三點共線需謹慎說理證明擺首位

文 徐燕娟

中心對稱圖形是中考命題的熱點，涉及的知識點較多，特別是平行四邊形的性質和判定。所以我們在學習這一章的時候要能結合圖形理解掌握所學的知識，并靈活應用，融會貫通，做題時不主觀臆斷，要有嚴謹的說理證明。本章內容概念多，性質定理和判定方法多樣，同學們容易混淆犯錯，下面就以常見錯誤——作輔助線默認三點共線來舉例并加以分析。

例1已知：如圖1，四邊形ABCD中，AD∥BC，點O是對角線BD的中點，過點O的直線分別與AD、BC相交于點E、F，且AE=CF，求證：四邊形ABCD是平行四邊形。

圖1

圖2

【錯解】證明：如圖2，連接AC。

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB，∠AEF=∠CFE。

又∵AE=CF，

∴△AOE≌△COF，

∴OA=OC。

∵點O是BD的中點，

∴OB=OD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形。

【剖析】錯解中，連接AC，并不能保證AC必過點O。本題出現的錯誤是證△AOE≌△COF時，默認了A、O、C三點共線。

【正解】證明：∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，∠DEO=∠BFO。

∵點O是BD的中點，

∴OB=OD，

∴△DOE≌△BOF，

∴DE=BF。

又∵AE=CF，

∴DE+AE=BF+CF，即AD=BC。

∵AD∥BC，AD=BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形。

例2如圖3，已知，矩形ABCD中，過點O作AC的垂線分別與AD、BC相交于點E、F，且DE=BF，連接AF、CE，試證明：四邊形AFCE為菱形。

圖3

圖4

【錯解】證明：如圖4，連接BD。

∵四邊形ABCD是矩形，

∴OA=OC，OB=OD，AD∥BC。

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，∠DEO=∠BFO。

又∵DE=BF，

∴△DOE≌△BOF，

∴OE=OF。

又∵OA=OC，

∴四邊形AECF是平行四邊形。

∵EF⊥AC，

∴四邊形AECF是菱形。

【剖析】錯解中，連接BD，并不能保證BD必過點O。因此，在證明△DOE≌△BOF時，默認了B、O、D三點共線。事實上，我們不能默認點O就是對角線的交點。

【正解】證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC。

又∵DE=BF，

∴AD-DE=BC-BF，

∴AE=CF。

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴四邊形AECF是平行四邊形。

∵EF⊥AC，

∴四邊形AECF是菱形。