光折變表面波誘導的薄層波導中的導波模式

劉春陽， 鞠 瑩， 宋 德， 母一寧， 楊繼凱， 陳衛軍

(長春理工大學 理學院， 吉林 長春 130022)

1 引 言

光折變效應是光致折射率變化的簡稱，它描述的是在空間調制光強或非均勻光強的輻照下，電光材料的折射率隨光強的空間分布而變化的現象[1]。光折變材料具有可擦洗、非瞬時響應和短波敏感等特性，被廣泛用于光誘導制備波導結構中。當光束衍射效應與光折變效應引起的光束聚焦效應平衡時可形成光折變空間光孤子[2]，它具有寫入光功率低(mW甚至μW量級)的特點，能在光折變材料中形成可以長期存儲的自誘導波導結構，這已經成為了近年來孤子研究領域的熱點問題之一[3-8]。

另一方面，光折變表面波是一種沿著光折變晶體(Photorefractive crystal,PRC)與其他介質界面傳輸的表面無衍射光波[9]，是光束的自彎曲效應和光束的全內反射相平衡時的一種產物。它可以將光波能量限制在光折變晶體近表面的狹層空間(μm量級)內，使得界面處具有很高的光能量和功率密度，在諧波產生、材料界面特性檢測、光通信及光信息處理等方面具有很高的研究價值和應用價值[10-11]。因此，關于光折變表面波的產生與傳輸穩定性等問題已經引起了國內外科研人員的廣泛關注[12-20]。目前，雖然關于體孤子誘導的波導研究非常廣泛，但對于光折變表面波誘導的表面波導及其導波模式(導模)的研究尚少。2011年，Usievich等研究了光折變晶體界面處由于非線性表面波和布拉格反射共同作用下的復合波導結構的形成[21]。2012年，Fujihana等成功地在光折變聚合物薄膜中觀察到了表面波并利用表面波在光折變聚合物中形成了自寫入表面波導結構[22]。2016年左右，南開大學齊鵬飛等詳細地闡釋了光折變表面波誘導的表面切趾啁啾波導陣列的調控，討論了入射光波長、背景光、入射角度及外加偏壓對波導光柵的影響[23-25]。

本文利用光折變表面波能量被限制在晶體表面狹層空間的特點，將建立擴散非線性機制下光折變表面波誘導的薄層波導模型，推導導模傳輸的非線性薛定諤演化方程。通過數值方法詳細分析薄層波導中導模的產生、特點及其能量變化，并討論導模演化傳輸時的穩定性，為非線性表面光波導的制備和應用奠定理論基礎。

2 理論模型

假設一束光波在光折變表面波誘導的薄層波導中沿z軸向前傳播，光折變晶體薄層被夾在線性介質中間(0≤x≤L′)，類似于三明治結構，如圖1所示。設光束沿y軸的寬度遠超過x軸，偏振方向平行于y軸，晶體的c軸沿x軸方向，不考慮光折變晶體薄層與線性介質界面的寬度對導模傳輸的影響。在上述情況下，光波的橫向電場分量E(x,z)滿足亥姆霍茲方程：

2E+(k0n′)2E=0,

(1)

(2)

圖1 光折變表面波誘導的薄層波導結構示意圖

(3)

3 數值結果和分析

為了求得方程(3)的穩態解，取光波復振幅為A(η,ξ)=u(η)exp(-ibξ)，其中u(η)是光波的模，b是傳播常數(0

或η>L,

(4)

(5)

方程(4)描述的是光波在兩側線性介質中的波動方程，很容易求得解析解u(η)=mexp[(2b)1/2η](η<0)和u(η)=nexp[(-2b)1/2η](η>L)，其中m是描述非線性效應強度的實常數參量，考慮光波在邊界處的連續性，參數n的值可以通過求解方程(5)得到邊界L處的值u(L)來確定，計算表達式為n=u(L)/exp[(-2b)1/2L]。為了求解方程(5)，可利用邊界條件u(0)=m和du/dη|η=0=m(2b)1/2對二階微分方程進行數值積分。根據光折變表面波理論，光波在線性介質與光折變晶體界面薄層中呈振蕩衰減形式，因此可自誘導形成切趾型的波導結構[13,23]。方程(5)也可看成為一個本征值-本征函數問題，b為本征值，構成一個與波導參數p相關的連續的集合，u(η)表示光折變表面波誘導的薄層波導中的導波模式。

為了分析薄層波導中導模的形成，首先需要確定本征值b關于波導參數p的變化關系。利用u和du/dη在邊界點η=0和η=L處的連續性，當給定參數μ值時，通過數值方法求得歸一化傳播常數(本征值)b/p與波導參數p的關系，如圖2所示，計算參數為μ=1，L=4，m=1。此時，光波在界面處的全內反射不僅補償光束的自彎曲效應，還平衡光束的非線性衍射效應。顯然，對于給定的波導參數p，將存在與之對應的傳播常數b是一個離散點的集合，每一個傳播常數的值都對應一種導模，其中一階導模常被稱為基模。隨著波導參數的增加，導模的階數和數量均逐漸增加。從物理作用角度來看，這種現象主要是由波導的寬度增加引起的，即較寬的波導可以形成較多的導波模式。

