教A版教科書《必修5》“等差數列的前n項和”的課后習題中找到根源，這實際上體現了數學中的轉化與化歸思想。

四、前后聯系,適當綜合

例4已知數列{an}的首項a1=5，前n項和Sn滿足Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*)。

(1)證明數列{1+an}是等比數列;

(2)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn，求函數f(x)在點x=1處的導數f'(1)，并比較2f'(1)與23n2-13n的大小。

分析：在已知遞推式Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*)的條件下，本題第(1)問要求證明數列{1+an}是等比數列，屬于同學們熟悉的問題，在兩式相減時只要注意分n≥2，n=1兩種情況即可;第(2)問將數列求和問題與導數、二項式定理相結合，提高了問題的綜合性。

解：(1)已知Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*)，當n≥2時，Sn=2Sn-1+n+4，兩式相減得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1，即an+1=2an+1，從而an+1+1=2(an+1)。

當n=1時，S2=2S+1+5，所以a2+a1=2a1+6。

又a1=5，所以a2=11，從而a2+1=2(a1+1)。

(2)由(1)知an=3×2n-1。

因為f(x)=a1x+a2x2+…+anxn，所以f'(x)=a1+2a2x+…+n anxn-1。

從而f'(1)=a1+2a2+…+n an=(3×2-1)+2(3×22-1)+…+n(3×2n-1)=3(2+2×22+…+n×2n)-(1+2+…+n)=

則2f'(1)-(23n2-13n)=12(n-1)·2n-12(2n2-n-1)=12(n-1)·2n-12(n-1)·(2n+1)=12(n-1)[2n-(2n+1)]。 ①

當n=1時，①式=0，所以2f'(1)=23n2-13n;

當n=2時，①式=-12＜0，所以2f'(1)＜23n2-13n;

當n≥3時，n-1＞0，又2n=(1+1)n=＞2n+2＞2n+1，所以(n-1)[2n-(2n+1)]＞0，即①式大于0，從而2f'(1)＞23n2-13n。

本題體現了高考《考試說明》中指出的“從學科的整體高度和思維價值的高度考慮問題，在知識網絡的交匯點處設計試題，使對數學基礎知識的考查達到必要的深度”，以及“數學學科的命題，在考查基礎知識的基礎上，注重對數學思想方法的考查……同時兼顧試題的基礎性、綜合性和現實性”，尤其體現了試題的綜合性，在一定程度上對數列試題進行了創新。