賞析以數列為載體的六種創新題型

■四川省資陽市外國語實驗學校 蔡勇全

近年來，以數列為載體的創新型試題頻繁地出現在全國各地的高考試卷中，它們或內容立意新，或情境設置新，或設問方式新，或題型結構新，不僅較好地考查了同學們的創新意識、創造性思維能力，以及數學運算、邏輯推理、數學建模等素養，而且有效地甄別了同學們進入高等院校繼續學習的潛能。本文結合實例談一談以數列為載體的六種創新題型及其求解策略，供讀者賞析與參考。

一、數學文化型

傳統數學文化源遠流長，是人類社會寶貴的知識與精神財富，需要人們大力弘揚與傳承，只有這樣，它本身所具有的價值才能得以釋放，數學文化型數列創新題正是在這種樸素理念的支撐下誕生的新題型，它以現實事件或歷史上一些數學名著中的某一段素材為背景，在基本不改變原意的前提下，巧妙地引出其中蘊含的數列問題，要求解題者求出該問題的結論，體現了數學的人文價值和科學價值。

例1《九章算術》是我國古代第一部數學專著，全書收集了246個問題及解法，其中一個問題為“現有一根九節的竹子，自上而下各節的容積成等差數列，上面四節的容積之和為3

L，下面三節的容積之和為4L，求中間兩節的容積各為多少”。那么，該問題中第2節，第3節，第8節竹子的容積之和為( )。

解析：自上而下依次設各節竹子的容積分別為a1，a2，…，a9，依題意有:

因為a2+a3=a1+a4，a7+a9=2a8，所

評注:一般來說，數學文化型數列創新題的難度適中，命題者會將晦澀難懂的古文譯作通俗易懂的現代文，解題者不必心生畏懼，只需在準確理解現代譯文的基礎上，構建相應的數列模型，運用數列知識解出需要的數據，最后再回歸實際問題即可獲解。

二、交匯整合型

交匯整合型數列創新題的基本特點是:形式多樣，內涵豐富，交匯點多。常常和函數、方程、不等式、三角、復數、概率與統計、解析幾何等知識融為一體，能夠很好地實現學科內、學科間知識的交匯整合。

令g(x)=2x+sinx，易知g(x)為奇函數。因為g'(x)=2+cosx＞0對任意x∈R恒成立，所以g(x)在R上單調遞增。再構造數列{bn}，且bn=an-，易知bn為等差數列，則①式即為(2b1+sinb1)+(2b2+sinb2)+…+(2b5+sinb5)=g(b1)+g(b2)+…+g(b5)=0，結合函數g(x)圖像

評注:同學們在掌握基礎知識和基本數學思想方法的時候，要著力提高自己的創新思維能力。認真研究、探索數列知識網絡的交匯性，研究交匯點向外輻射的知識板塊，是提高分析和解決創新型問題能力的最佳途徑。

三、規律發現型

規律發現型數列創新題的基本特點是:題目中已經給出某種數列的若干特殊數據或性質特征，提出的要求一般是歸納出該數列的規律、完善該數列的相應性質、類比推廣到相關數列等。

例3在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就1個乒乓球，第2，3，4，…，n堆底層(第1層)分別按圖1所示的方式固定擺放，從第2層開始，每層的乒乓球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放1個乒乓球，則第n堆的乒乓球總數f(n)=。

圖1

評注:解決規律發現型數列創新題需要同學們具有較強的觀察能力和快速探求規律的能力，因此平時應注重這方面的訓練和經驗的積累。

四、數表(陣、組)型

數表(陣、組)型數列創新題的基本特點是:將一些數排成長方形、三角形、數組的形式，就形成了數表、數陣等形式，要求考生研究某行、某列、某組或所有行(列、組)具有的特殊性質。

例4在n行m列的方格表中，每一個方格都填上一個數，使得每一行的m個數與每一列的n個數都成等差數列，如果表的四個角上的數之和等于S，則此表中所有數的和等于____。

表1

評注:求解此類問題的策略:通過觀察、分析，弄清楚數表(陣)中各行(列)的數與各列(行)的數之間的對應關系或所有數組中的數的總體趨勢，然后再轉化成熟悉的等差或等比數列問題求解。

五、逆向探索型

逆向探索型數列創新題的基本特點是:可能題設中已經給出了具有某種特征的數列，要求尋找這一特征產生的條件，也可能是將數列是否具有某種特征作為一個待定的問題，要求分析數列具有該特征的條件和不具有該特征的原因。

例5 已知數列{an}的前n項和Sn=3n2+5n，數列{bn}中，b1=8，6 4bn+1-bn=0。問:是否存在常數c，使得對任意的正整數n，都有an+logcbn恒為常數m?若存在，求出常數c和m的值;若不存在，請說明理由。

評注:此類問題主要考查同學們的逆向思維能力，解題策略是從數列已經具有的某一特征出發進行逆向性的邏輯推理，或假設數列具有某種特征，再進行逆向性的演繹推理，若出現矛盾，則可否定假設;若推證無矛盾，則假設成立。

六、類比聯想型

類比聯想型數列創新題的基本特點是:題目中給出某種特殊數列的屬性，要求解答者根據所給信息與另一種特殊數列的相似性或一致性，進而寫出類似的結論，這里的屬性可以是問題的結論、分析思路、解題方法等。

例 6 已知數列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首項為1，公差為1的等差數列;a10，a11，…，a20是公差為d的等差數列;a20，a21，…，a30是公差為d2的等差數列(d≠0)。

(1)若a20=40，求d。

(2)試寫出a30關于d的關系式，并求出a30的取值范圍。

(3)續寫已知數列，使得a30，a31，…，a40是公差為d3的等差數列，…，以此類推，把已知數列推廣為無窮數列，類比第(2)問，你能提出什么樣的問題?還能得到什么樣的結論?

解析：(1)a10=1+9=10，a20=10+10d=40，所以d=3。

(2)a30=a20+10d2=a10+10d+10d2=10+10d+10d2=10(1+d+d2)=+∞)時，a30∈[7.5，+∞)。

(3)所給數列可推廣為無窮數列{an}，其中a1，a2，…，a10是首項為1，公差為1的等差數列，當n≥1時，數列a10n，a10n+1，…，a10(n+1)是公差為dn的等差數列，類比第(2)問，研究的問題可以是:試寫出a10(n+1)關于d的關系式，并求a10(n+1)的取值范圍。

研究的結論可以是:由a40=a30+10d3=10(1+d+d2+d3)，以此類推可得，a10(n+1)=10(1+d+d2+…+dn)=取值范圍為(10，+∞)。

評注:解決此類問題的策略概括起來就是引申、推廣、遷移、移植等幾個關鍵詞，但需要注意的是，由此得到的一般性結論可能真，也可能假，結論的正確性有待進一步證明。