接下來討論薄層波導中導模的輪廓變化。當波導參數p給定時，每個本征值b可產生相應的導模，將該傳播常數b代入方程(4)、(5)進行數值積分，可以得到波導參數p對應的本征導模。圖3給出了波導參數p=10(對應圖2中的藍色圈a～f)時不同傳播常數對應的前六階導模的包絡圖。可以看出，受光束全內反射和光束自彎曲效應相互作用的影響，導模的峰值振幅被局域在薄層波導中η=0一側的界面處，即大部分光波能量聚集于該界面處(光折變晶體的-c軸)的波導層中。隨著導模階數的增加，光波振蕩的周期變短，光波的峰值振幅減小且導模在薄層波導中呈衰減振蕩(η從0→L)形式。

圖2 導模存在時歸一化本征值b/p與波導參數p的關系，其他參數μ=1，L=4，m=1。

圖3 波導參數p=10時前六階本征導模的包絡圖，對應圖2中的藍色圈a～f，黑色實線表示的是波導折射率的輪廓。(a)1～3階導模，b=[9.6 8.9 7.7]；(b)4～6階導模，b=[5.9 3.9 1.3]。

圖4 波導參數p取不同值時導模的輪廓，對應圖2中的紅色圈g～l。(a)p=6時的1～3階導模輪廓，b=[5.64 4.98 3.84]；(b)p=12時的4～6階導模輪廓，b=[10.65 8.55 5.7]。其他參數為：μ=1，L=4。

此外，數值結果還表明，波導參數p也可以影響導模的振幅。作為對比，分別取p=6和p=12時對應的部分本征值b對方程(4)、(5)進行求解，圖4(a)給出了p=6(存在前五階導模)時對應的前三階導模的包絡，圖4(b)給出了p=12(存在前七階導模)時對應的4～6階導模的包絡。可以看出，相同階數導模的振幅隨波導參數p單調遞增(對比圖3和圖4)，同時，導模的能量也隨著p的增加而增加。因此，可通過調整波導參數的大小來控制導模的能量和階數。導模的能量主要由3部分組成，分別位于η<0(能量w1)、0≤η≤L(能量w2)和η>L(能量w3)，總能量w為這3部分之和，其表達式為：

(6)

圖5給出了光波在線性介質與光折變晶體界面傳播時前六階導模能量w隨傳播常數b的變化曲線(參數p=10，μ=1)。在該波導結構中，導模能量的主要部分位于0≤η≤L的波導區域內。根據著名的Vakhitov-Kolokolov(VK)穩定性判定準則[13]可知，導模可以穩定傳輸的必要條件是w′(b)>0。從圖5可以看出，當傳播常數為一閾值時，導模的能量出現一個最小值，當b小于這一閾值時，導模的能量w隨傳播常數b單調遞減，當b大于這一閾值時，導模的能量w隨傳播常數b單調遞增。當b取一定值時，隨著階數的增加，導模的能量逐漸減小。

為了驗證導模在w′(b)>0時的傳輸穩定性，采用分布傅里葉法對圖3中的前四階導模在光折變薄層波導中的傳播進行演化，結果如圖6所示。需要說明的是，光波演化時在入射端都施加了10%的高斯隨機擾動。可以看出，階數越高，波導的寬度越窄，可傳輸導模的能量越低，無論如何，導模在傳播過程中始終可以保持形不變傳輸。因此，當光波在界面處的全內反射效應與光束的衍射和光折變晶體中擴散非線性引起的自彎曲效應完全平衡時，導模就可以在這種光折變表面波誘導的薄層波導中穩定地向前傳播。

圖5 前六階導模能量隨傳播常數的變化曲線，參數μ=1。

圖6 傳播常數較大時前四階導模在高斯隨機擾動10%情況下的穩定傳輸圖，參數p=10，μ=1，L=4。

當w′(b)<0，即b較小時，圖7給出了基模的包絡和擾動傳輸圖(傳播了100個衍射長度)，顯然，這種情況下的導模也可以穩定傳輸，即對于所有的傳播常數而言，導模均可以穩定傳播。值得注意的是，當傳播常數較小時，導模在兩側的線性介質中的能量分布相對較多。因此，在給定條件下，可以通過調整傳播常數的值控制導模的階數或傳播波形[20]。實際中光波的傳播常數可通過改變介質的折射率和光波入射條件來調整，而波導參數主要取決于相鄰介質的折射率之差。

圖7 傳播常數較小時基模在高斯隨機擾動10%情況下的穩定傳輸圖，參數p=0.5，b=0.1，其他參數與圖6相同。

4 結 論

采用數值方法研究了擴散非線性機制下光折變表面波誘導的薄層波導中導模的產生與傳輸。結果表明，當波導參數p給定時，可以存在許多不同的導波模式，當波導參數增加時，導模的階數增加，導模的振幅也單調遞增，然而導模的包絡越來越不對稱且在光折變薄層波導中呈衰減振蕩形式。當傳播常數b給定時，導模的能量隨階數的增加而減小，導模能量主要集中在靠近線性介質與光折變晶體的一側界面(-c軸)處。通過對輸入的導模添加隨機擾動并進行演化傳輸發現，導模可以在光折變薄層波導中穩定傳輸。總之，光折變表面波誘導的薄層波導中導模的振幅、能量、階數等特性可以通過調整波導參數和傳播常數而控制，且導模可以穩定傳播。